经典例题

例2-1　观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？

【分析】真误差是真值与观测值之差，真值和观测值一个做被减数，另一个做减数即可。在很多参考书中，有的是观测值做被减数，真值做减数；有的是真值做减数，观测值做被减数。

【解】在该书中，真误差等于真值减去观测值，即真值是被减数，观测值是减数，因此观测值的真误差定义如下：

真误差=真值-观测值

三角形的闭合差是其三个内角和的真误差。

【说明】在很多情况下，观测值的真值往往是不知道的，因此它的真误差往往就不能求得。平面n边形的内角和（n-2）·180°，是为数不多的真值已知的情况。

例2-2　在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？

【分析】在教材中学过，只要观测条件相同，所得观测值的精度就相同，不论这些观测值所对应的误差大小如何。

【解】这些观测值的精度相同；不能认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高。

例2-3　若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？

【分析】这个题需要参考中误差公式=，通过n取不同数时进行验证。

【解】不可以说这两个观测值的真误差一定相同。

原因：根据中误差公式，当n=2时，不妨设两个观测值的中误差分别为=和σ2=，则有Δ'21+Δ'22=Δ″21+Δ″22，例如22+32=（-2）2+（-3）2和22+32=22+32，都满足中误差相等，但是其真误差有时相同，有时不同。

例2-4　有两段距离S1和S2，经多次观测求得观测值及中误差分别为330.00m±3cm和630.00m±3cm，试问哪段距离观测精度高？二者各自观测值的真误差是否相同？

【分析】由题意可知，两段距离的中误差相等，但是长度不同，因此依据相对误差定义式可知两者精度不同；同时，再依据例2-3中的分析，可知真误差不一定相等。

【解】它们的真误差不一定相等；它们的精度不相等，后者高于前者。

例2-5　设观测向量X=，它的协方差阵为DXX=，求出观测值L1、L2、L3的中误差及其协方差、和。

【分析】该题是考查对协方差阵定义的理解程度；同时大家还要注意，在测量误差领域中，通常观测向量是以列的形式定义的，即X是3行1列的向量。在协方差阵中，主对角线上的元素为各分量的方差，非主对角线上的元素为分量间的协方差。

【解】根据协方差阵的定义，可得

=2，=， =，=-1，=0， =

例2-6　设有两组观测值，它们的真误差如下：

第1组：+2，-3，+1，+2，-2，-1

第2组：+1，-1，-5，+2，+1，-1

试求，（1）它们的平均误差、；（2）它们的中误差、；（3）它们的或然误差、；（4）判别它们之间的精度高低。

【解析】每组均为6个数据，则列表如下。

由平均误差公式　=，得　=1.833，=1.833；

由中误差公式=，得　=1.958，=2.345。

对于或然误差：将两组观测值按绝对值从小到大的顺序排序如下。

可见，根据或然误差的求法，取第1组中间两个误差值的平均值，即第1组的或然误差=2；取第2组中间两个误差值的平均值，即第2组的或然误差=1。

对于以上结果综合分析可得，有时候，对于两组观测值个数不太多的数据，分别计算平均误差θ、或然误差ρ和中误差σ后，得到的结果是不一样的，原因主要是观测值个数太小的原因。在理论上，三者之间的关系是ρ≈0.6745σ、θ≈0.7979σ，可知，相同的观测条件下，三者的大小关系为σ>θ>ρ。

那么如何来判别观测值的精度呢？在通常情况下，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差作为衡量精度的指标。本题中 <，中误差越小，精度越高，因此，第一组观测值的精度高。

【说明】本题注意不要用错公式。同时，有一点再强调一下：中误差、平均误差、或然误差，这三个指标在理论上衡量观测值的精度时是一致的；但在实用上，由于观测次数总是有限，尤其是观测次数较小时，根据它们所得到的结论往往是不一致的。在通常情况下，常用中误差作为衡量精度的指标。