3.3　功率谱与1/f噪声

功率谱S（f）是时间序列分形研究的标准方法之一^［29］。功率谱分析是对原时间序列进行傅立叶变换，把原来在时域内以时间t为变量的函数x（t）变换为频域内以频率f为变量的函数x（f），也就是将原来时间序列数据集分解为一系列振幅不同的频率变化的正弦函数，得到频域内振幅随频率变化的函数x（f）：

　　（3-6）

式中　x（f）——以频率f为变量的函数；

x（t）——以时间t为变量的函数；

T——x（t）在时域内延伸的时间区间。

由于振幅的平方正比于功率，定义单位时间内的功率谱密度S（f）为：

　　（3-7）

式中　x（f）——以频率f为变量的函数；

S（f）——单位时间内的功率谱密度。

若全部或部分区间内的功率谱服从幂律关系：S（f）∝f^-β，即

　　（3-8）

式中　β——功率谱指数。

则数据在此区间内具有分形标度性质。

功率谱的幂函数形式表明，物理系统的观测资料在频率f空间中跨越很宽的尺度，但确有自相似结构。时间序列在图像上看上去是不规则的，但其功率谱却可能出现规则性。如谱图中具有单峰（或几个峰），则对应于周期（或拟周期）序列。如时间序列的功率谱遵从幂律关系：

　　（3-9）

表明在幂律关系范围内不存在特征时间尺度，即标度行为。因此，在此范围内任意尺度上的波动都相互关联，这表明分形行为的存在。当β=0时，对应白噪声；当β=2时，对应褐色噪声；0.5＜β＜1.5时，对应于1/f杂音，这是功率谱与振动数的倒数呈正比的摆动的总称。噪声研究表明，许多噪声的S（f）～1/f，它们被称为1/f噪声，其包括固体导电现象中的1/f噪声，尼罗河水流量变化的1/f噪声，高速公路车流变化以至音乐的1/f噪声等。

Voss^［30］与Malamud等^［31］表明，从理论上讲，功率谱指数β与Hurst指数H也满足如下关系：

β=2H-1　　（3-10）

然而，在实际应用中，这些关系很少是严格满足的，但这一关系至少可以对R/S分析进行一定的检验。