第九章 常微分方程

考试内容与要求

考试内容

常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利（Bernoulli）方程，全微分方程，可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，欧拉（Euler）方程，微分方程的简单应用．

考试要求

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．

2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．

4．会用降阶法解下列形式的微分方程：y（n）= f（x）, y″ = f（x, y′）和y″ = f（y, y′）.

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．

7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．

8．会解欧拉方程．

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

题型9.1 一阶微分方程

1.（05,4分）微分方程xy′+2y=x lnx满足y（1）= - 的特解为______.

【答案】 应填

【分析】 先将方程化为一阶线性微分方程的标准形式，再利用其通解公式．

【详解】 将原方程化为

代入y（1）= - ，得C= 0，故所求特解为

【评注】 本题也可如下求解：

原方程可化为

x2y′+2xy=x2 lnx，即（x2y′）=x2 lnx，

两边积分得

再代入初始条件即可得所求解为y= xlnx- x.

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2.（06,4分）微分方程的通解是______.

【答案】 应填y= Cxe-x.

【分析】 本方程为可分离变量方程，先分离变量，然后两边积分．

【详解】 原方程化为

两边积分得通解为ln y= ln x- x+ C，即y= Cx e-x.

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3.（08,4分）微分方程xy′ + y= 0满足条件y（1）= 1的解是y= _________.

【答案】 应填.

【详解】 分离变量，得- dx，两边积分有

利用条件y（1）= 1知C= 1，故满足条件的解为y= .

【评注】 微分方程xy′ + y= 0可改写为（xy′）= 0，再两边积分即可．

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4.（11,4分）微分方程y′ +y= e-xcosx满足条件y（0）= 0的解为_______.

【答案】 应填e-xsin x.

【详解】 直接按一阶线性微分方程公式求解．

【详解】 微分方程的通解为.

由初值条件y（0）= 0得C= 0.

所以应填e-xsin x.

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5.（14,4分）微分方程xy′ + y（lnx- lny）= 0满足条件y（1）= e3 的解为y =_________.

【答案】 应填xe2x+ 1.

【分析】 利用齐次方程的一般解法即得．

【详解】 将xy′ + y（lnx- ln y）= 0变形得y′ - -= 0.

令-，则-，代入上式整理得

两边积分得ln（lnu-1）= lnx+ lnC，即lnu-1=Cx，解得y=x eC x+ 1.

由y（1）= e3，知C= 2．因此微分方程的解为y= xe2x+ 1.

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6.（16,4分）若是微分方程y′+p（x）y= q（x）的两个解，则q（x）=

（A）3x（1+ x2）.

（B）-3x（1+ x2）.

（C）.

（D）- .

【 】

【答案】 应选（A）.

【分析】 利用线性方程解的性质与结构．

【详解】 由是微分方程y′ +p（x）y= q（x）的两个解，知y1- y2是y′ + p（x）y= 0的解．

故（y1- y2′）+ p（x）（y1- y2）= 0，即

又是微分方程y′ + p（x）y= q（x）的解，代入方程，有

[（1+ x2）2′]+ p（x）（1+ x2）2= q（x），

解得q（x）= 3x（1+ x2）.

应选（A）.

【评注】 本题也可把题中两个解代入到微分方程y′+ p（x）y= q（x），得到关于p（x）, q（x）的方程组，解方程组可求得p（x）, q（x）.

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7.（18,10分）已知微分方程y′ + y= f（x），其中f（x）是R上的连续函数．

（1）若f（x）= x，求方程的通解；

（2）若f（x）是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．

【分析】 直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解．第一问是基本题，第二问的难点是，对抽象的函数f（x），在通解公式中的不定积分要用变限积分来表示．

【详解】（1）当f（x）= x时，方程化为y′ + y= x，其通解为

（2）方程y′ + y= f（x）的通解为

即

由得

若f（x）是周期为T的连续函数，则

于是

因此，当且仅当时，y（x+ T）- y（x）= 0，即方程存在唯一的以T为周期的解．

小结

题型9.2 可降阶方程

（02,3分）微分方程yy″ + y′ 2 = 0满足初始条件的特解是________.

【答案】 应填.

【详解】 这是不显含x的可降阶方程，令p= y′，有，

原方程化为

于是有p= 0或，

显然p= 0不满足初始条件

因此必有，即

两边积分得

，即.

代入初始条件，得.

于是，即2ydy= dx，两边积分得y2= x+ C2，

代入，得C2= 1，

故所求特解为y2= x+ 1或（由初始条件，故取）.

【评注】 对于不显含x的可降阶方程y″ = f（y, y′），令p= y′，这里- · ，而不是- 对于该类型方程，通过变量代换p= y′，将原方程化为关于变量p 与y 的一阶方程

小结

题型9.3 高阶常系数线性微分方程

1.（03,12分）设函数y= y（x）在（- ∞, + ∞）内具有二阶导数，且y′ ≠0, x= x（y）是y= y（x）的反函数．

（1）试将x= x（y）所满足的微分方程变换为y= y（x）满足的微分方程；

（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解．

【分析】 将转化为比较简单，，关键在于：

然后再代入原方程化简即可．

【详解】（1）由反函数的求导公式知，于是有

代入原微分方程得

（2）方程①所对应的齐次方程y″ - y= 0的通解为

Y= C1ex+ C2e-x.

设方程①的特解为

y* = Acosx+ Bsinx，

代入方程①，求得，故，

从而y″ - y= sinx的通解是

由，得C1= 1, C2= -1.

故所求初值问题的解为

【评注】 反函数的求导法是一元函数的三个基本微分法之一，二阶线性常系数非齐次微分方程则是微分方程部分的重要内容，本题将两部分内容有机地结合在一起，除了能够考查考生的基本运算能力，还能考查其综合运用知识的能力.

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2.（07,4分）二阶常系数非齐次线性微分方程y″ -4y′ + 3y = 2e2x的通解为y= _________.

【答案】 应填C1ex+ C2e3x-2e2x.

【详解】 特征方程为λ2-4λ+ 3= 0，解得λ1= 1, λ2= 3．可见对应齐次线性微分方程y″ -4y′ + 3y= 0的通解为y= C1 ex+ C2 e3x.

设非齐次线性微分方程y″-4y′+ 3y= 2e2x的特解为y*= ke2x，代入非齐次方程可得k= -2.

故通解为y= C1ex+ C2e3x-2e2x.

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3.（08,4分）在下列微分方程中，以y= C1ex+ C2cos 2x+ C3sin 2x（C1, C2, C3为任意常数）为通解的是

（A）y‴+ y″ -4y′ -4y= 0.

（B）y‴+ y″ + 4y′ + 4y= 0.

（C）y‴- y″ -4y′ + 4y= 0.

（D）y‴- y″ + 4y′ -4y= 0.

【 】

【答案】 应选（D）.

【详解】 由通解表达式y=C1ex+C2cos 2x+C3sin 2x可知其特征根为λ1= 1,λ2,3=± 2i．可见对应特征方程为（λ-1）（λ2+ 4）=λ3-λ2+ 4λ-4，故对应微分方程为y‴-y″ +4y′-4y= 0，应选（D）.

【评注】 对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系.

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4.（09,4分）若二阶常系数线性齐次微分方程y″ +ay′ +by = 0的通解为y=（C 1+C2x）ex，则非齐次方程y″ +ay′ +by =x 满足条件y（0）= 2,y′（0）= 0的解为y=___________ .

【答案】 应填- xex+ x+ 2.

【详解】 由二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=（C1+ C2x）ex，

得对应特征方程的两个特征根为λ1= λ2= 1，故a= -2, b= 1；

对非齐次微分方程y″ -2y′ + y= x，设其特解为y*= Ax+ B，

代入得-2A+ Ax+ B= x，有A= 1, B= 2.

所以特解为y*= x+ 2

因而非齐次微分方程的通解为y=（C1+ C2x）ex+ x+ 2，

把y（0）= 2, y′（0）= 0代入，得C1= 0, C2= -1.

所求特解为y= - xex+ x+ 2.

【评注】 此题是对二阶常系数线性微分方程解的结构和形式的考查.

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5.（10,10分）求微分方程y″ -3y′ + 2y= 2xex的通解．

【分析】 直接利用二阶常系数线性微分方程的求解方法．

【详解】 由方程y″-3y′+ 2y= 0的特征方程λ2-3λ+ 2= 0解得特征根λ1= 1, λ2=2，所以方程y″-3y′+ 2y= 0的通解为

设y″ -3y′ + 2y= 2xex的特解为y*= x（ax+ b）ex，则

（y*）′ =（ax2+ 2ax+ bx+ b）ex,（y*）″ =（ax2+ 4ax+ bx+ 2a+ 2b）ex.

代入原方程，解得a= -1, b= -2，故特解为：y*= x（- x-2）ex，

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6.（12,4分）若函数f（x）满足方程f″（x）+ f′（x）-2f（x）= 0及f″（x）+ f（x）= 2ex，则f（x）=_________.

【答案】 应填ex.

【详解】 齐次线性微分方程f″（x）+ f′（x）-2f（x）= 0的特征方程为：r2+ r-2= 0，

特征根为： r1= 1, r2= -2，因此齐次微分方程的通解为：f（x）= C1ex+ C2e-2x.

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7.（13,4分）已知y1= e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_______.

【答案】 应填C1e3x+ C2ex- xe2x, C1, C2为任意常数．

【详解】 由已知条件有y1- y3= e3x, y2- y3= ex，显然y1- y3, y2- y3线性无关，

所以该二阶常系数非齐次微分方程的通解为：

y= C1 e3x+ C2 ex- xe2x, C1, C2 为任意常数.

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8.（15,4分）设是二阶常系数非齐次线性微分方程y″ + ay′ +by= cex的一个特解，则

（A）a= -3, b= 2, c= -1.

（B）a= 3, b= 2, c= -1.

（C）a= -3, b= 2, c= 1.

（D）a= 3, b= 2, c= 1.

【 】

【答案】 应选（A）.

【分析】 把代入微分方程，用待定系数法即可求得a, b, c.

【详解】 由得把y, y′, y″ 代入方程y″ + ay′ + by = cex，有

【评注】其实，我们可看出齐次线性微分方程的特征根为1和2，非齐次线性微分方程的一个特解可为y= xex，进一步求得a, b, c.

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9.（17,4分）微分方程y″ + 2y′ + 3y= 0的通解为_________.

【答案】 应填

【详解】 对应的特征方程为r2+ 2r+ 3= 0，解得r1,2= -1±i．故通解为

小结

题型9.4 微分方程的应用

1.（04,11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k= 6.0×106）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时）

【分析】 本题是标准的牛顿第二定律的应用，列出关系式后再解微分方程即可．

【详解1】 由题设，飞机的质量m= 9000kg，着陆时的水平速度v0= 700km/h．从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x（t），速度为v（t）.

根据牛顿第二定律，得

由以上两式得

积分得，由于v（0）= v0, x（0）= 0，故得，从而

当v（t）→0时，

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【详解2】 根据牛顿第二定律，得-，所以

两端积分得通解-，代入初始条件解得C= v0，

故-.

飞机滑行的最长距离为

或由，知，

故最长距离为当t→∞时，.

【详解3】 根据牛顿第二定律，得-，即- = 0，

其特征方程为-，解之得-，

故-.

由，

得，于是.

当t→+ ∞时，.

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t→+ ∞或v（t）→0的极限值，这种隐含的条件应引起注意.

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2.（12,10分）已知曲线，其中函数f（t）具有连续导数，且f（0）= 0, f′（t）＞0（0＜t＜）．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f（t）的表达式，并求以曲线L及x轴和y 轴为边界的区域的面积．

【分析】 先求切线方程，然后根据两点间的距离恒为1得到微分方程．

【详解】（1）由参数方程的求导公式有于是L上任意一点（x, y）=（f（t）, cost）处的切线方程为

令Y= 0，得此切线与x轴的交点为（cottf′（t）+ f（t）,0）.

由（cottf′（t）+ f（t）,0）到切点（f（t）, cost）的距离恒为1，有

（cottf′（t）+ f（t）- f（t））2+（0- cost）2 = 1，

解得.由，且f（0）= 0知.

由f（0）= 0得C= 0，故f（t）= ln（sect+tant）-sint.

（2）以曲线L及x轴和y 轴为边界的区域的面积

小结

题型9.5 欧拉方程

（04,4分）欧拉方程的通解为.

【答案】 应填

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x= et化为常系数线性齐次微分方程即可．

【详解】 令x= et，则

代入原方程，整理得

解此方程，得通解为

小结

本章总结

自测练习题

一、填空题

1．微分方程ydx+（x2-4x）dy= 0的通解为_______.

2．微分方程（y+ x3）dx-2xdy= 0满足初始条件的特解为_______.

3．微分方程xy′ + y= 0满足初始条件y（1）= 2的特解为________.

4．微分方程y″ + y= -2x的通解为__________.

5．微分方程y″ + 2y′ + 5y= 0的通解为___________.

6．微分方程y″ -4y= e2x的通解为__________.

7．已知曲线y= f（x）过点，且其上任一点（x, y）处的切线斜率为xln（1+ x2），则f（x）= .

二、选择题

1．已知是微分方程的解，则的表达式为

【 】

2．微分方程y″ - y= ex+ 1的一个特解应具有形式（式中a, b为常数）

（A）aex+ b.

（B）axex+ b.

（C）aex+ bx.

（D）axex+ bx.

【 】

3．具有特解y1= e-x, y2= 2xe-x, y3= 3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是

（A）y‴- y″ - y′ + y= 0.

（B）y‴+ y″ - y′ - y= 0.

（C）y‴-6y″ + 11y′ -6y= 0.

（D）y‴-2y″ - y′ + 2y= 0.

【 】

4．微分方程y″ + y= x2+ 1+ sinx的特解形式可设为

（A）y* = ax 2+ bx+ c+ x（A sinx+ B cos x）.

（B）y* = x（ax 2+ bx+ c+ A sinx+ B cos x）.

（C）y* = ax 2+ bx+ c+ A sinx.

（D）y* = ax 2+ bx+ c+ A cos x.

【 】

5．函数y= C1ex+ C2e-2x+ xex满足的一个微分方程是

（A）y″ - y′ -2y= 3xex.

（B）y″ - y′ -2y= 3ex.

（C）y″ + y′ -2y= 3xex.

（D）y″ + y′ -2y= 3ex.

【 】

6．设非齐次线性微分方程y′+ P（x）y= Q（x）有两个不同的解y1（x）, y2（x）, C为任意常数，则该方程的通解是

（A）C[y1（x）- y2（x）].

（B）y1（x）+ C[y1（x）- y2（x）].

（C）C[y1（x）+ y2（x）].

（D）y1（x）+ C[y1（x）+ y2（x）].

【 】

三、计算证明题

1．求微分方程满足条件的特解．

2．求微分方程的通解．

3．求微分方程xy′ +（1-x）y= e2x（0＜x＜+ ∞）满足初始条件的解．

4．求微分方程xlnxdy+（y- lnx）dx= 0满足初始条件的特解．

5．求微分方程y′ + ycosx=（lnx）e- sinx的通解．

6．求微分方程xy′ + y= xex满足y（1）= 1的特解．

7．求微分方程满足初始条件的特解．

8．求微分方程（y- x3）dx-2xdy= 0的通解．

9．求微分方程（x2-1）dy+（2xy- cosx）dx= 0满足初始条件的特解．

10．设y= ex是微分方程xy′+ p（x）y= x的一个解，求此微分方程满足条件的特解．

11．求微分方程的通解．

12．求微分方程（3x2+ 2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy= 0的通解．

13．求初值问题的解．

14．设有微分方程y′-2y= φ（x），其中．试求在（- ∞, + ∞）内的连续函数y= y（x），使之在（- ∞,1）和（1, + ∞）内都满足所给方程，满足条件y（0）= 0.

15．设F（x）= f（x）g（x），其中函数f（x）, g（x）在（- ∞, + ∞）内满足以下条件：

f′（x）= g（x）, g′（x）= f（x），且f（0）= 0, f（x）+ g（x）= 2ex.

（1）求F（x）所满足的一阶微分方程；

（2）求出F（x）的表达式．

16．求微分方程y″ + 2y′ + y= xe-x的通解．

17．求微分方程y″ + 5y′ + 6y= 2e-x的通解．

18．求微分方程y″+4y′+4y= eax 的通解，其中a为实数．

19．求微分方程y″ + y= x+ cosx的通解．

20．求微分方程y″ -3y′ + 2y= xex的通解．

21．设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+β y=γe x的一个特解为y= e2 x+（1+x）e x，试确定常数α,β,γ，并求该方程的通解．

22．求微分方程y″ + a2y= sinx的通解，其中常数a＞0.

23．设函数y= y（x）满足条件求广义积分

24．求微分方程y″ + y′ = x2的通解．

25．已知y1= xex+ e2x, y2= xex+ e-x, y3= xex+ e2x- e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个解，求该微分方程．

26．利用代换将方程y″cosx-2y′sinx+ 3ycosx= ex化简，并求原方程的通解．

27．求微分方程y″ -2y′ = e2x满足条件y（0）= 1, y′（0）= 1的解．

28．用变量代换x= cost（0＜t＜π）化简微分方程（1- x 2）y″ - xy′ + y= 0，并求其满足的特解．

29．求连续函数f（x），使它满足.

30．已知连续函数f（x）满足条件，求f（x）.

31．设函数f（t）在[0, + ∞）上连续，且满足方程，求f（t）.

32．函数f（x）在[0, + ∞）上可导，f（0）= 1，且满足等式

（1）求导数f′（x）；

（2）证明：当x≥0时，不等式e-x≤f（x）≤1成立．

33．设f（u, v）具有连续偏导数，且满足f′u（u, v）+ f′v（u, v）= uv.

求y（x）= e-2xf（x, x）所满足的一阶微分方程，并求其通解．

四、应用题

1．假设：

（1）函数y= f（x）（0≤x＜+ ∞）满足条件f（0）= 0和0≤f（x）≤ex-1；

（2）平行于y 轴的动直线MN 与曲线y = f（x）和y= ex-1分别相交于点P1和P2；

（3）曲线y= f（x）、直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段P 1P2的长度．

求函数y= f（x）的表达式．

2．设单位质点在水平面内做直线运动，初速度．已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程．

3．设曲线l的极坐标方程为r= r（θ）, M（r, θ）为l上任一点，M0（2,0）为l上一定点，若极径OM0, OM与曲线l所围成的曲边扇形面积值等于l上M0, M两点间弧长值的一半，求曲线l的方程．

4．设y= y（x）是一向上凸的连续曲线，其上任一点（x, y）处的曲率为，且此曲线上点（0,1）处的切线方程为y= x+ 1，求该曲线的方程，并求函数y = y（x）的极值．

5．设函数f（x）在[1, + ∞）上连续，若由曲线y= f（x），直线x= 1, x= t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V（t）= [t2f（t）- f（1）]．试求y= f（x）所满足的微分方程，并求该方程满足条件的解．

6．某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为．已知1999年底湖中A的含量5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内？（设湖水中A的浓度是均匀的）

7．设l是一条平面曲线，其上任一点P（x, y）（x＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且l经过点.

（1）试求曲线l的方程；

（2）求l位于第一象限部分的一条切线，使该切线与l以及两坐标轴所围成图形的面积最小．

8．一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数为k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少时间？

9．设位于第一象限的曲线y= f（x）过点，其上任一点P（x, y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．

（1）求曲线y = f（x）的方程；

（2）已知曲线y= sinx在[0, π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f（x）的弧长s.

10．有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ（y）（y≥0）绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图1—9—1），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

（1）根据t时刻液面的面积，写出t与φ（y）之间的关系式；

（2）求曲线x= φ（y）的方程．

11．设y = f（x）是第一象限内连接点A（0,1）, B（1,0）的一段连续曲线，M（x, y）为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f（x）的表达式．

12．在xO y坐标平面上，连续曲线l过点M（1,0），其上任意点P（x, y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax（常数a＞0）.

（1）求l的方程；

（2）当l与直线y = ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

自测练习题答案或提示

一、填空题

1.y4=; 2.y= -; 3.xy= 2; 4.y=C 1 cosx+C 2 sinx-2x; 5.y=e-x（C1cos2x+C2sin2x）; 6.y=C1e2x+C2e-2x+ ; 7.（1+x2）[ln（1+x2）-1].

二、选择题

1.（A）2.（B）3.（B）4.（A）5.（D）6.（B）

三、计算证明题

25.y″ - y′ -2y=（1-2x）ex.

26．原方程化为u″ + 4u= ex，原方程的通解为

（2）利用单调性证明．

四、应用题

5.x2y′ = 3y2-2xy, y- x= - x3y.

6．至多需经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量才能降至m0以内．

8．雪堆全部融化需6小时．

9.（1）x2+ 2y2= 1.

（2）s=l.

10.（1）t= φ2（y）-4.

（2）x= .

11.f（x）=（x-1）2,0≤x≤1.

12.（1）y= ax 2- ax（x≠0）.

（2）a= 2.