5.3　课后练习题详解

1考察一种有三种可能结果的彩票：

●获得125美元的概率为0.2；

●获得100美元的概率为0.3；

●获得50美元的概率为0.5。

（1）该彩票的期望值是多少？

（2）结果的方差是多少？

（3）一个风险中性者愿意花多少钱购买这种彩票？

解：（1）期望值EV＝0.2×125＋0.3×100＋0.5×50＝80（美元）。

（2）收益方差σ²＝0.2×（125－80）²＋0.3×（100－80）²＋0.5×（50－80）²＝975。

（3）一个风险中性者愿花80美元购买这种彩票，即他愿意支付的价格等于期望收益。

2假设你正投资于一家新成立的计算机公司，该公司的盈利取决于两个方面：（1）美国国会是否会通过关税议案，从而提高日本产计算机的价格；（2）美国经济增长的快慢。你要关注的四种相互排斥的情形分别是什么？

解：四种可能处于的状态为：

3理查德正在决定要不要购买州发行的彩票，每张彩票的价格为1美元，取得回报的概率如下所示：

（1）如果理查德购买了一张彩票，它的期望值是多少？方差是多少？

（2）理查德的绰号是“风险-不-瑞克”，因为他极度厌恶风险。他会购买彩票吗？

（3）理查德获得了1000张彩票。讨论一下你将怎样确定他愿意卖出这1000张彩票的最低价格？

（4）从长期来看，给定彩票的价格和回报/概率表，你认为该州可以从该活动中得到什么？

解：（1）期望值EV＝0.5×0＋0.25×1＋0.2×2＋0.05×7.5＝1.025（美元）。

方差σ²＝0.5×（0－1.025）²＋0.25×（1－1.025）²＋0.2×（2－1.025）²＋0.05×（7.5－1.025）²≈2.812。

（2）理查德可能不会购买彩票的，尽管期望收益大于价格，即：1.025美元＞1.00美元。理查德是否将购买股票取决于它的风险厌恶程度，也即风险溢价水平。如果对于理查德来说，从彩票中获得的期望回报并不足以补偿他所冒的风险，则不会购买彩票。现假定他有10美元，买了一张彩票，在四种情况下，他可能得到的收入为：9.00美元，10.00美元，11.00美元和16.50美元，假定他的效用函数为U＝W^0.5，那么期望效用为：

EU＝0.5×9^0.5＋0.25×10^0.5＋0.2×11^0.5＋0.05×16.5^0.5＝3.157

此时，他得到的期望效用小于他不买彩票时的效用：U（10）＝10^0.5＝3.162，因此他不会买彩票。

（3）理查德获得1000张彩票，他的期望收益为1025美元，但他从这些彩票中可能获得的收益从0美元（所有彩票回报都为0的极端情况）一直到7500美元（所有彩票回报都为7.5千美元的极端情况）。基于这种不确定性和理查德是风险极度厌恶者的条件，可以知道理查德会愿意在期望收益不足1025美元情况下出售所有彩票，更准确的说是1025美元减去他的风险溢价。为了找到这个价格，首先要计算彩票给他带来的期望效用，类似于图5.2中的F点，再利用他的效用函数，可以找到给他带来同样效用所对应的收益值，这就类似于图5.2中C点所代表的16000美元的收入，这一准确数值即为所求。

（4）从长期来看，该彩票发行者将会破产。给定了彩票价格和报酬概率，发行者应该提高彩票的价格或者降低彩票正收益的概率。

图5.2 风险溢价

4假设有一位投资者关心的某项商业项目可能有三个前景——其概率与回报如下表所示。

这项不确定性投资的期望值是多少？方差呢？

解：期望收益EV＝0.4×100＋0.3×30＋0.3×（－30）＝40（美元）。

方差σ²＝0.4×（100－40）²＋0.3×（30－40）²＋0.3×（－30－40）²＝2940。

5你是一名保险代理人，正与一个新顾客山姆签订合同。他的公司，SCAM，目前正致力于为三明治佐料行业研制一种低脂低胆固醇的蛋黄酱替代品。三明治行业愿意为这种蛋黄酱替代品的最先发明者支付高额的专利费。山姆的SCAM公司对你而言具有很大的风险性，你已计算出可能回报，如下表所示。

（1）山姆这个项目的期望回报是多少？方差呢？

（2）山姆最多愿意付出多少钱来购买保险？假定他是风险中性的。

（3）假设你发现日本正计划于下月推出它自己的蛋黄酱替代品，而不知此情的山姆刚刚拒绝了你提出的保险费为1000美元的方案。假定山姆告诉你他的公司将在6个月内推出新产品，以及你知道日本的上述计划，那么在你与山姆接下来的谈判中，你是提高还是降低保单费用？山姆在他已有信息的基础上，会接受你的建议吗？

解：（1）期望收入EV＝0.999×（－1000000）＋0.001×1000000000＝1000（美元）。

方差σ²＝0.999×（－1000000－1000）²＋0.001×（1000000000－1000）²＝1000998999000000。

（2）假定山姆是风险中性的，如果投保能够弥补山姆的全部损失，则在收益等于成本的基础上，山姆最多原意花费1000美元购买保险。

（3）日本公司的进入将降低山姆获得高收益的可能性。例如，假设他获得10亿美元收益的可能性降为0.0001，那么山姆的期望收入为：

ER＝0.9999×（－1000000）＋0.0001×1000000000＝－899900（美元）

这样，保险代理人应该把保险费提到很高的水平。但是，在山姆已有的信息基础上，不知道日本公司的进入，那么他将继续拒绝保险代理人的提议；否则将接受保险代理人的提议。

6假设娜塔莎的效用函数为U（I）＝（10I）^1/2给出，式中，I为以千美元为单位的年收入。

（1）娜塔莎是风险偏好型的、风险中性的，还是风险厌恶型的？请解释。

（2）假设娜塔莎现在的收入为40000美元（I＝40），同时明年也肯定可以获得这样的收入。她现在面临另外一个工作机会，该工作获得44000美元收入的概率为0.6，获得33000美元收入的概率为0.4。她会选择这个新工作吗？

（3）在（2）中，娜塔莎为了规避新工作相对应的收入的波动，愿意购买保险吗？如果愿意，她愿意支付多少保费？（提示：风险溢价是多少？）

解：（1）娜塔莎是风险厌恶型的。

因为假定她有10000美元，她持有10000美元的效用为U（I）＝（10×10）^1/2＝10。如果现在有一项投机活动，获得1000美元和损失1000美元的概率都是50%，即0.5，那么她的期望效用：

EU＝0.5×（90^0.5）＋0.5×（110^0.5）＝9.987＜10

所以，她不会参与此项投机活动，证明娜塔莎是风险厌恶的。

此外，还可以通过效用函数的二阶导数为负（U″＝－[（10）^1/2/4]I^－3/2＜0），即收入的边际效用是递减的，来判断娜塔莎是风险厌恶型的投资者。

（2）娜塔莎目前工资的效用是U（I）＝（10I）^1/2＝400^0.5＝20；

新工作收入的期望效用是：EU＝0.6×440^0.5＋0.4×330^0.5＝19.85。

因为新工作收入的期望效用小于目前工资的效用，所以她不会换工作。

（3）由（1）可知，娜塔莎是风险厌恶者，因此她愿意购买保险。

如果娜塔莎接受了新工作，其期望收入EV＝0.6×44000＋0.4×33000＝39600美元，那么她将愿意为新工作收入的期望效用与新工作的期望收入的效用差距支付保险费，以保证获得期望收入水平下的效用。

在（2）中已经求出新工作收入的期望效用是19.85，假设它相当于一项数额为I的稳定收入带来的效用，即19.85＝（10I）^0.5，解得：I≈39402美元。

所以，娜塔莎愿意支付的保险费为：39600－39402＝198美元。

7假定两个投资项目有相同的三个支付，但是每个支付相对应的概率各不相同，如下表所示：

（1）求每个投资项目的期望回报和标准差。

（2）吉尔的效用函数为U＝5I，其中I表示支付。她会选择哪个投资项目呢？

（3）肯恩的效用函数为U＝5I^0.5，他会选择哪个投资项目呢？

（4）劳拉的效用函数为U＝5I²，她会选择哪个投资项目呢？

解：（1）投资项目A的期望收益为：

EV_A＝0.1×300＋0.8×250＋0.1×200＝250（美元）

该项目方差为：

σ_A²＝0.1×（300－250）²＋0.8×（250－250）²＋0.1×（200－250）²＝500

因而投资项目A的标准差为：σ_A＝（500）^0.5≈22.36。

投资项目B的期望报酬为：

EV_B＝0.3×300＋0.4×250＋0.3×200＝250（美元）

该项目方差为：

σ_B²＝0.3×（300－250）²＋0.4×（250－250）²＋0.3×（200－250）²＝1500

因而投资项目B的标准差为：σ_B＝1500^0.5≈38.73。

（2）吉尔从项目A中获得的期望效用值为：

EU_A1＝0.1×5×300＋0.8×5×250＋0.1×5×200＝1250

吉尔从项目B中获得的期望效用值为：

EU_B1＝0.3×5×300＋0.4×5×250＋0.3×5×200＝1250

因此，两个投资项目带给吉尔的期望效用都是相等的，而吉尔又是风险中性的，所以她对这两个投资项目没有差异。

（3）肯恩从项目A中获得的期望效用值为：

EU_A2＝0.1×5×300^0.5＋0.8×5×250^0.5＋0.1×5×200^0.5≈78.98

肯恩从项目B中获得的期望效用值为：

EU_B2＝0.3×5×300^0.5＋0.4×5×250^0.5＋0.3×5×200^0.5≈78.82

肯恩将会选择投资项目A，因为投资项目A能带给他较高的期望效用。此外，肯恩是风险厌恶的，因而他偏好波动性更小的投资项目。

（4）劳拉从项目A中获得的期望效用值为：

EU_A3＝0.1×5×300²＋0.8×5×250²＋0.1×5×200²＝315000

劳拉从项目B中获得的期望效用值为：

EU_B3＝0.3×5×300²＋0.4×5×250²＋0.3×5×200²＝320000

劳拉将会选择投资项目B，因为投资项目B能带给她较高的期望效用。此外，劳拉是风险爱好的，因而她更偏好波动性大的投资项目。

8作为一位拥有25万美元财富的农场主，你要在将上年的收入（20万美元）投入到一个报酬为5%的无风险货币市场基金上等待季节过去与种植夏季玉米之间作选择。种植的成本为20万美元，6个月之后可以收割。如果雨水充足，那么种植夏季玉米在收割时将获得50万美元的收入；如果遇到干旱，那么收益将为5万美元。第三种选择是你可以购买农业公司的抗干旱夏季玉米，成本为25万美元，如果雨水充足，将会有50万美元的收益，如果遇到干旱，那么收益为35万美元。你是风险厌恶型的，同时你对家庭财富（W）的偏好由关系式U（W）＝W^1/2给出。这个夏季发生干旱的概率为0.30，而雨水充足的概率为0.70。

你将选择上述三个投资项目中的哪一个？请解释。

答：第一个投资项目所能带来的期望效用为：

EU₁＝[250000＋200000×（1＋0.05）]^0.5≈678.23

第二个投资项目所能带来的期望效用为：

EU₂＝0.7×[250000＋（500000－200000）]^0.5＋0.3×[250000＋（50000－200000）]^0.5＝614.00

第三个投资项目所能带来的期望效用为：

EU₃＝0.7×[250000＋（500000－250000）]^0.5＋0.3×[250000＋（350000－250000）]^0.5≈672.46

因而最终将选择第一个投资项目，因为第一个投资项目所带来的期望效用最高。

【说明】该题中，种植玉米的周期为6个月，而货币市场基金的利率5%如果是年利率，应该将三个投资项目放在同一个时间周期内考查。因此，货币市场基金6个月的利率为2.5%，从而第一个投资项目带来的期望效用为：E（U）＝[250000＋200000×（1＋0.025）]^0.5≈674.54。此时，第一个投资项目带来的期望效用仍是最高的，但比第三个投资项目的期望效用只高出很小的幅度。

9画出这样一个人的以收入为变量的效用函数曲线U（I）：他在收入较低时为风险偏好型的，但在收入较高时为风险厌恶型的。你能说明为什么这样一个效用函数可能合理地描述了一个人的偏好吗？

答：假设一人维持生活的最低收入为I^*。如图5.3所示，当收入大于I^*时，其边际效用是递减的，此时他是风险规避者，为了避免损失他可能会购买保险；当收入小于I^*时，他是风险爱好者，为维持生活他会冒险从事高风险的投机活动以获取较大的收入。所以，这样一种效用函数能够合理地解释该投资者的偏好。

图5.3　表示收入高低情况下不同风险偏好的效用曲线

10一个城市正考虑花多少钱去雇人来监控停车计时器。以下信息是城市管理员可得的：

●雇佣一个计时器监视人员每年需花费1万美元；

●雇佣一个监视人员时，违章者受到处罚的概率为0.25；

●雇佣两个监视人员时，受到处罚的概率变为0.5；雇佣三个时概率为0.75；雇佣四个时概率为1；

●目前有两个监视人员，违章超时停车的罚款为20美元。

（1）假设所有的司机都是风险中性的，为了在最小成本下维持现在的处罚率，市政当局会对每次违章征收多少罚款？雇佣多少监视人员（1，2，3还是4）？

（2）假设所有司机都是高度风险厌恶的，那么你对（1）的回答又如何？

（3）（讨论）如果司机为规避违章停车处罚的风险购买了保险，情况又会怎样呢？从公共政策的角度而言，准许这样的保险合理吗？

答：（1）如果司机是风险中性的，则他们的行为仅取决于期望的罚款数额。雇佣两人时，处罚率为0.5且罚款为20美元，此时期望罚款为10美元。为了维持期望的处罚率，雇佣一人时，罚款应定为40美元，雇佣三人时，罚款定为13.33美元，雇佣四人时，罚款定为10美元。

为了在最小成本下维持现在的处罚率，市政当局要尽量少雇佣监视员，所以市政当局可以只雇佣一人，对每次违章的罚款定为40美元。

（2）如果司机是风险厌恶的，不到40美元的罚款将保持目前的处罚率。

（3）司机可以采取多种方法来逃避罚款，例如在他们目的地旁边不受监视的停车点停车，或者使用公共交通工具。私人保险公司可以为司机受到的处罚买单，保险费基于每个司机受到处罚的概率和提供保险服务的机会成本而定。

公共政策应该使整个社会成本和收益之间的差别最大化。从公共政策的角度处出发，允许这类保险的存在是不合理的。当司机为规避违章停车罚款而购买保险，不利于相对稀缺的停车场的有效配置，使其他群体的利益受到损害。市政当局可以考虑提供其他形式的保险，例如，出售停车点、对乱停车给以罚款等等。

11有一位投资者对风险的规避程度适中，其投资组合50%投资于股票，另外50%投资于无风险的国库券。分别说明下述各个事件对该投资者的预算线以及股票在投资组合中的比重会有怎样的影响：

（1）股票市场回报的标准差增加了，但是期望回报保持不变；

（2）股票市场的期望回报增加了，但是回报的标准差保持不变；

（3）无风险国库券的回报增加了。

答：（1）根据教材5.4部分，可知预算线方程为：

R_p＝[（R_m－R_f）/σ_m]σ_p＋R_f

R_p是资产组合的期望报酬，R_m是风险资产的期望收益，R_f是无风险资产的期望收益，σ_m是风险资产报酬的标准差，σ_p是资产组合报酬的标准差，预算线方程展示了资产组合报酬R_p和标准差σ_p的正向变化关系。

在这种情况下，如果股票市场上的报酬标准差σ_m增加，也即预算线的斜率变小，预算线将更加平滑。给定任何资产组合报酬的水平，该报酬水平将会对应更大的标准差，所以投资者会减少股票在资产组合中所占的比例。

（2）如果股票市场上的期望收益增加，预算线的斜率会发生变化，预算线变得更加陡峭。给定报酬的标准差σ_p，将会对应更高的资产报酬R_p。在这种情况下，投资者会增加股票在资产组合中所占的比例。

（3）无风险国库券的报酬R_f增加，预算线会向上移动，而且变得更加平滑。股票在资产组合中所占的比例可能增加也可能减少。

一方面，投资者可以从国库券上获得更大的报酬，所以可以减少对股票的持有而仍然保持原来的报酬水平；另一方面，投资者可能愿意把更多的储蓄用于风险资产的购买，这取决于该投资者的偏好和两种资产总报酬的规模。这种情况类似于利率增加对储蓄的影响，一方面因为报酬增加而增加储蓄；但另一方面，由于可以减少储蓄而仍然保持原来的储蓄规模下的报酬水平，所以可能减少储蓄。

12假设有两类电子书消费者：100名“标准”消费者，需求为Q＝20－P；100名“拇指法则”消费者，只有价格低于10美元时才会购买10本电子书。（他们的需求为若P＜10，则Q＝10；若P≥10，则Q＝0。）画出电子书的整体需求曲线。这种“拇指法则”行为是如何影响对电子书的需求弹性的？

图5.4　电子书的市场需求曲线

答：（1）电子书的整体需求曲线如图5.4所示。需求曲线的上半部分可以视为标准消费者的需求曲线。当P＝20时，电子书的需求量为0；当P＝10时，每位标准消费者的需求量为10，每名拇指法则消费者的电子书需求量为0。由于有100名标准消费者，因此，总需求量为1000；当价格下降到9.99美元时，每名拇指法则消费者都将购买10本电子书，从而总需求量为2000。最终，当电子书价格降为0时，每位标准消费者都将购买20本电子书，每位拇指法则消费者将购买10本电子书，此时总购买量为3000本。

（2）上半部分市场需求曲线方程等于100名单个标准消费者需求方程之和，即有：Q＝2000－100P。

因此，需求曲线的斜率为：ΔQ/ΔP＝－100。

由需求价格弹性公式E_D＝（P/Q）·（ΔQ/ΔP），可知当P＝10时，需求价格弹性为：

E_D＝（10/1000）·（－100）＝－1

假设当价格降为P＝9.99时，此时拇指法则消费者进入市场，需求价格弹性变为：

E_D＝（9.99/2000）·（－100）≈－0.50

即“拇指法则”行为导致电子书需求价格弹性下降。其原因在于：一旦拇指法则消费者进入市场，由于他们的需求完全缺乏弹性，拇指法则消费者将降低价格在10美元以下的电子书的需求价格弹性。