第4章附录　需求理论——一种数学的处理方法

1下面的效用函数中哪些符合凸的无差异曲线？哪些并不符合？

（1）U（X，Y）＝2X＋5Y；

（2）U（X，Y）＝（XY）^0.5；

（3）U（X，Y）＝Min（X，Y），这里Min是X和Y两个数值中的最小值。

答：（2）中效用函数符合凸的无差异曲线，（1）和（3）中的效用函数都不符合。

三者的无差异曲线分别如图4.19（a）、4.19（b）和4.19（c）所示。

图4.19（a）　效用函数（1）的无差异曲线

图4.19（b）　效用函数（2）的无差异曲线

图4.19（c）　效用函数（3）的无差异曲线

2证明下面的两个效用函数所导出的商品X和Y的需求函数是相同的。

（1）U（X，Y）＝ln（X）＋ln（Y）；

（2）U（X，Y）＝（XY）^0.5。

证明：用P_X和X分别表示商品X的价格和数量，P_Y和Y分别表示商品Y的价格和数量，用I表示收入。

（1）消费者的效用最大化问题为：

对应的拉格朗日函数为：

L（X，Y，λ）＝ln（X）＋ln（Y）－λ（P_XX＋P_YY－I）

效用最大化条件为：

∂L/∂X＝1/X－λP_X＝0

∂L/∂Y＝1/Y－λP_Y＝0

∂L/∂λ＝I－P_XX－P_YY＝0

通过解上面三个方程，可以得到需求函数：X＝I/（2P_X），Y＝I/（2P_Y）。

（2）消费者的效用最大化问题为：

对应的拉格朗日函数为：

L（X，Y，λ）＝（XY）^0.5－λ（P_XX＋P_YY－I）

效用最大化条件为：

∂L/∂X＝0.5（Y/X）^0.5－λP_X＝0

∂L/∂Y＝0.5（X/Y）^0.5－λP_Y＝0

∂L/∂λ＝I－P_XX－P_YY＝0

通过解上面三个方程，可以得到需求函数：X＝I/（2P_X），Y＝I/（2P_Y）。

所以，两个效用函数所导出的是相同的需求函数。

3假设效用函数由Min（X，Y）给出，正如练习1中的（3）部分所示。那么将因为X价格的变化而引起的其需求的变化进行分解的斯卢茨基方程是什么？什么是收入效应？什么是替代效应？

答：斯卢茨基方程是：

其中第1项是替代效应（当效用水平不变时需求量的变化），第2项是收入效应（在效用水平变化而商品X的相对价格不变的情况下需求量的变化）。由于效用函数形式为Min（X，Y），即完全互补型产品不存在作为价格变化的替代，所以替代效用为零。因此，固定比例效用函数的斯卢茨基方程为：

dX/dP_X＝－X（∂X/∂I）

如图4.20所示，当X的价格下降时，预算线从L₁转动到L₂，将新的预算线平行移动到与原无差异曲线U₁相切，可得补偿预算线L₃。与初始预算线L₁下一样，在补偿预算线下消费者按固定比例消费X和Y，所以不存在替代效应，即替代效应为零。收入效应由预算线从L₃移动到L₂决定，此时效用从U₁增加到U₂，且X的需求量增加。

图4.20　固定比例效用函数的替代效应与收入效应

4莎伦的效用函数如下：

U（X，Y）＝X^1/2＋Y^1/2

式中，X是她对单独包装的块状糖的消费量，P_X＝1美元，Y是她对浓咖啡的消费量，P_Y＝3美元。

（1）推导莎伦对单独包装的块状糖和浓咖啡的需求函数。

（2）假定她的收入I为100美元，莎伦将消费多少数量的单独包装的块状糖和浓咖啡？

（3）收入的边际效用为多少？

解：（1）【方法一】根据效用函数：

U（X，Y）＝X^1/2＋Y^1/2

边际效用函数为：

MU_X＝（1/2）X^－1/2，MU_Y＝（1/2）Y^－1/2

根据效用最大化原则和预算约束方程：

MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y＝Y^1/2/X^1/2＝1/3

受预算线P_XX＋P_YY＝I，即X＋3Y＝I的约束，可以求出莎伦对单独包装的块状糖的需求函数：X＝（3/4）I；莎伦对浓咖啡的需求函数：Y＝I/12。

【方法二】莎伦的效用最大化问题为：

对应的拉格朗日函数为：

Φ＝X^1/2＋Y^1/2－λ（X＋3Y－I）

效用最大化的一阶必要条件为：

∂Φ/∂X＝0.5X^－1/2－λ＝0①

∂Φ/∂Y＝0.5Y^－1/2－3λ＝0②

∂Φ/∂λ＝I－X－3Y＝0③

由式①②可得：λ＝1/（2X^0.5）＝1/（6Y^0.5），从而X＝9Y。

代入③式，可解得：X＝（3/4）I，Y＝I/12。

（2）假定其收入为100美元，即I＝100。则X＝（3/4）I＝（3/4）×100＝75，Y＝I/12＝100/12≈8。

所以，莎伦会消费75个单位的单独包装的块状糖，8个单位的浓咖啡。

（3）根据本章附录的理论，收入的边际效用为拉格朗日乘子λ。根据（1）小题【方法二】的结果可知：λ＝1/（2X^0.5）＝1/（6Y^0.5），代入相关数据可得：λ＝0.058。这一数据表明，随着莎伦消费的增加，其收入边际效用随之增加。

5莫里斯的效用函数如下：

U（X，Y）＝20X＋80Y－X²－2Y²

式中，X为他对CD的消费量，价格为1美元；Y为录像带的消费量，租金价格为2美元。他计划在这两种形式的娱乐上花41美元。求最大化莫里斯效用的CD与录像带租赁数量。

解：莫里斯的效用最大化问题为：

拉格朗日方程为：

φ＝20X＋80Y－X²－2Y²－λ（X＋2Y－41）

效用最大化的一阶条件为：

∂φ/∂X＝20－2X－λ＝0

∂φ/∂Y＝80－4Y－2λ＝0

∂φ/∂λ＝41－X－2Y＝0

从而可得最优的CD与录影带租赁数量分别为：X＝7，Y＝17。