2.4 成像光谱仪光学系统的像差
在理想的光学成像系统中传播物体的像是不会变形的，只存在物像之间比例的放大或缩小。根据这个原理，成像光谱仪的理想光学系统应该具有如下几个特点：
①经过准直镜准直的光束是绝对平行的；
②色散元件只起分光作用，不参加成像；
③聚焦镜焦面上获得的单色像是狭缝的无变形的放大或缩小的几何像。
事实上，这种理想的成像系统是不存在的。通常在实际设计中，我们要考虑的是在满足应用需求前提下仪器所需要达到的综合性能指标，而不是一味地追求某一方面或者某一参数的高性能。
2.4.1 像差理论
像差的定义是实际光学系统与理想系统成像的差别，像差存在于任何光学系统中。使用像差来考量所设计的光学系统与设计要求的接近程度是非常合适的，这种对光学系统特性的定量化描述在设计的初始阶段往往具有原则意义。通过对不同类型像差大小的分析，借助前人对像差理论的研究成果，可以给设计者提供校正像差的途径和设计思路。
根据图2-9所示的光学系统坐标示意图，x轴为系统光轴，系统的像差可以利用波像差W或几何像差TAy和TAz表示，它们之间的关系是：
（2-8）
（2-9）
式中，n为传递介质的折射率；u为光线的半孔径角。
图2-9 光学系统坐标示意图
由于光栅光谱仪属于全反射式系统，不存在色差，因此系统的几何像差主要可以分为球差、彗差、像散、场曲和畸变5种基本像差。根据文献［119］的推导，当只存在初级像差时，单色光束和高斯像面的交点离高斯像点距离的坐标是：
2nuTAy=SⅠy（y2+z2）+SⅡη（3y2+z2）+（3SⅢ+SⅣ）η2y+SⅤη3 （2-10）
2nuTAz=SⅠz（y2+z2）+SⅡη（2yz）+（SⅢ+SⅣ）η2z （2-11）
式中，SⅠ为初级球差系数；SⅡ为初级彗差系数；SⅢ为初级像散系数；SⅣ为初级场曲系数；SⅤ为初级畸变系数；η为光线在物面的坐标值；y和z分别代表光线在入瞳面的坐标值。
成像光谱仪器中光学系统的相对孔径一般不大于1/5，视场角一般不大于15°，因此二级以上的高级像差比较小，光学系统的像差以初级像差为主［119］。初级像差理论是成像系统像差分析的出发点，可以粗略提供纠正像差的途径，对指导成像光谱仪的设计具有根本性的意义。
光学系统中像差的种类很多，由于光栅色散型成像光谱仪属于离轴光学系统，因此球差、彗差、像散、场曲和畸变是影响光谱仪性能的主要像差，下面具体分析这几种像差对光谱仪性能的影响。
2.4.1.1 球差
球差是唯一的轴上点单色像差，不同孔径的光线通过光学系统后在光轴上的交点位置不同，因此我们无法在高斯像面或者其他位置上得到理想的像点，只能得到一个弥散斑，如图2-10所示。球差可以用某一孔径处光线的像点与高斯像面的轴向距离来度量，也可以用像点在高斯像面上的弥散斑半径来衡量。
图2-10 轴上点不同孔径光线交点不同产生的球差
在式（2-10）和式（2-11）中令η=0，可以得到轴上点的垂轴几何像差，也就是球差。
2nuTAy=SⅠy（y2+z2） （2-12）
2nuTAz=SⅠz（y2+z2） （2-13）
式中，TAy和TAz是轴上点的球差在高斯像面上的坐标值；SⅠ为初级球差系数。
球差的存在会使谱线展宽（如图2-11所示），降低光谱仪器的光谱分辨力。此外，球差造成的空间维上的像点弥散还会造成成像光谱仪空间分辨力的下降。因此，成像光谱仪光学系统的球差必须校正，或者说将其控制在一定范围内。对于反射式光谱仪器中经常使用的倾斜光路，由于作为物点的狭缝处于偏离光轴的位置，因此在仪器中主要是离轴的球差问题，且球差与光线离轴距离成正比。
图2-11 球差对谱线的影响
2.4.1.2 彗差
彗差属于轴外物点用宽光束成像时产生的一种像差，表现为像方的光束对主光线失去对称，使得在高斯像面上形成一个彗星状弥散斑，彗差即由此而得名，如图2-12所示。子午彗差和弧矢彗差都在垂轴方向度量，属于垂轴像差的一种。彗差不仅与光阑（光瞳）的孔径平方成正比，而且与物点离轴距离成正比，初级彗差主要由初级彗差系数决定，如下式：
2nuTAy=SⅡη（3y2+z2） （2-14）
2nuTAz=SⅡη（2yz） （2-15）
式中，SⅡ为初级彗差系数，当视场角度不大时，可以用对正弦条件的偏离程度来表示彗差，如下式所示：
（2-16）
式中，OSC'为光学系统对正弦条件的偏离程度；J为拉格朗日-赫姆霍茨不变量。
图2-12 轴外物点彗差示意图
彗差对谱线轮廓的影响很严重，使光谱线单边扩散，一边清楚而另一边模糊，不仅降低了仪器的分辨力，而且会使谱线轮廓的极大值发生位移，甚至还会产生假谱线，如图2-13所示。成像光谱仪属于离轴光学系统，因此必须考虑彗差的影响并加以校正，由于离轴角度并不大，一般只需要考虑初级彗差。
图2-13 彗差对谱线的影响
2.4.1.3 像散和场曲
像散和场曲都属于轴外点像差。像散是由离轴入射光束引起的，当入射光为平行光束时，子午面和弧矢面的光线聚焦在光轴的不同位置上。场曲是指子午像面和弧矢像面与高斯像面间的沿轴偏离距离。初级像散和初级场曲由初级像散系数SⅢ和初级场曲系数SⅣ决定。
2nuTAy=η2y（3SⅢ+SⅣ） （2-17）
2nuTAz=η2z（SⅢ+SⅣ） （2-18）
由于像散的存在使狭缝上每一点的单色像延伸成为一短焦线，子午光束所成的像称为子午焦线，弧矢光束所成的像称为弧矢焦线，如图2-14所示。这些短焦线的方向并不一致，在子午像面上的子午焦线沿着弧矢方向，与之相反弧矢像面上的弧矢焦线沿着子午方向。在使用光电倍增管等非成像探测器的光谱仪器中，一般选择像点弥散方向与狭缝方向一致的子午像面作为接收面，这样虽然大大降低了仪器的空间分辨力，但是对于光谱分辨力影响不大。然而对于使用面阵探测器的成像光谱仪来说，像散使得仪器无法兼顾光谱分辨力和空间分辨力，因此必须认真校正。
图2-14 球面反射镜离轴入射光束的像散
存在场曲的光谱仪光学系统的子午像面和弧矢像面是一个弯曲的弧形，其大小与狭缝高度有关。狭缝高度的场曲会使狭缝两端附近点清晰的聚焦位置偏离成像面，两端像点的弥散斑扩大，从而导致分辨力下降。当狭缝高度不大时，场曲的影响可以忽略。在设计系统时需要将场曲控制在探测器焦深范围内。
2.4.1.4 畸变
畸变是由于横向放大率随视场的增大而变化所引起的一种失去物像相似性的像差。放大率随入射角度增加而增大时称正畸变或者枕形畸变，放大率随入射角度增加而减小时称负畸变或者桶形畸变。光线离主轴越远，畸变越大，但是若与主轴正交并通过主轴，则不发生畸变。初级畸变由初级畸变系数SⅤ决定，
2nuTAy=SⅤη3 （2-19）
畸变并不影响像面的清晰度，只是改变像与物的相似性。光谱仪器的狭缝宽度很窄，所以畸变造成的谱线在像面内的弯曲往往很小，一般可以忽略不计。
2.4.2 宽波段成像时的像面离焦
使用面阵探测器的成像光谱仪可以同时获取一定波长范围内的光谱图像，由于宽波段中不同波长的光束光路不同，因此由各波长的谱线所组成的像面往往是一个曲面，这就使得探测器在中心波长之外的区域中是离焦使用的（不同于狭缝高度造成的场曲，这种由于宽波段同时成像造成的离焦是色散方向上的），这严重的影响了光谱仪的光谱分辨力和空间分辨力。为了解决这个问题，可以使用光敏面形状与分光系统的像面面型相同的曲面探测器；或者在设计系统的时候，将平直的像面作为约束条件考虑在内，利用光学元件面型和光学系统结构的优化使得像面的离焦程度在可以接受的范围之内。
2.4.3 谱线弯曲
在光栅光谱仪中，谱线弯曲是由于不同狭缝高度对于光栅的入射角不同以及不同波长的入射光在光栅上的子午方向放大率不同这两种因素共同产生的，造成了系统成像质量的下降。下面讨论引起谱线弯曲的原因以及解决办法。
如图2-15所示，狭缝中心O发出的光束落在光栅的主截面内，但来自狭缝两端的光束不通过光栅的主截面，而是与它构成夹角ε。AO为狭缝的半高度，由点A发出的光线与法线N构成入射角i，它在主截面的投影为i'，而点A发出的光线在衍射方面同样存在θ和θ'。从点A发出的光线服从下式：
d（sini'+sinθ'）cosε=mλ （2-20）
图2-15 狭缝高度引起谱线弯曲的原因
由式（2-20）可知，由于狭缝不同高度上的点发出的光与光栅主截面的夹角ε不同，具有一定高度的直狭缝经过光栅的色散作用后，在聚焦镜的焦面上形成一个弧形的狭缝像，并且两端弯向长波方向，如图2-16所示。
图2-16 狭缝高度产生的谱线弯曲示意图
根据式（2-20）不难得出光栅的谱线弯曲公式。当倾斜角度ε较小时，可以近似地认为由狭缝高度产生的衍射角变化Δθ符合下式描述［120］：
（2-21）
设光谱像面的坐标系如图2-17所示，横坐标y表示色散方向，纵坐标z表示狭缝高度方向，定义狭缝中心O的像O'为坐标原点，式（2-21）中的夹角ε可以用像高z与聚焦镜的焦距f2的比值来表示，代入线色散公式，由于狭缝高度带来的谱线像在色散方向的位移坐标为：
（2-22）
图2-17 谱线在像面坐标系中的表示
这是抛物线方程式，其曲率半径R为：
（2-23）
从上式可以看出，由狭缝高度产生的谱线弯曲的曲率与聚焦镜的焦距和光栅常数成反比；与波长、衍射角和光谱级次成正比。因此，可以通过增大聚焦镜的焦距和光栅常数来减小谱线弯曲带来的影响。
此外，光栅在色散（子午）方向的放大率MGT为：
（2-24）
式中的衍射角β是波长的函数，因此光栅的放大率MGT也是波长的函数。一般长波的衍射角较大，因此长波的狭缝像比短波的狭缝像垂轴放大率要大一些，这会造成长波的狭缝像高度大于短波的狭缝像高度，在像面上表现为轴外点的不同波长的像点连线不平行于色散平面，而是一条斜线，其结果同样是造成谱线的弯曲。其解决办法是尽量使设计波长范围内的衍射角接近0，这样光栅的放大率MGT变化很小，所造成的谱线弯曲几乎可以忽略不计。
由以上讨论可知，影响光谱仪性能的因素有很多，其中离轴光学系统产生的彗差、像散和狭缝高度造成的谱线弯曲是造成光谱仪的分辨力下降的主要因素。因此，在进行光学系统设计时，必须校正彗差和像散，并且尽量减小谱线弯曲造成的影响。