第三章 一元函数积分学

考试内容与要求

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，反常（广义）积分，定积分的应用．

考试要求

1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．

3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．

4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式．

5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．

6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．

题型3.1 原函数与不定积分的概念

1.（04,4分）已知f′（ex）= xe-x，且f（1）= 0，则f（x）= __________.

【答案】 应填（lnx）2.

【分析】 先求出f′（x）的表达式，再积分．

【详解】 令ex= t，则x= lnt，于是有，即.

由初始条件得C= 0，

故所求函数为

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.

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2.（16,4分）已知函数则f（x）的一个原函数是

【 】

【答案】 应选（D）.

【详解】 可取

利用F（x）在x= 1处的连续性有，即C1= C2-1.

取C1= 0，得

应选（D）.

【评注】 本题还可利用变限积分计算或直接利用定义检验F′（x）=f（x）.

小结

题型3.2 定积分的基本概念与性质

1.（11,4分）设，则I, J, K的大小关系是

（A）I＜J ＜K.

（B）I＜K＜J.

（C）J ＜I＜K.

（D）K＜J ＜I.

【 】

【答案】 应选（B）.

【分析】 用定积分比较大小的性质．

【详解】 在上，sinx≤cosx≤cotx，且ln x是增函数，则在上，ln sinx≤ln cosx≤ln cotx，且它们不恒等．由定积分的保号性

所以应选（B）.

【评注】 严格意义上应考虑反常积分的收敛性．

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2.（12,4分）设，则有

（A）I1＜I2＜I3.

（B）I3＜I2＜I1.

（C）I2＜I3＜I1.

（D）I2＜I1＜I3.

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 此题考查定积分的基本性质和换元积分．

【详解】 由有：

由上可知I2＜I1＜I3．应选（D）.

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3.（17,4分）设函数f（x）可导，且f（x）f′（x）＞0，则

（A）f（1）＞f（-1）.

（B）f（1）＜f（-1）.

（C）|f（1）|＞|f（-1）|.

（D）|f（1）|＜ |f（-1）|.

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 因涉及两点处函数值的比较，考虑定积分

【详解】 由f（x）f′（x）＞0得. 故

即|f（1）|＞|f（-1）|．选（C）.

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4.（18,4分）设，则

【 】

（A）M＞N＞K.

（B）M＞K＞N.

（C）K＞M＞N.

（D）K＞N＞M.

【答案】 应选（C）.

【详解】 由定积分性质得又，当时，．由定积分的保号性，有

即K＞M＞N.

小结

题型3.3 不定积分的计算

1.（01,6分）求.

【分析】 被积函数为反三角函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将反三角函数看作u．也可先作变量代换ex= t.

【详解2】 作变量代换．

令ex= t，则x= lnt, dx= dt，因此

【评注】 被积函数中含有反三角函数或对数函数时，一般均考虑用分部积分法，将反三角函数或对数函数看作u.

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2.（18,10分）求不定积分

【分析】 利用分部积分法．

【详解】

小结

题型3.4 定积分的计算

1.（05,11分）如图1—3—1，曲线C的方程为y= f（x），点（3,2）是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点（0,0）与（3,2）处的切线，其交点为（2,4）．设函数f（x）具有三阶连续导数，计算定积分

【分析】 题设图形相当于已知f（x）在x= 0的函数值与导数值，在x= 3处的函数值及一阶、二阶导数值．

【详解】 由题设图形知，f（0）= 0, f′（0）= 2, f（3）= 2, f′（3）= -2, f″（3）= 0.

由分部积分公式，知

【评注】 本题f（x）在两点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的几何意义和定积分的计算．另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分.

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2.（07,4分）=_______.

【答案】 应填.

【分析】 先作变量代换，再分部积分．

【详解】

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3.（10,4分）=_______.

【答案】 应填-4π.

【分析】 令= t，两次用分部积分法．

【详解】 令= t，则x= t2, dx= 2tdt．因而

【评注】 此题是简单无理函数的积分，属基本题型.

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4.（12,4分=_______.

【答案】 应填.

【分析】 利用奇函数在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义简化计算．

【详解】 令x-1= t，则

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5.（13,10分）计算，其中.

【分析】 被积函数中含有变限积分，一般可用分部积分方法．

【详解】 由知f（1）= 0, ，因此

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6.（15,4分= .

【答案】 应填.

【分析】 此题考查定积分的计算，用奇偶函数在对称区间上的性质化简．

【详解】

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7.（18,4分）设函数f（x）具有2阶连续导数．若曲线y= f（x）过点（0,0）且与曲线y=2x在点（1,2）处相切，则=_______ .

【答案】 应填2（ln2-1）.

【详解】 曲线y= f（x）过点（0,0）与（1,2），即f（0）= 0, f（1）= 2．两条曲线在一点相切，说明它们有公共的切线，于是在这一点的一阶导数相同．故

小结

题型3.5 变限积分

（08,4分）设函数，则f′（x）的零点个数为

（A）0.

（B）1.

（C）2.

（D）3.

【 】

【答案】 应选（B）.

【详解】 因为f′（x）= ln（2+ x2）·2x，由于ln（2+ x2）＞0，因此f′（x）= 0必有x= 0.

可见f′（x）的零点只有一个，故应选（B）.

小结

题型3.6 定积分的证明题

1.（08,10分）设f（x）是连续函数．

（1）利用定义证明函数可导，且F′（x）= f（x）；

（2）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数．

【详解1】（1）利用导数的定义，有，

而

之间．

于是

这里当Δx→0, ξ→x时．

（2）要证明G（x）以2为周期，即要证明对任意的x，都有函数恒等式G（2+ x）= G（x）.

记H（x）= G（2+x）- G（x），则

可见H（x）≡C（常数）.

又因为，

所以H（x）= 0，即G（2+x）=G（x）.

【详解2】（1）同详解1.

（2）由于f是以2为周期的连续函数，所以对任意的x，有

即G（x）是以2为周期的周期函数．

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2.（10,10分）

（1）比较与的大小，说明理由；

（2）记，求极限.

【分析】 对（1）比较被积函数的大小，对（2）用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限．

【详解】（1）当0≤t≤1时，0≤ln（1+ t）≤t，故| lnt| [ln（1+ t）]n≤| lnt| tn.

由积分性质得.

【评注】 若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．

小结

题型3.7 反常积分

1.（10,4分）设m, n是正整数，则反常积分的收敛性

（A）仅与m值有关．

（B）仅与n值有关．

（C）与m, n值都有关．

（D）与m, n值都无关．

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 x= 0,1为瑕点，插入分点，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛散性．

【详解】 .

对I1，因为，且对任意正整数m, n，有．由比较判别法的极限形式知，无论正整数m, n取何值，反常积分I1是收敛的．

对I2,

由比较判别法知无论正整数m, n取何值反常积分I2是收敛的，因此应选（D）.

【评注】 根据当年考试大纲的要求，此题属超纲范围.

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2.（13,4分）反常积分=________ .

【答案】 应填ln 2.

【分析】 对于此无穷限的反常积分可用通常定积分的计算方法．

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3.（16,4分）若反常积分收敛，则

（A）a＜1且b＞1.

（B）a＞1且b＞1.

（C）a＜1且a+ b＞1.

（D）a＞1且a+ b＞1.

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 利用反常积分的比较判别法．

由于，所以a＜1时，收敛．

又，所以a+ b＞1时，收敛．

应选（C）.

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4.（16,10分）设函数y（x）满足方程y″+2y′+ky=0，其中0＜k＜1.

（1）证明：反常积分收敛；

（2）若y（0）= 1, y′（0）= 1，求的值．

【详解】（1）y″ + 2y′ + ky = 0的特征方程为r2+ 2r+ k= 0，其特征根为

r1= -1- , r2= -1+ ，均小于零，故y（x）= .

而，

所以收敛．

（2）方法一 由y（0）= 1, y′（0）= 1，得

方法二 因为r1＜0, r2＜0，所以，

又y（0）= 1, y′（0）= 1，所以

小结

题型3.8 应用题

1.（03,10分）过坐标原点作曲线y= lnx的切线，该切线与曲线y= lnx及x轴围成平面图形D.

（1）求D的面积A；

（2）求D绕直线x= e旋转一周所得旋转体的体积V.

【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A；旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画草图，如图1—3—2.

【详解1】（1）设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点（x0, lnx0）处的切线方程是

由该切线过原点知lnx0-1= 0，从而x0= e．所以该切线的方程为

平面图形D的面积是

（2）切线与x轴及直线x= e所围成的三角形绕直线x= e旋转所得的圆锥体体积为

曲线y= lnx与x轴及直线x= e所围成的图形绕直线x= e旋转所得的旋转体体积为

因此所求旋转体的体积为

【详解2】（1）设切点的横坐标为x0，则曲线y= lnx在点（x0, lnx0）处的切线方程是

由该切线过原点知lnx0-1=0，从而x0= e．所以该切线的方程为

平面图形D的面积是

（2）可由已知截面面积S（y）= π[（e- ey）2-（e- ey）2],0≤y≤1，求体积．

【评注】 V2的体积也可如下计算：

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2.（03,10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k, k＞0），汽锤第一次击打将桩打进地下a（m）．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r（0＜r＜1）．问：

（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

（注：m表示长度单位米．）

【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限．

【详解1】（1）设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所做的功为Wn（n= 1,2,3, …）．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以

由W2= rW1可得

由W3= rW2= r2W1可得

即汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下

（2）由归纳法，设，则

由于Wn+ 1= rWn= r2Wn-1= …= rnW1，故得

即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下

【详解2】 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所做的功为Wn（n=1,2,3,…），通过求直接求出xn．因为当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以

相加得

又由题设知Wi+ 1=rWi,i= 1,2, …．因此

因此（1），即汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下

【评注】 本题巧妙地将变力做功与数列极限两个知识点综合起来，有一定难度．若非直线情形，还可从曲线积分的角度来考查．

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3.（07,4分）如图1—3—3，连续函数y= f（x）在区间[-3, -2], [2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2,0], [0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设．则下列结论正确的是

（A）F（3）= - F（-2）.

（B）F（3）= F（2）.

（C）F（-3）= F（2）.

（D）F（-3）= - F（-2）.

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f（x）在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系．

【详解】 根据定积分的几何意义，F（2）和F（-2）相等，; F（3）=F（-3）．而F（3）是两个半圆面积之差：（2），故应选（C）.

【评注1】 本题F（x）由积分所定义，应注意其下限为0，因此F（-2）=，也为半径是1的半圆面积．

【评注2】 若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处．

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4.（09,4分）设函数y=f（x）在区间[-1,3]上的图形如图1—3—4，则函数的图形为

【答案】 应选（D）.【 】

【分析】 此题考查定积分的应用知识．

【详解】 由y= f（x）的图形可见，其图象与x轴及y 轴、x= x0所围成的图形的代数面积为F（x0），从而有

①x∈[-1,0]时，F（x）≤0为线性函数且单调递增．

②x∈[0,1]时，F（x）≤0且单调递减．

③x∈[1,2]时，F（x）单调递增．

④x∈[2,3]时，F（x）为常函数．

⑤F（x）是连续函数．

可见正确选项为（D）.

【评注】 此题较新颖，给出函数f（x）的图形，讨论变限积分函数F（x）的图形.

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5.（15,10分）设函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f（x）在点（x0, f（x0））处的切线与直线x= x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f（0）=2，求f（x）的表达式．

【分析】 利用已知条件列出微分方程，解此微分方程求出f（x）.

【详解】 曲线y= f（x）在点（x0, f（x0））的切线方程为

y- f（x0）= f′（x0）（x- x0），

切线与x轴的交点是，利用所围区域（直角三角形）的面积恒为4

由f（0）= 2，得，

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6.（17,4分）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处．图1—3—5中，实线表示甲的速度曲线v= v1（t）（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v= v2（t），三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3．计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则

（A）t0= 10.

（B）15＜t0＜20.

（C）t0= 25.

（D）t0＞25.

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 利用定积分的物理与几何意义．

【详解】 由题意知，于是由图中面积得t0= 25．选（C）.

小结

本章总结

自测练习题

一、填空题

1．已知f′（lnx）= 1+ x，则f（x）= _________.

2．已知∫xf（x）dx= arcsinx+ C，则= _________.

3.= _________.

4.= _________.

5．已知f（x）的一个原函数为ln2 x，则∫xf′（x）dx=_________.

6.= _________.

7．函数在区间上的平均值为_________.

8．设f（x）有一个原函数，则= _________.

9. = _________.

10.= _________.

11．设则= _________ .

12. = _________.

13．设，则常数a= _________.

14.= _________.

15.= _________.

16.= _________.

17．广义积分= _________.

18．质点以速度tsin（t2）米/秒做直线运动，则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于______米．

19．设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_________.

二、选择题

1．设，则

（A）I1＞I2＞1.

（B）1＞I1＞I2.

（C）I2＞I1＞1.

（D）1＞I2＞I1.

【 】

2．设函数f（x）与g（x）在[0,1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何c∈（0,1）

【 】

3．设，其中则g（x）在区间（0,2）内

（A）无界．

（B）递减．

（C）不连续．

（D）连续．

【 】

4．设f（x）是连续函数，且，则F′（x）等于

【 】

5．设函数f（x）在区间[a, b]上连续，且f（x）＞0，则方程

在开区间（a, b）内的根有

（A）0个．

（B）1个．

（C）2个．

（D）3个．

【 】

6．设，则当x→0时，α（x）是β（x）的

（A）高阶无穷小．

（B）低阶无穷小．

（C）同阶但不等价的无穷小．

（D）等价无穷小．

【 】

7．设函数f（x）连续，则在下列变上限的定积分定义的函数中，必为偶函数的是

【 】

8．设f（x）是奇函数，除x= 0外处处连续，x= 0是其第一类间断点，则是

（A）连续的奇函数．

（B）连续的偶函数．

（C）在x= 0间断的奇函数．

（D）在x= 0间断的偶函数．

【 】

9．下列广义积分中发散的是

【 】

10．下列结论中正确的是

（A）与都收敛．

（B）与都发散．

（C）发散，收敛．

（D）收敛，发散．

【 】

三、计算证明题

1．已知是函数f（x）的一个原函数，求∫x3f′（x）dx.

2．计算积分∫e2x（tanx+ 1）2dx.

3．设，求

4．计算不定积分

5．已知及，求.

6．求定积分.

7．求.

8．设，其中x＞0，求.

9．设函数f（x）可导，且，求.

10．设函数f（x）连续，且，已知f（1）= 1，求的值．

11．设函数f（x）在[0, + ∞）上可导，f（0）= 0，且其反函数为g（x）．若，求f（x）.

12．设求函数的表达式．

13．设f（x）在区间[0,1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，

14．设函数

（1）当n为正整数，且nπ≤x＜（n+ 1）π时，证明：2n≤S（x）＜2（n+ 1）；

（2）求.

15．设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且满足

证明：至少存在一点ξ∈（0,1），使得f′（ξ）=（1-ξ-1）f（ξ）.

16．设f（x）, g（x）在[a, b]上连续，且g（x）＞0．利用闭区间上连续函数的性质，证明：存在一点ξ∈[a, b]，使.

17．设f（x）, g（x）在[a, b]上连续，且满足

证明：

18．设f（x）, g（x）在[0,1]上的导数连续，且f（0）= 0, f′（x）≥0, g′（x）≥0．证明：对任何a∈[0,1]，有

19．计算积分

20．计算

21．设f（x）是区间上的单调、可导函数，且满足

其中f-1是f的反函数，求f（x）.

四、应用题

1．假设曲线L1:y= 1- x2（0≤x≤1）与x轴和y轴所围成区域被曲线L2:y= ax2 分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．

2．设平面图形A由x2+ y2≤2x与y≥x所确定，求图形A绕直线x= 2旋转一周所得旋转体的体积．

3．求摆线一拱（0≤t≤2π）的弧长．

4．设有曲线，过原点作其切线，求此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．

5．设直线y= ax与抛物线y= x2 所围成图形的面积为S1，它们与直线x= 1所围成图形的面积为S2，并且a＜1.

（1）试确定a的值，使S1+ S2达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

6．设曲线y= ax2（a＞0, x≥0）与y= 1- x2 交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y= ax2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？

7．曲线与直线x= 0, x= t（t＞0）及y= 0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V（t），侧面积为S（t），在x= t处的底面积为F（t）.

（1）求的值；（2）计算极限

8．在xO y坐标平面上，连续曲线L过点M（1,0），其上任意点P（x, y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax（常数a＞0）.

（1）求L的方程；

（2）当L与直线y = ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

9．设D是位于曲线- - 下方、x轴上方的无界区域．

（1）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；

（2）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值．

自测练习题答案或提示

一、填空题

1.x+ ex+ C; 2. - ; 3. arcsin + C; 4. - cotxlnsinx- cotx- x+ C;5. 2lnx- ln2x+ C; 6.-; 7. ; 8. -; 9. ;10. 2（1-2e-1）; 11. - ; 12. -3sin（3x）f（cos3x）; 13. 2; 14. ; 15. ;16. ; 17. ; 18. ; 19. -

二、选择题

1.（B）2.（D）3.（D）4.（A）5.（B）6.（C）7.（D）8.（B）9.（A）10.（D）

三、计算证明题

1. x2cosx-4xsinx-6cosx+ C.

2. e2xtanx+ C.

3. - + C.

4.

5. 0.

6. .

7. ln2.

8. ln2x.

9. .

10. .

11.（x+ 1）ex-1.

12.

13．利用函数的单调性及积分中值定理．

14.（1）利用积分的可加性可将积分区间分解为以π为长度的区间，即得到所需的不等式．

（2）-.

15．作辅助函数为F（x）= xe1-xf（x）．再利用积分中值定理和微分中值定理证明．

16．利用f（x）, g（x）在[a, b]上连续，证明在f（x）的最大值与最小值之间，再由介值定理即得．

17．令F（x）= f（x）- g（x）,G（x）=，将积分不等式转化为函数不等式即可．

18．可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论．

19. .

20. ln2.

21. f（x）= ln（sinx+ cosx）.

四、应用题

1. 3.

2. .

3. 8.

4. .

5.（1）a=，最小值为

6. a= 4时，旋转体最大体积

7.（1）= 2;（2）1.

8.（1）y= ax2- ax;（2）a= 2.

9.（1）;（2）a= e, V（e）= πe2.