7．内容、真理性内容和虚假性内容

为了阐明在探索真理时我们所做的工作，至少在某些场合我们应该能说明坚持如下直观主张的理由，即，我们已经比较接近真理，或者说某一理论T1被另一新理论T2所取代，这是因为T2比T1更接近真理。

理论T1比理论T2离真理远些，因此T2就比T1更接近真理（或者说是一种较好的理论），这种观念已经为包括我自己在内的许多哲学家直观地采用了。正如真理概念被许多哲学家认为是可怀疑的一样（并不是完全没有一点真理或道理，因为塔尔斯基的语义悖论分析已经很清楚地阐明了这一概念），更接近真理的概念、近似真理的概念或者（如我所称呼的）更大“逼真性”的概念等等，也都受到怀疑。

为解除这些怀疑，我引进了一个关于逼真性的逻辑概念，这一概念包括最初由塔尔斯基提出的两个概念：（a）真理概念；（b）陈述的（逻辑）内容的概念，即，该陈述逻辑地蕴涵的所有陈述的类（如塔尔斯基通常所称的它的“后承类”）。

每个陈述都有一个内容或者后承类，即由它所推出的所有那些陈述的类。（仿效塔尔斯基，我们可以把重言式陈述的后承描述为零类，所以，重言式陈述就具有零内容。）每一个内容都包含由它的所有真后承的类组成的子－内容。

由一个已知陈述（或者属于一个已知的演绎系统）推导出来的并非重言式的所有真陈述的类，可以被称为该陈述的真内容。

重言式（逻辑上真的陈述）的真理性内容是零：它仅仅由重言式构成。所有其他陈述，包括所有假陈述，都具有非零的真理性内容。

一个陈述所蕴涵的假陈述的类——一个严格地由所有那些虚假陈述组成的它的内容的子类——可以被称之为（请允许借用一个名称）该陈述的虚假性内容；但是它不具有“内容”或塔尔斯基的后承类的独特性质。它不是一个塔尔斯基式的演绎系统，因为从任何假陈述中可以逻辑地推导出真陈述。（一个假陈述和任何真陈述的析取，就属于那些本身为真、但却是从假陈述中推导而得的陈述之列。）

在本节的其余部分中，为了准备对逼真性概念进行更深入的讨论，我打算先对真理性内容和虚假性内容的直观概念作些详细的讨论；因为一个陈述的逼真性将被解释为真理性内容不断增加而虚假性内容不断减少。这里，我将主要利用塔尔斯基的概念，特别是他的真理理论、他的后承类理论以及他的演绎系统（更详细的论述可参阅本书第九章）。

可以按这样的方法来解释一个陈述a的虚假性内容（与从a推出的假陈述类相区别）：（1）它是一个内容（或者塔尔斯基的后承类）；（2）它包含由a导出的所有虚假陈述；（3）它不包含真陈述。为了达到上述要求，我们需要把内容概念相对化，而这能以很自然的方式做到。

让我们把陈述a的内容或者后承类称为“A”（因此，一般地说，X是陈述x的内容）。让我们像塔尔斯基那样，把一个逻辑上真的陈述的内容称为“L”。L是所有逻辑上真的陈述的类，即所有内容和所有陈述的共同内容。我们可以说L是零内容。

我们现在把内容概念相对化，于是我们能在已知内容Y的情况下讨论陈述a的相对内容，我们用符号“a，Y”表示这一点。这是在Y出现，但又不仅仅只有Y出现的情况下，从a中可推出的所有陈述的类。

我们马上可以明白，如果A是陈述a的内容，那么我们就有了按相对化的方式书写的公式：A=a，L；这就是说，陈述a的绝对内容A等于a的相对内容，在已知“逻辑”（=零内容）的情况下。

关于猜想a的相对内容的一种更有意义的情况是a，Bt，这里Bt是我们在t时的背景知识，即在t时被断定为无需讨论而接受的知识。我们可以说，在一个新的猜想a中有意义的首先是相对内容a，B；这就是说，是内容a中超过了B的那一部分。正如一个逻辑上真的陈述的内容是零一样，如果a仅仅只包含背景知识而没有超出背景知识的内容，那么，在已知B的情况下，猜想a的相对内容也是零：我们可以一般地说，如果a属于B，或者换一个同样的说法，如果A⊂B，那么a，B=0。因此，陈述x的相对内容Y是指在Y出现时，x超出Y的信息。

现在，我们可以把a的虚假性内容（用符号AF表示）定义为在已知a的真理性内容的情况下a的内容（即A和T的交汇点AT，这里T是塔尔斯基系统中的真陈述）。这就是说，我们可以定义：

AF=a，AT.

这里所定义的AF符合我们的要求，即它满足了恰当性条件：（1）Ar是一个内容，尽管它是一个相对内容；“绝对”内容说到底也是相对内容，例如逻辑真理（或者假定L是逻辑上真的）；（2）AF包含所有从a推出的假陈述，因为它是在取真陈述为（相对）零类时，从a中推出的陈述的演绎系统；（3）在真陈述不被当作内容而是作为（相对的）零内容的意义上，AF不“包含”真陈述。

内容有时是逻辑上可比较的、有时则是不可比较的：这些内容构成一个受包含关系制约的部分有序系统，恰似一些陈述根据蕴涵关系组成的部分有序系统一样。如果A⊂B，或者B⊂A，那么A和B的绝对内容是可比较的。至于相对内容，其可比较性的条件则更为复杂。

如果X是一个有限的可公理化内容或演绎系统，那么就存在一个陈述x，其内容是X。

这样，如果Y是有限的可公理化的，我们就可以写作：

x，Y=x，y.

在这种情况下，我们可以知道，x，Y等于x·y的合取的绝对内容减去y的绝对内容。

上述研究表明，如果：

（A+B）-B与（C+D）-D是可比较的，

那么a，B和c，D将是可比较的，这里“+”是塔尔斯基演绎系统中的加号：如果两者都是可公理化的，A+B就是a与b的合取的内容。

因此，在这种部分有序系统中，可比较性将是罕见的。不过，有一种方法表明这些部分有序系统可能是“原则上”——即无矛盾地——线性有序的。这种方法是形式概率论的应用。（这里我断定它仅仅适用于可公理化系统，但它也可能被推广运用于非公理化系统；详见下面第九章。）

我们可以写作“p（x，Y）”或者p（X，Y），读作“已知Y时x的概率”，运用形式公理系统研究相对概率（关于相对概率我已在其他地方提到，例如在我的《科学发现的逻辑》一书的新附录的第*iv和第*v节中），其结果是，p（x，Y）是从0到1之间的一个数——通常我们不知道是哪一个数——我们可以一般地断定：p（a，B）和p（c，D）是原则上可比较的。

尽管我们通常没有足够的信息来决定是p（a，B）≤p（c，D），还是p（a，B）≥p（c，D），我们可以断定，在这些关系之中至少有一种关系成立。

所有这些研究结果表明，我们可以断定，借助于概率演算，真理性内容和虚假性内容在原则上是可以比较的。

正如我在其他地方所说明的那样，p（a）或者p（A）的逻辑概率越小，a的内容A就越大。一个陈述传递的信息越多，它为真的逻辑概率就越小（可以说是偶然为真的）。因此，我们可以引进一个内容的“测度”（它主要可以被运用于拓扑学上，即作为一个线性序列的标志）：

ct（a），

即，a的（绝对）内容，也是相对测度

ct（a，b）和ct（a，B）

即，在分别已知b或B时，a的相对内容。（如果B是可公理化的，那么我们就有ct（a，b）=ct（a，B）。）借助于概率演算，这些“测度”ct可以得到定义；也就是说，借助于定义

ct（a，B）=1-p（a，B），

测度ct可以得到说明。现在，我们有了定义真内容ctT（a）和假内容ctF（a）（的测度）的手段：

ctT（a）=ct（AT），

这里AT还是指A和塔尔斯基所有真陈述的系统的交汇点；并且：

ctF（a）=ct（a，AT），

即，在已知a的真理性内容AT的情况下，虚假性内容（测度）就是a的相对内容（测度）；或者换句话说，虚假性内容就是a超出那些由a推出、并且为真的陈述的程度。