4．惯性、引力、流形与几何

爱因斯坦很快发现了狭义相对论的不足之处，问题是其中的相对性原理只对于互相做匀速直线运动的惯性参考系成立。物理规律为什么对惯性参考系和非惯性参考系表现不一样呢？惯性参考系似乎仍然具有特殊性，这不符合爱因斯坦所信奉的马赫原理，因而原来的相对性原理概念需要扩展到非惯性参考系。

爱因斯坦认为，不仅速度是相对的，加速度也应该是相对的。非惯性系中物体所受的与加速度有关的惯性力，本质上是一种引力的表现。因而，引力和惯性力可以统一起来。

类似于16岁时思考的“追光”问题，爱因斯坦又想到了另一个思想实验：如果我和“自由落体”一样地下落，会有些什么样的感觉？追光实验是个悖论，因为它描述的情况不可能发生。而自由落体实验在现实生活中有可能发生，比如说，设想电梯的缆绳突然断了，电梯立刻变成了自由落体，其中的人会有什么感觉？这个问题如今不难回答，那就是在许多游乐场大玩具中可以体验到的“失重”感觉。因为那时候，电梯中的人将以9.8m/s2的加速度向下运动。这个加速度正好抵消了重力，因而使我们感觉失重。

加速度可以抵消重力的事实说明它们之间有所关联。加速度的大小由物体的惯性质量mi决定，重力的大小由物体的引力质量mg决定。由此，爱因斯坦将惯性质量mi和引力质量mg统一起来，认为它们本质上是同一个东西，并由此而提出等效原理。爱因斯坦猜想，等效原理将提供一把解开惯性和引力之谜的钥匙。

爱因斯坦的思想实验也可以用图1-4-1的例子来说明。

图1-4-1所示的是站在宇宙飞船中的人。设想宇宙飞船的两种不同情况：图1-4-1（a）中，宇宙飞船在太空中以加速度a=9.8m/s2上升，太空中没有重力；图1-4-1（b）中的太空船静止于地球表面，其中的人和物都应感受到地球的重力，其重力加速度g=9.8m/s2。两种情形下的加速度数值相等，但一个是推动飞船运行的牵引力产生的加速度，方向向上；另一个是地球表面的重力加速度，方向向下。如果引力质量和惯性质量相等的话，飞船中的观察者应该感觉不出这两种情形有任何区别。所有物理定律的观察效应在这两个系统中都是完全一样的。包括人的体重、上抛小球的抛物线运动规律、光线的偏转等。

等效原理揭示了引力与其他力在本质上的不同之处。引力系统可与加速度系统等效，似乎可以用变换“参考系”的方法来将其“抵消”掉！这是电磁力没有的性质。不过，爱因斯坦也注意到，对于引力分布的真实情况，这种“抵消”实际上是做不到的。上述爱因斯坦的思想实验中，图1-4-1（b）描述的是均匀的重力场，它等效于作匀加速运动的太空船。但是，均匀重力场在宇宙中并不存在。电磁力的情形不同，因为电磁作用只存在于带电物体之间，我们可以通过安排电荷的分布情形来人为造出均匀的电场，如平板电容器两个极板之间的电场就几乎是均匀的。但任何物体之间都存在引力，引力场的分布情形由物质的分布情形决定。比如说，大多数天体都是如地球一样的球形，它周围空间的引力场呈球对称分布，不可能用任何匀加速运动的参考系来抵消。如果把所有这样的天体附近的引力场都共同考虑，整个宇宙的引力图像便会异常复杂。

只有在地球表面附近，离开地球很小的范围内，引力才可以近似为一个均匀场。而整个宇宙空间的引力场则是分布极不均匀，非常复杂的。爱因斯坦试图找到一种数学模型来描述与引力场分布相关的这种复杂的宇宙图景，但苦苦思索了七八年也没有想出个名堂来。直到后来，他又去请教他的好朋友，数学家格罗斯曼。格罗斯曼曾经多次帮助爱因斯坦。这时的格罗斯曼已经成为了苏黎世联邦理工学院的全职教授。他研究画法几何，因而熟悉黎曼几何。于是他便告诉爱因斯坦，他需要的数学模型，黎曼在50年之前就已经发明出来了。格罗斯曼还将当时几个有名的数学家：克里斯托费尔、里奇、列维·奇维塔，以及他们发展、完成的张量理论和绝对微分学等介绍给爱因斯坦。

黎曼几何描述的是任意形状的n维“流形”。粗略地说，二维流形的概念可以用三维空间中的曲面图像来直观地理解。对高于二维的流形，就很难有直观几何图像了。但二维曲面能使我们了解流形的许多特征。

流形有其复杂的“内蕴”几何性质，用内蕴曲率来表征。流形上每一点的内蕴曲率可以各不相同，或0、或正、或负，见图1-4-2。内蕴曲率为0的流形的几何比较简单，是平坦的欧几里得几何。这种几何最典型的性质是三角形的3个内角之和等于180°，正如我们熟悉的中学平面几何中描述的那样。内蕴曲率为正的流形的几何是球面几何。在球面上，一个三角形的3个内角之和大于180°。除此之外，还有一种双曲几何，就是在马鞍面上，或者说类似炸土豆片的那种双曲面上的几何。对于这种形状的曲面，三角形的3个内角之和小于180°。

内蕴曲率描述的是曲面的内在性质。内蕴是相对于“外嵌”而言。比如说，柱面和锥面看起来是“弯曲”的，但内蕴几何性质却是与平面一样的，它们的内蕴曲率是0。

流形上每个点的局部邻域可当作是一个欧几里得空间，也就是每个点上都有切空间。切空间和切空间之间，用“联络”互相关联。

虽然在黎曼流形上有3种不同的几何，但是如果考察流形上任何一点附近一块非常小的邻域的几何性质，即所谓“局部”几何性质，总是可以近似地看成是平坦的欧几里得几何的性质。

以上所说的黎曼流形的性质，非常类似于爱因斯坦想要描述的引力作用下的宇宙图景。不同的只是它们表达的内容：一个是引力，一个是几何。难道引力就是一种几何？引力是物质产生的，是否可以认为物质分布造成了空间的几何，然后几何再由引力的方式表现出来？这些想法和疑问，最后促成爱因斯坦建立了广义相对论。

在狭义相对论中，时间和空间被统一在一个四维的闵可夫斯基时空中，或称为闵可夫斯基空间，这里的“空间”包括了真实的“时间和空间”。闵氏空间中的一个点被称为一个“事件”，因为它既有空间位置的信息，又有时间的信息。闵可夫斯基空间是平坦的，这个方面类似于我们常说的三维欧几里得空间。但是，因为时间和空间的属性毕竟不一样，时间概念涉及事件之间的因果关系，在空间中可以左右上下来回地移动，但时间却有方向，只能向前，不能倒流。在闵可夫斯基空间中，如果时间轴用实数表示的话，三个空间轴就用虚数表示；或者反过来，时间轴用虚数，空间轴用实数，我们在本书中采用前者。由于实数和虚数的不同，闵氏空间的性质与欧氏空间有所不同，图1-4-3（a）是二维欧氏空间的例子，图1-4-3（b）是二维闵氏空间（一维时间加一维空间）的例子。如图1-4-3所示，欧氏空间中的距离永远是一个正数，闵氏空间的距离却可以是正数、负数或者0，根据两个事件之间的关系分别由类时、类空或者类光而决定。这个区别与光速不变和因果律有关。此外，在闵氏空间中旋转的性质也和欧氏空间的旋转性质不同，洛伦兹变换就是闵氏空间中的旋转，它属于双曲旋转。

原来三维空间的物理量，在四维时空中被赋予了新的意义。比如说，三维空间的矢量，如速度、加速度、动量等，扩展成了相应的四维矢量。麦克斯韦方程也有其四维空间的表达形式。经典电磁学除了用电场E和磁场H来描述之外，还可以用电磁势A来描述。这里的A被称为四维电磁势。

在黎曼几何思想的启发下，爱因斯坦在广义相对论中，将引力与四维时空的几何性质联系起来。广义相对论中的四维时空，一般来说不同于处处平坦的闵可夫斯基时空，就像我们所在的地球球面上的几何不同于欧氏几何一样。因为物质分布造成了时空弯曲，根据广义相对论得出的解是一个弯曲的四维时空，整体性质可以用一个四维的黎曼流形来描述。黎曼流形某个给定点的邻域，则可以局部地看成是个平坦的闵可夫斯基空间。

著名物理学家约翰·惠勒（John Archibald Wheeler,1911—2008年），早年时曾经与爱因斯坦在一起工作，他用一句话简练地概括了广义相对论：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。这句话的意思是说，时空和物质通过引力场方程联系到了一起。这种联系可以利用图1-4-4来说明。图1-4-4（a）中，极重的天体使得周围空间弯曲而下凹，这种下凹的空间形状又影响了这个天体以及周围其他物体的运动轨迹。图中的小球朝着天体滚过去，自行车也受到某种向心力的作用而做圆周运动。如何解释小球和自行车的这种运动？牛顿引力理论说：它们被天体的引力所吸引。而广义相对论说，是因为天体造成其周围时空的弯曲，小球和自行车不过是按照时空的弯曲情形运动而已。天体的质量越大，空间弯曲的程度将会越厉害。大到一定的弯曲度，任何东西掉进去都出不来，包括光线，也是只能进不能出。类似于一张蹦蹦网被放在上面的一个重重的铅球撑破了，形成了一个如图1-4-4（b）所示的“洞”。所有东西全往下掉，再也捡不起来，也就是黑洞。