1.6　计算机这个“笨”盒子——关于二进制运算

本节的标题是“计算机这个‘笨’盒子”，其实这并不为过。要知道，连小学生都可以熟练运用的十进制运算在计算机中却是比登天还难。在计算机中，所有的数值都要转换成二进制数之后再进行运算。本节将介绍关于二进制的相关知识，以便更好地理解计算机的工作原理。

1.6.1　了解进制

进制，换句话说就是数学上逢几进一的计数规则。在生活中我们常用的是十进制，它的计数规则是逢十进一。例如，买东西的时候10个一分组成一角，10个一角组成一元，10个一元组成10元，10个10元组成100元。实际上，除了十进制外，二进制、八进制和十六进制也是十分常用的进制规则。

在二进制中，只有0和1两种数值，例如十进制数3表示成二进制就是11。八进制中有0～7七种数值。十六进制中除了0～9十个数值外，还包括A、B、C、D、E、F六个字母。

掌握进制转换的方法是十分必要的，将十进制转换成二进制通常采用“除二取余法”，这种方法的核心是将十进制数除以2，将其余数取出，将商继续进行“除二取余法”，直到商为0，之后将所有取出的余数逆序排列，即为当前十进制数的二进制形式。下面演示将十进制数89转换成二进制数的过程。

开始：89÷2=44……1

继续：44÷2=22……0

继续：22÷2=11……0

继续：11÷2=5……1

继续：5÷2=2……1

继续：2÷2=1……0

继续：1÷2=0……1

逆序结果：1011001

将二进制数转换成十进制形式则简单得多，使用“按权展开求和”即可。即从右往左，第1位乘以2的0次方，第2位乘以2的1次方，以此类推。例如二进制数1011001=1×2⁰+0×2¹+0×2²+1×2³+1×2⁴+0×2⁵+1×2⁶=89。

至于八进制和十六进制与十进制的转换，可以通过二进制来做中转。首先，八进制数和十六进制数转换成十进制也是采用“按权展开求和”，例如八进制数71=1×8⁰+7×8¹=57，十六进制数2A=10×16⁰+2×16¹=42。十进制数要转换成八进制数，可以先将其转换成二进制形式，例如十进制数57可以转换成二进制数111001，再将二进制数111001从右到左每3位聚合成一位八进制数，即71，所以十进制数57的八进制形式为71。同样，对于十进制数42，首先将其转换成二进制数101010，再将其按从右到左的顺序每4位聚合成一位十六进制数，即2A。

关于进制转换，本节只需要理解不同进制的含义与联系即可，这对后面的学习有很大的帮助。

1.6.2　在Python中表示各种进制的数值

通过1.6.1小节，你已经学习了进制的相关知识。在Python中，可以通过给数值添加前缀来表明其所采用的进制。除了十进制外，在编程中常用的还有二进制、八进制和十六进制。

在Python中，默认采用十进制数值，就像我们前面进行的简单运算，都是以十进制为基础的，在数值前面加前缀0b用来描述二进制数值，如图1-36所示。

在数值前面加前缀0用来描述八进制数值，如图1-37所示。

需要额外注意，无论是在数学中还是某些编程语言中，数值前面的0通常都是可有可无的，在Python中要格外小心，前缀0会被解析成八进制数值。

在数值前面加前缀0x用来描述十六进制数值，如图1-38所示。

Python还为我们提供了几个方便的方法，可以直接将十进制数值转换为二进制、八进制或十六进制的形式，只是转换结果为字符串类型。示例代码如下：