2.2.2　规则分形的分维计算

结合Hausdorff维数的概念，2.1节中讨论的规则分形体，均可理论上计算其分形维数。

对于Koch曲线来说，在第n次迭代后，每个线段的长度为（1/3）ⁿ，一共有4ⁿ条这样的线段，因此。Koch曲线的分维为

这是很有趣的结果。对于Koch曲线来说，其面积为0，而当迭代趋于无穷时，其长度也趋于无穷。显然，传统欧氏几何中描述面积的2维和描述长度的1维均不能很好地刻画Koch曲线这样的分形体，而维数1.26恰好可以反映这种曲线的不规则程度和复杂性。

对Cantor集来说，在第n次迭代后，每个线段的长度为（1/3）ⁿ，一共有2ⁿ条这样的线段，因此，Cantor集的分维为

对Sierpinski三角形来说，在第n次迭代后，每个线段的长度为（1/2）ⁿ，一共有3ⁿ条这样的三角形，因此，Sierpinski三角形的分维为

对Sierpinski地毯来说，在第n次迭代后，每个线段的长度为（1/3）ⁿ，一共有8ⁿ条这样的小正方形，因此，Sierpinski地毯的分维为

通过分析这些典型规则分形体的分维，我们可以做出以下几方面的重要认识：首先，尽管分形体本身结构比较复杂，传统的几何特征均无法描述，但可以通过在不断改变观测尺度的过程中获得的简单且具有不变性的参量（即分维）来予以定量描述；其次，分形体中没有特征尺度的概念。一般的研究对象总有特征尺度。比如，我们观测到远处某个移动物体大概高度为10m，这就不合适猜测其为行人，这是因为人的高度是有特征尺度的，超过一定的特征尺度，就可以否定是该物体的可能性。但分形体的出现，使得特征尺度的概念消失。无论用多大的尺子去测量它，都难以得到分形体的确切长度和结构。即使测量尺子的尺度越来越小，新的结构却与整体结构一样，具有相似的复杂性。分形体最大的特征就在于没有特征尺度，所以就必须要考虑从小到大的各种尺度下的变化情况，这就是分形的无标度特征。分形的自相似结构决定着从小到大的各种尺度下分形体的结构具有相似特征，这就叫做标度不变性，它反映了分形体中内在的层次结构。

因此分形维数测量的实质在于，从动态的尺度变化下去观察分形体的构造，在过程中发现稳定不变的特征参量，即分形维数。传统分析手段获得的特征参量，往往是静态观察手段得到的静态特征。