4.3　数据拟合

与数据插值类似，数据拟合的目的也是用一个较为简单的函数g（x）去逼近一个未知的函数f（x）。利用已知测量的数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），构造函数y=g（x），使得误差δ_i=g（x_i）﹣f（x_i）（i=1，2，…，n）在某种意义上达到最小。

一般用得比较多的是多项式拟合，所谓多项式拟合是利用已知测量的数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），构造一个m（m＜n）次多项式p（x）：

使得拟合多项式在各采样点处的偏差的平方和最小。

在MATLAB中，用polyfit函数可以实现最小二乘意义的多项式拟合。polyfit拟合函数求的是多项式的系数向量。该函数的调用格式为

其中，p为最小二乘意义上的n阶多项式系数向量，长度为n＋1；x和y为数据点向量，要求是等长的向量；S为采样点的误差结构体，包括R、df和normr分量，分别表示对x进行QR分解为三角元素、自由度和残差。

【例4-14】　在MATLAB中，用polyfit函数实现一个4阶和5阶多项式，在区间[0，3π]内逼近函数f（x）=e^﹣0.5xsinx，利用绘图的方法，比较拟合的4阶多项式、5阶多项式和f（x）的区别。

程序代码如下：

程序运行结果如下，图4-6是4阶多项式和5阶多项式拟合f（x）函数的比较结果。

图4-6　4阶多项式和5阶多项式拟合f（x）函数

由上述例题结果可知，用高阶多项式拟合f（x）函数的效果更好，误差小，更加逼近实际函数f（x）。