答案

1．帽子的颜色

假设1：如果C看到A、B戴的都是白帽子，那么就不用想了，他戴的肯定是红帽子，但要注意的是，他是听了A、B的答案后才回答的，所以他不可能看到两个白帽子。假设1被排除。

假设2：如果C看到1红1白，如果他头上戴的是白帽子的话，那么一共2顶白帽子，A和B肯定有一人能答出正确答案了。所以C能确定他戴的是红色帽子。

假设3：如果C看到2顶红帽子，那么他一样可以确定他戴的不是白帽子，因为如果他戴的是白帽子的话，那么A回答完“不知道”后B就可以答出自己的帽子是红色的，因为假设中已经提到A是红色的，C是白色的，排除了其他可能。

所以综合三个假设可以得出，C戴的帽子肯定是红色的。

2．选择接班人

既然商人戴了红帽子，如果自己也戴的是红帽子，B就马上可以猜到自己戴的是黑帽子（因为红帽子只有2顶）；既然B没说，那就是说自己戴的是黑色帽子。

B也是一样的，但是B却没说，可见，B的反应太慢了。结果A做了接班人。

3．猜帽子

学生甲、乙、丙三个人头上戴的都是白帽子，即甲、乙、丙睁开眼睛时看到另外两个人头上戴着的是白帽子，因为有三顶白帽子、两顶红帽子，他们无法看到自己头上会戴着什么帽子。我们以甲为中心来进行推论：

甲想：假设我头上戴的是红帽子，那么乙会如此推测：“甲头上戴的是红帽子，如果我头上戴的也是红帽子，那么丙立刻就会说出他头上戴的是白帽子。现在丙没有说他戴的是白帽子，则说明我头上戴的不是红帽子，即我头上戴的是白帽子。”

那么乙很快就会说出他戴的是白帽子。但是乙并没有说，说明甲自己头上戴的不是红帽子。

乙、丙的想法与甲相同，所以最终的结果是三个人异口同声地说：我头上戴的是白帽子。

4．看帽子猜颜色

丁说不知道自己帽子的颜色，则甲、乙、丙三个人中，必定至少有一顶黄色帽子。因为如果前面三个人的帽子颜色为2蓝1红，则丁只能戴黄色帽子了。

同理，丙说不知道，那么甲乙两人中必定至少有一顶黄色帽子。

同理，乙说不知道，那么甲必定戴的是黄色帽子。

5．谁被释放了

把三个人标记成A、B、C。当A看到另外两个人戴的都是黑帽子的时候，A会想到如果自己戴的是白帽子，而另一个犯人B就会看到一顶白的和一顶黑的帽子，而犯人B就会想：如果自己戴的是白帽子，那么C就会看到两个戴白帽子的，那么他就会出去，但是C没有出去，也就是说他没有看到两顶白帽子，那么自己头上戴的一定是黑帽子，这样一来B就会被放出来，但是B没有出去。同理C也是这样，所以A可以断定自己戴的是黑帽子。

6．红色的还是白色的

当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的，但每个人不知道其他人是否知道这个事实，即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后，“至少一个人的帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人都知道“至少一个人的帽子是红色的”，每个人还知道其他人知道他知道这个事实……

局外人第一次问时，由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子，每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色，于是均回答“不知道”。此时，如果只有一个人戴红色的帽子，那么这个人因面对3顶白色的帽子，他肯定知道自己的帽子颜色。因此，当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2个人戴的是红色的帽子”，而且这也是公共知识。

当局外人第二次问时，如果只有2个人戴的是红色的帽子，这2个人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人，因此当局外人第二次问时，他们只能回答“不知道”。——此时的“不知道”，意味着“至少3个人戴红色的帽子”，并且它已成为公共知识。

同样，局外人第三次问时，他们均回答“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此，当局外人第四次问时，他们就知道每个人头上均戴的是红色的帽子，于是，他们回答“知道”。

在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及第二、第三、第四次回答的时候，无论是回答“知道”还是“不知道”——它们构成公共知识——构成所有人推理的前提，在这个过程中，每个人均在推理。这就是“帽子的颜色问题”。

7．白色和黑色的纸片

假设戊说的是真话，“四片白纸片”，那甲、乙、丙都该说真话，矛盾，即戊说的是假话，他头上是黑纸片。

假设乙说的是真话，“四片黑纸片”，那么甲、丙、丁头上也是黑纸片，乙头上是白纸片，而丙说的“三黑一白”就成了真话，矛盾，所以乙也说的假话，头上是黑纸片。

这样就剩乙和戊两张黑纸片了，甲也在说假话，是黑纸片。

如果丙说的“三黑一白”是假话，因为甲、乙、戊已经是黑了，那丁就该也是黑，这样乙说的“四黑”就成真话了，矛盾，所以丙说的真话，头上是白纸片。

丙说的“三黑一白”是真话，甲、乙、戊又都是黑纸片，所以丁是白纸片。

8．大赛的冠军

他是这样推论的：设另外两个人分别为甲和乙。

甲举手了，这说明我和乙两人中，至少有一个人是戴红帽子的。

同样，乙举手了，这说明我和甲两人中，至少有一个人是戴红帽子的。

如果我头上不是戴红帽子，那么，乙一定会想：“甲举了手，说明乙和我至少有一个人头上戴红帽子，现在，乙明明看到我不戴红帽子。所以，乙一定戴红帽子。”在这种情况下，乙一定会知道并说出自己戴红帽子。可是，他并没有说自己戴红帽子。可见，我头上戴的是红帽子。

同理：如果我不是戴红帽子，甲的想法也会和乙是一样：“乙举了手，这说明甲和我两人中至少有一个人头上戴红帽子。现在，甲明明看到我头上不戴红帽子。所以，甲一定戴红帽子。”在这种情况下，甲一定会知道自己戴红帽子，可是，甲并没有这样说。所以，我头上戴的是红帽子。

9．聪明的俘虏

因为在周围的10个人都看到了9条丝巾，他们猜不出来的原因，就是都看到了5条红丝巾，4条蓝丝巾，所以猜不出自己的是红还是蓝。这样唯一的情况，就是中央的人戴的是红丝巾，而被中间的人挡住的那个人戴的丝巾和自己的颜色正好相反。所以，在周围的人就猜不出自己头上丝巾的颜色了。

10．电梯

法国青年亲了自己手掌一下，然后狠狠地打了纳粹军官一耳光。因为他是爱国青年，这种行为也算是对入侵者的报复吧。

11．裁员还是减薪

你应该选择开除部分员工，为什么呢？

如果你给每个人都减薪15%，有些雇员可能就会跳槽到其他公司，去谋求薪水更高的职位。而不幸的是，最有可能跳槽的都是你手下那些最优秀的雇员，因为他们更有可能在其他地方谋得更高薪水的职位。所以，每个人减薪15%，会让你流失最优秀的员工，这恰恰是你最不想看到的。相比之下，如果你选择开除15%的员工，显然可以选择淘汰生产效率最低的那部分员工。优胜劣汰，是自然界永恒的法则。

12．排队买麻花

这家冒牌的陈麻花门前之所以排长队，是因为这家的老板经常会找一些人在门前专门排队。

当我们走到几家店门口时，看到有人在排长队，就知道一定有事情发生。我们会认为他们排队是有原因的，这很正常，因为一般只有口味很好的麻花才值得别人排这么长的队。

当多数人都选择某个店买麻花时，我们最好也选择这个店。因为别人也有选择其他店的可能，但之所以没有选择，肯定是有所考虑的，我们也就没必要冒险了。

13．意想不到的老虎

多数人认为，死囚的第一步推理是正确的，即老虎不可能在第五扇门内。实际上，即使只有一扇门，死囚也无法确定老虎是否在这扇门里，它确实是意想不到的。这是一道著名的逻辑悖论，至今仍然没有很好的解释。关键就在于“意想不到”。既然承认了意想不到的前提，怎么能推出必然的结论呢？

14．盗窃案

首先，第二天，有4个人喊叫。一定是4个平民的喊叫，不可能其中有小偷。可得出下面3种可能的情况。因为有4个平民被盗，1个警察，又因为小偷一天偷一次，这3个条件。所以，第一种情况：4个小偷，4个平民，2个警察。第二种情况：4个小偷，5个平民，1个警察。第三种情况：5个小偷，4个平民，1个警察。

第一天，这几个小偷不约而同地偷了豪宅（除了十个房间以外的地方）里的东西！这也解释了为什么第二天被盗的4个人当中一定没有小偷！

分析第一种情况：因为，4个平民都可以识别警察。而警察又有2个。并且，第二天，他们4个平民又互相认识了彼此的身份。所以，他们每个人都很清楚剩下的4个人一定是小偷！因此，他们每个人都会写2封一样的匿名信，分别投进2个警察的信箱里。而题目中却是5封信，并且每封信里所包含的姓都不一样！所以第一种情况是不可能的！

第二种情况：4个小偷，5个平民，1个警察。

首先，当每个被盗的平民看到外面只有1个警察时，这时候每个被盗的平民都不能确定剩下的5个人中到底是4个小偷和1个没有被盗的平民，还是这5个人都是小偷。所以，他们无法写匿名检举信。换句话说：在5个平民中，只有那个没有被盗的平民知道外面有4个被盗平民，1个警察。从而推断出剩下的4个人一定是小偷！他只用写一封信就够了。然而，那4个小偷如果看到外面有5个平民，那么每个小偷都能推断出那个没有被盗的平民一定会写一封信给警察！因此，他们就不约而同地做出了一件事！因为每个小偷都无法从除了自己、5个平民以外的4个人中推出谁是警察。所以，他们每个人都写了4封信，而这4封信的特点是：每封信都不写自己、收信人和4个被盗的平民的姓，然后就把这4封信分别投入对应的收信人的信箱！那么，总会有一封信会被警察收到！所以，警察一共会收到5封信，而这5封信中，每封信的内容都不一样。

警察看完信，想了一会儿后马上冲出去。为什么警察要冲出去呢？肯定是他已经知道谁是小偷了。可为什么这么急呢？他怕小偷销毁证据。

但是警察只能推出5个嫌疑人中有4个是小偷。无法判断哪个是没有被盗的平民。

当那4个小偷看到有一个没有被盗的平民后，每个小偷都会知道这个平民一定会写给警察一封匿名检举信。所以这4个小偷都会写4封匿名诬告信。但是有一点你们都没有注意到：就是当小偷在写第一封信的时候，他的潜意识里已经有了3个人的姓！其中有一个是自己的姓，另一个是收信人的姓。但是这两个人的姓都不能写在信里呀！对！还有一个人，小偷一定是第一个写这个人的姓！这个人就是：没有被盗的平民！因为，只有他在每个小偷的脑海里是直观印象的，而其他的3个人的姓只能靠推理，随机地推出一个写一个！所以，这个小偷在写每一封信的第一个姓的时候就不假思索地写下了没有被盗的平民的姓！其他的小偷都会这样想，这样做！因此，陈警察收到的5封信应该是：其中有4封信的第一个姓是一样的，只有一封信的第一个姓是不一样的！而这封第一个姓不一样的信的写信人就是：没有被盗的平民！

第三种情况下，5个小偷都会写信给警察。

第一天，有5个小偷不约而同地偷了豪宅（除了十个房间以外的地方）里的东西。到了第二天，有两种可能：5个小偷都偷了4个平民，有一个平民被盗了两次！这5个小偷都认识外面的4个平民，每个小偷都会想：如果有2个警察，那么每个警察一定会收到4封信，每封信包含的姓是一样的。而且，每个小偷都会想到警察会想到这些！在这种情况下，每个小偷都意识到包括自己在内的所有小偷都会被抓。所以，他们就没有必要再去写匿名诬告信了！如果只有1个警察，那么就应该有5个小偷。每个小偷都知道那4个平民是不会给警察写信的！因为，这时候每个被盗的平民都不能确定剩下的5个人中到底是4个小偷和1个没有被盗的平民，还是这5个人都是小偷。所以，他们无法写匿名诬告信。每个小偷都会想到这一点！所以，为了不被警察怀疑，每个小偷都会写信给警察。

第二天，有4个小偷都不约而同地偷了4个平民家的东西，而这个时候，另外一个小偷却还是偷的豪宅（除了十个房间以外的地方）里的东西！那么，偷平民家东西的那4个小偷的想法和上面是一样的！而那个偷豪宅的小偷，他会不会一定写匿名诬告信呢？答案是：会的！因为他能清清楚楚地推出：一定有5个小偷（包括自己）。他也能想到其他4个小偷会写包含自己的姓的诬告信！如果自己不写信给警察，那么警察就会收到4封信，而每封信的内容里都有自己的名字，这样很容易让警察怀疑上自己！因此每个小偷都会写匿名诬告信！

所以，最终的答案就是：

1个警察——陈

4个平民——张、王、李、徐

5个小偷——董、许、林、孔、赵

15．抽卡片

其实很显然最后一个是乙选的，那么他想把大的留在后面（比如24是最后的话，结果一定大于24，是绝对值），所以甲希望大的先出，乙相反。

B采取这样的策略。

（1）如果A把2k－1（k不等于12）置+（－）号，他就把2k置－（+）号。

（2）如果A把2k（k不等于12）置+（－）号，他就把2k－1置－（+）号。

（3）如果A把24置+（－）号，他就把23置+（－）号。

（4）如果A把23置+（－）号，他就把24置+（－）号。

结果是36，也就是说至少36。

对于A：

如果A第一次选1，后来A根据B的选择来定，总选择和B相差1的数，并且符号始终相反，则A、B各选了11次后，最多是12，那么即使最后是24，最多就为36，也就是说至多是36。

结果就是36。

16．扑克游戏推理

四个5和四个10都在乙手里。在普通的扑克游戏中，五张的“顺子”必然要包含5或10，不考虑A是大还是小，或者两者都算。

17．三人决斗

设：A—阿历克斯　B—克里斯　C—鲍博

（1）只有AB相对

A活下来的可能性为30%＋70%×50%×30%＋70%×50%×70%×50%×30%＋…＝0.3/0.65

B活下来的可能性为70%×50%＋70%×50%×70%×50%＋70%×50%×70%×50%×70%×50%＋…＝0.35/0.65

应该恰好等于1－0.3/0.65。

（2）只有AC相对

A活下来的可能性为30%

C活下来的可能性为70%

（3）只有BC相对

B活下来的可能性为50%

C活下来的可能性为50%

（4）三人相对

A活下来有三种情况。

①A杀了C，B杀不死A，A又杀了B，概率30%×50%×0.3/0.65。

②A杀不死C，B杀了C，A杀了B，概率70%×50%×0.3/0.65。

③A杀不死C，B杀不死C，C杀了B，A杀了C，概率70%×50%×30%。

所以A活下来的可能性为0.105+3/13≈0.336大于1/3，比较幸运了。

也有人对此提出质疑，他认为：A的正确决策是首先朝天开枪！

这样，在这种情况下，B和A一定会死一个，那么A在该情况下就有30%可能活命！比其他任何情况都高！这才是A的策略，也是A所能控制的情况。

B活下来有三种情况。

①A杀了C，B杀了A，概率30%×50%

②A杀不死C，B杀了C，AB相对的情况下B杀了A，概率70%×50%×0.35/0.65。

③A杀了C，B杀不了A，AB相对的情况下B杀了A，概率30%×50%×0.35/0.65。

所以B活下来的可能性为0.15+3.5/13≈0.419大于1/3，非常幸运了。

C活下来只有一种情况。

A杀不死C，B杀不死C，C杀了B，A杀不死C，C杀了A，概率70%×50%×70%。

所以C活下来的可能性为0.245小于1/3，非常不幸。

而且A、B、C活下来的可能性之和恰为1。

18．男孩和女孩

由于每个人都看不到自己头上戴的帽子，所以男孩看来是一样多，则说明男孩比女孩多一个，设女孩有x人，那么男孩有x＋1人。而在每一个女孩看来，天蓝色游泳帽是粉红色游泳帽的2倍。也就是说2（x－1）＝x＋1，解得x＝3。所以男孩4个，女孩3个。

19．玻璃球游戏

4个男孩。

因为每人拿的球中，红>蓝>绿，而每人一共拿了12个球，所以红球最少要拿5个，最多只能拿9个。

红球一共是26个，每人至少拿5个，所以最多能有5个人。

小强拿了4个蓝球，那么他最多只能拿7个红球了；就算小刚和小明都拿了9个红球，他们三个也只拿了25个红球，少于26个，所以至少是4个人。

假设是5个人，那就有4个人拿了5个红球，1个人拿了6个红球。

对于拿了5个红球的人来说，蓝球和绿球只有一种选择：4蓝3绿，和只有小强拿了4个蓝球这个条件矛盾。所以是4个人。

拿球的组合情况如表1-2所示。

20．送金鱼

儿子们所送的金鱼中，各色金鱼的数量如表1-3所示。

21．六种颜色

选C。由条件（1）可得，其余的四种颜色（黄、绿、蓝、白）为两组互为对面的颜色，又由（2）、（3）可得必定是白色与黄色为对面，蓝色与绿色为对面。所以，选C项。

22．汽车的颜色

如果是黑色的，那么三句话都是正确的；如果是银色的，前两句是正确的，第三句是错误的；如果是红色的，三句都是错误的。所以只有银色符合条件。

23．彩旗的排列

顺序依次是：紫、蓝、黄、银、红、黑、绿、白。

（1）银色旗子离紫色旗子较近。

（2）红色旗子与白色旗子隔两面旗子。

（3）蓝色旗子在紫色旗子边上。

（4）黄色旗子在银色旗子与蓝色旗子之间。

24．抽屉原理

4个。

在最差的情况下抓3个至少是每种颜色的彩球各一个，所以再多抓一个，也就是4个，那么里面一定会有2个是一样颜色的。这就是最简单的“抽屉原理”。

下面解释一下“抽屉原理”，我们先看几个例子。

“任意367个人中，必有生日相同的人。”

“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”

“从数1，2，…，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”

……

大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：“把m个东西任意放进n个空抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”

在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，…，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

25．涂色问题

以第一格涂红色为例，给出树形图如图1-1所示。

由此得出，不同的涂色方法共有（种）。