第5章　微机控制系统设计

5.1　微机控制系统的基本组成与分类

5.1.1　微机控制系统的基本组成

计算机控制系统是在自动控制技术和计算机技术发展的基础上产生的。将自动控制系统中的控制器的功能用计算机来实现，就组成了典型的计算机控制系统。如果计算机是微型计算机，就是微型计算机控制系统，简称微机控制系统。典型的微型计算机控制系统由硬件和软件组成。

5.1.1.1　微机控制系统的硬件组成

图22-5-1为微机控制系统的典型硬件组成框图。

5.1.1.2　微机控制系统的软件组成

软件是指能够完成各种功能的计算机程序的总和。整个计算机系统的动作，都是在软件的指挥下协调进行的，因此说软件是微机系统的中枢神经。微机控制系统的软件主要由系统软件和应用软件组成，如表22-5-2所示。

5.1.2　微机控制系统的分类

5.2　微机控制系统设计的方法和步骤

微机控制系统设计的主要方法有：模拟化设计方法、离散化设计方法、状态空间设计方法。

5.2.1　模拟化设计方法和步骤

5.2.1.1　模拟化设计思想

模拟化设计是将如图22-5-2所示的微机控制系统看作一个连续系统，即忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，然后采用连续系统设计方法设计出模拟控制器D（s），在满足一定条件下，做出某种近似，从而将模拟控制器D（s）离散化成数字控制器D（z），以便用计算机算法来实现已设计好的模拟校正装置的功能。

模拟化设计方法的适用前提是：采样角频率ω_s要比系统的通频带ω_b或开环截止频率ω_c高得多（一般要求ω_s≥10ω_b或10ω_c），以至于由采样器和保持器所引起的附加影响较小，甚至可以被忽略，这样，系统的离散部分可以用连续环节来代替。

5.2.1.2　香农采样定理

设连续信号x（t）的频带宽度是有限的，所包含的最高频率为ω_max，为了能使连续信号x（t）采样后的离散频谱x^*（jω）彼此不重叠，并能复现原信号x（t）的全部信息，则要求采样频率ω_s满足下述关系：ω_s≥2ω_max。

5.2.1.3　模拟化设计步骤

（1）设计模拟控制器D（s）

首先，将图22-5-2所示的微机控制系统假想为一个连续系统，如图22-5-3所示，即将实现数字控制器的微机、采样器和零阶保持器合在一起，作为一个模拟环节看待，其等效传递函数为D（s）。之后，按照对数频率特性法、根轨迹法等连续系统的校正方法，可以设计连续系统的校正环节D（s）。

（2）正确选择采样周期T

①从调节品质上看，希望采样周期短，以减小系统纯滞后的影响，提高控制精度。通常保证在95%的系统的过渡过程时间内，采样6～15次即可。

②从快速性和抗扰性方面考虑，希望采样周期尽量短，这样给定值的改变可以迅速地通过采样得到反映，而不致产生过大的延时。

③从计算机的工作量和回路成本考虑，采样周期T应长些，尤其是多回路控制时，应使每个回路都有足够的计算时间；当被控对象的纯滞后时间τ较大时，常选T=τ。

④从计算精度方面考虑，采样周期T不应过短，当主机字长较小时，若T过短，将使前后两次采样值差别小，调节作用因此会减弱。另外，采样周期T必须大于执行机构的调节时间。（3）将D（s）离散化为D（z）

主要方法有：

①双线性变换法：

②后向差分法：

③零阶保持器法：，Z变换的具体计算可见表22-5-4和表22-5-5。

此外，还可采用零极点匹配等方法。

（4）求出与D（s）对应的差分方程

要想用计算机实现数字控制器D（z），则必须求出相应的差分方程，此时有两条途径：一是由D（s）写出系统的微分方程，并进行差分处理得到相应的差分方程，如数字PID控制算法即由此推导出；另一途径是根据数字调节器D（z），用直接程序设计法、串联实现法等将其变为差分方程。

（5）根据差分方程编制相应程序

设计好的控制算法投入使用前，要进行数字仿真，若不合乎要求，应予以修改，直至满足要求为止。

5.2.1.4　数字PID控制系统设计

（1）连续PID控制

连续PID控制方框图如图22-5-4所示。

①比例（P）控制规律

式中　K_p——比例系数。

②比例积分（PI） 控制规律。采用比例控制的系统存在静差，为了消除静差，在比例控制的基础上加入积分控制，组成比例积分控制器，其控制规律为

式中　T_i——积分常数，T_i越大，积分作用越弱。

③比例积分微分（PID） 控制规律。比例积分控制消除系统误差需经过较长的时间，为进一步改进控制器，可以通过检测误差的变化率来预报误差，根据误差变化趋势，产生强烈的调节作用，使偏差尽快地消除在萌芽状态，数学上描述这个概念就是微分，因此在PI控制器的基础上加入微分调节，就构成了连续PID控制，其控制规律为

式中　T_d——微分常数，T_d越大，微分作用越强。

连续PID控制器的传递函数

（2）标准数字PID控制算法

包括位置式数字PID控制算法、增量式数字PID控制算法、递推形式位置式数字PID控制算法，和其他改进型PID控制算法。

①位置式数字PID控制算法。为了实现微机控制生产过程变量，必须将模拟PID算式离散化，变为数字PID算式，为此，在采样周期T远小于信号变化周期时，作如下近似

于是有位置式数字PID算法

u（k）是全量值输出，每次的输出值都与执行机构的位置（如控制阀门的开度）一一对应，所以称之为位置式PID算法。图22-5-5为位置式数字PID控制系统结构，图22-5-6为位置式数字PID算法程序流程。

②增量式数字PID控制算法。当控制系统中的执行器为步进电机、电动调节阀、多圈电位器等具有保持历史位置功能的这类装置时，一般均采用增量式数字PID控制算法。增量式数字PID控制算法表达式为

图22-5-7为增量式数字PID控制系统结构，图22-5-8为增量式PID算法程序流程。

与位置算法相比，增量型数字PID算法有如下优点。

a.位置式算式每次输出与整个过去状态有关，计算式中要用到过去偏差的累加值，容易产生较大的累积计算误差；而在增量型算式中，由于消去了积分项，从而可消除调节器的积分饱和，在精度不足时，计算误差对控制量的影响较小，容易取得较好的控制效果。

b.为实现手动—自动无扰动切换，在切换瞬时，计算机的输出值应设置为原始阀门开度u₀，若采用增量型算法，其输出对应于阀门位置的变化部分，即算式中不出现u₀项，所以易于实现从手动到自动的无扰动切换。

c.采用增量式算法时所用的执行器本身都具有寄存作用，所以即使计算机发生故障，执行器仍能保持在原位，不会对生产造成恶劣影响。

③递推形式位置式数字PID控制算法。利用增量型数字PID控制算法，可得到位置型数字PID控制算法的递推形式，即

此外，还有多种改进型数字PID控制算法。

（3）数字PID调节器参数的整定方法

①扩充临界比例度法整定PID参数。扩充临界比例度法是以模拟PID调节器中使用的临界比例度为基础的一种数字PID调节器参数的整定方法。整定步骤如下。

a.选择一个足够短的采样周期T，例如被控过程有纯滞后时，采样周期T取滞后时间的1/10以下，此时调节器只作纯比例控制，给定值r作阶跃输入。

b.逐渐加大比例系数K_p，使控制系统出现临界振荡。由临界振荡过程求得相应的临界振荡周期T_τ，并记下此时的比例系数K_p，将其记作临界振荡增益K_τ。此时的比例度为临界比例度，记作

c.选择控制度。所谓控制度是数字调节器和模拟调节器所对应的过渡过程的误差平方的积分之比。

控制度是数字调节器和模拟调节器控制效果相比较的一种性能评价指示。通常不需要去计算。当控制度为1.05时，数字调节器与模拟调节器的控制效果相当；当控制度为2.0时，数字调节器的控制质量差一倍。

d.根据控制度，查表22-5-6求出T、K_p、T_i和T_d的值。

e.按照求得的整定参数，投入系统运行，观察控制效果，再适当调整参数，直到获得满意的控制效果为止。

②扩充响应曲线法整定PID参数

a.断开数字调节器，让系统处于手动操作状态。将被调量调节到给定值附近并稳定后，突然改变给定值，即给对象输入一个阶跃信号。

b.用仪表记录被控参数在阶跃输入下的整个变化过程曲线，如图22-5-9所示。

c.在曲线最大斜率P处作切线，求得滞后时间τ、被控对象的时间常数T_m，以及它们的比值T_m/τ。

d.选择控制度。

e.由τ、T_c、T_c/τ值，查表22-5-7，求出数字控制器的T、K_p、T_i和T_d。

③试凑法

a.只采用比例控制，K_p由小变大，若响应时间、超调、静差已达到要求，只采用比例调节即可。

b.静差不满足，则加入积分控制，将K_p减小，例如取0.8K_p代替K_p，T_i由大到小，反复测试多组的K_p和T_i值，从中确定合适的参数。

c.若动特性不满足，比如超调量过大，或调节时间过长，则加入微分控制，T_d由小到大，逐步凑多组PID参数，从中找出一组最佳调节参数。

5.2.2　离散化设计方法和步骤

离散化设计方法也称直接设计方法。其主要思想是：首先将保持器和被控对象所构成的连续部分离散化，即取

然后把整个系统当作完全的离散系统，在离散域内设计数字控制器D（z）。

离散化设计的主要方法见表22-5-8。

5.3　微机控制系统的数学模型

微机控制系统可用差分方程、Z传递函数、状态空间表达式来描述。

5.3.1　差分方程

5.3.1.1　差分的概念和差分方程

在微机控制系统中，某环节（如数字控制器）的输入和输出信号都是离散时间kT的函数，都是以离散序列形式，如x（kT）和y（kT）（k=0，1，2，…），来表示的。此环节的行为不能再用连续时间的微商来描述，它的运算规律只取决于前后离散序列的数值，这就引出了差分的概念和差分方程。

（1） 差分的概念

设连续时间函数为x（t），其采样后的离散时间函数为x（kT），为了书写方便，令

一阶前向差分定义为

二阶前向差分定义为

n阶前向差分定义为

式中，是组合值，即

同理，一阶后向差分定义为

二阶后向差分定义为

n阶后向差分定义为

T足够小的条件下，连续时间函数x（t）对时间t的导数可近似用前向差分与T之比来表示。当t=kT时，有

（2） 差分方程

若在一个方程中含有离散时间函数的差分，则称此方程为差分方程。差分方程的一般形式为

差分方程又可表示为

和微分方程相类似，差分方程也可按“阶”数来分类。所谓差分方程的“阶”数，是指自变量的最大值与最小值之差。例如

是一个二阶差分方程。

描述微机控制系统的差分方程一般表达式为

或　　

式中，m≤n，n为差分方程的阶数；x（k）、y（k）分别为离散输入、输出序列。

5.3.1.2　差分方程的求解方法

（1）用迭代法求解差分方程

设n阶前向差分方程为

只要知道输出序列初始值y（0）ly（1），…，y（n-1）和任何时刻的输入序列x（i），i=0，1，2，…，那么系统任何时刻的输出序列y（k），k≥n，都可以由上式逐步递推计算出来。

例　求下列差分方程的解y（k）。

式中

且

解

令k=0，1，2，…，一步一步迭代解差分方程。

（2）用Z变换法求解差分方程

在输入和初始条件已知的情况下，用迭代法不难求出在任一采样时刻上差分方程的解，但这种方法却不容易得到解的一般表达式。与用拉氏变换法求解微分方程相类似，用Z变换法也可以求解差分方程。

用Z变换法求解差分方程基本步骤如下。

①对差分方程两边取Z变换。

②再利用Z变换的超前和迟后定理将差分方程变换为以z为变量的代数方程。

③求解此代数方程。

④再对所得结果进行Z反变换法，求得采样时刻上解的一般表达式。

例　试用Z变换法求解下列二阶差分方程

其中

解　由Z变换定义，得

对差分方程两边取Z变换，并代入初始条件，整理后

用部分分式法对上式进行Z反变换，因

方程两边同乘以Z

对上式进行Z反变换，查表22-5-4，最后得

5.3.2　Z传递函数

Z传递函数也称脉冲传递函数。

5.3.2.1　基本概念

在离散系统中，把零初始条件下，系统（或环节）的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比，定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数。

对于图22-5-10所示的离散系统，脉冲传递函数定义为

式中　

脉冲传递函数具有明显的物理意义。离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应g（t）的Z变换，即

上式表明，若将脉冲传递函数G（z）展开成关于z^-1的升幂多项式形式，其展开的项数越少，说明系统的单位脉冲响应g（t）衰减得愈快，系统的响应速度也愈快。

对于图22-5-10所示的离散系统，其脉冲传递函数还可以表示成

根据脉冲传递函数的定义，离散系统在采样时刻的输出值为

如果输入信号X（z）已知，则求取输出响应y^*（t）的关键，是如何求出系统的脉冲传递函数G（z）。

5.3.2.2　开环系统的脉冲传递函数

（1） 系统（或环节）的脉冲传递函数

对于图22-5-10所示的离散系统（或环节），a.若已知该系统（或环节）连续部分的传递函数G（s）或单位脉冲响应g（t），则对G（s）或g（t）取Z变换，即得G（z）；b.若已知该系统（或环节）的差分方程，且该系统处于零初始条件下，则对差分方程两边取Z变换，即得G（z）。

例　设离散系统的差分方程为

系统的初始条件为零，试求系统的脉冲传递函数G（z）。

解　对差分方程两边取Z变换，由迟后定理得

整理得

（2） 环节串联时的脉冲传递函数

在离散系统中，环节串联有3种典型形式，如图22-5-11所示。

①串联环节之间无采样开关。在图22-5-11（a）所示的开环系统中，两个环节G₁（s）和G₂（s）之间无采样开关，它们之间是以连续信号传递的。根据脉冲传递函数的定义，应当把这两个串联环节等效地看成前后均有采样开关的一个环节。该环节的传递函数是G（s）=G₁（s）G₂（s），它的脉冲传递函数为

式中，G₁G₂（z）是Z［G₁（s）G₂（s）］的缩写，它表示先将G₁（s）与G₂（s）相乘后再取乘积的Z变换。

结论：当开环系统由两个连续环节串联，而环节之间又无采样开关分隔时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节传递函数相乘后再取乘积的Z变换。此结论可以推广到n个环节直接串联时的情况。

定理： 若G（s）所对应的Z变换式是G（z），则（1-e^-Ts）G（s）所对应的Z变换式为（1-z^-1）G（z）。

②串联环节之间有采样开关。在图22-5-11（b）和图22-5-11（c）所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关，它们之间是以离散信号传递的。对于第一个环节，前后都存在采样开关，其输入为离散信号x^*（t），输出经采样开关后为根据脉冲传递函数的定义，有

对于第二个环节，其输入为（t），输出为y（t），脉冲传递函数为

两个环节串联后，总的脉冲传递函数为

结论：被采样开关隔开的两个环节串联时，总的脉冲传递函数等于两个环节各自的脉冲传递函数的乘积。如果有n个环节串联而所有串联环节之间都有同步采样开关时，则整个开环系统的脉冲传递函数等于各环节的脉冲传递函数的乘积。

③闭环系统的脉冲传递函数。在离散系统中，由于采样开关配置方式是多种多样的，所以闭环系统的方块图形式也不是统一的。表22-5-9列出了某些常见离散反馈系统的方块图及其输出信号的Z变换Y（z），其中序号为6～10的方块图，因为输入信号没有直接受到采样，所以只能得到输出信号的Z变换，而不能定义脉冲传递函数。

5.4　微机控制系统分析

微机控制系统，在一定条件下，一般可近似为线性离散系统，其经典分析方法一般分为三种：时域分析法、根轨迹法和频率法。分析的内容也包括三个方面：系统的稳定性、稳态性能和暂态性能。

5.4.1　线性离散系统的时域响应分析

根据离散系统的闭环脉冲传递函数G_B（z）［或Y（z）表达式］，及给定的输入信号r（t）［或r^*（t）］，求取输出响应信号y（t）的Z变换Y（z），然后对Y（z）进行Z反变换，便可得到y（t）在各采样时刻的值y（kT）［或y^*（t）］；如果还需要详细得到y（t）在非采样时刻的值，可采用扩展Z变换。根据输出响应曲线，按超调量、暂态过程时间以及稳态误差等项时域性能指标，便可分析离散系统的性能。

例　试求图22-5-12所示离散系统在单位阶跃信号作用下的输出响应，并分析其暂态和稳态性能。已知K=1，T=1。

解　系统的开环脉冲传递函数为

闭环脉冲传递函数为

在单位阶跃信号作用下，有

将T=1，代入上式

利用长除法

取Z反变换得

按上式，将输出响应在各采样时刻的值绘于图22-5-13，并用平滑曲线将各采样点连接起来（严格讲，应该应用扩展Z变换）。

5.4.2　离散系统的稳定性分析

离散系统的分析主要建立在Z变换基础上，所以这里关于稳定性的讨论也只限于采样时刻上的值是否稳定。另外，在离散系统的分析中，是以Z变换代替拉氏变换，所以应在Z域内判别离散系统的稳定性，并在此基础上导出稳定判据。

5.4.2.1　Z平面内的稳定条件

设离散系统的闭环脉冲传递函数为

通常m≤n，且系统具有均不相同的闭环极点p₁、p₂、…、p_n。在单位阶跃输入信号作用下，输出信号的Z变换为

上式两边同除以z，并展开成部分分式

故

对上式取Z反变换，并写成序列形式

上式右边第一项为系统输出的稳态分量，第二项为系统输出的暂态分量。显然若系统是稳定的，当t趋于无穷大（相当于k趋于无穷大）时，系统输出的暂态分量应趋于零，即

为满足这一条件，要求系统的闭环脉冲传递函数的全部极点p_i（i=1，2，…，n）应满足

上式说明，离散系统稳定的充分条件是：离散系统的闭环脉冲传递函数的全部极点（或特征方程的全部根）应位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内。反之，若闭环脉冲传递函数有位于单位圆外部的极点，则闭环系统是不稳定的。Z平面上单位圆的圆周是稳定域的边界。

上述结论也可以从S平面与Z平面之间的映射关系中得出。

5.4.2.2　S平面与Z平面之间的映射关系

在Z变换定义中已确定了s和z之间的映射关系为

式中，s是复变量，可写成s=σ+jω，所以z也是复变量，即

写成极坐标形式

式中，，。

离散系统的闭环脉冲传递函数在Z平面的极点p_i与s_i的关系见表22-5-10。

由表22-5-10可见，S平面的左半平面映射到Z平面上以原点为圆心的单位圆内；S平面的虚轴映射到Z平面上单位圆的圆周上；S平面的右半平面映射到Z平面上单位圆的外部。

5.4.2.3　稳定判据

虽然根据特征方程的根在Z平面上的分布可以判别离散系统的稳定性，但是对于高阶系统来说，解特征方程是很困难的，所以必须找出简单、实用的稳定判据。常见的离散系统稳定判据有劳氏判据、朱氏判据和奈奎斯特判据等。下面简述离散系统劳氏判据。

在连续系统中，应用劳氏判据可以判别特征方程（代数方程）的根是否全部具有负实部，但劳氏判据却不能判别特征方程（代数方程）的根是否全在单位圆内部。为了能应用劳氏判据判别离散系统的稳定性，必须先施加变换把Z平面单位圆内部映射到另一复平面的左半平面上。显然，不能将Z平面再复现回s平面，否则特征方程又变成s的超越方程，而不是代数方程。新引入的变换称为双线性变换，或称为W变换，定义为

它把Z平面单位圆内部映射到W平面的左半平面上。

判别离散系统稳定性的一般步骤：

①求出离散系统的特征方程D（z）=0；

②在D（z）中令z=（1+w）/（1-w），得到代数方程D（w）=0；

③用劳氏判据判别D（w）=0的根是否全部具有负实部。如果全部具有负实部，说明D（z）的全部极点分布在Z平面单位圆内，离散系统是稳定的；反之，系统不稳定。

例　设离散系统的闭环特征方程为

试应用劳氏判据判别此系统的稳定性。

解　在特征方程中做z=（1+w）/（1-w）的变量代换，得

整理后

列劳氏计算表

w³　　40　　　2　　0

w²　　2　　1　　0

w¹　 -18　　0

w⁰　　1

其中第一列元素变号两次，说明D（w）=0有两个根据具有正实部，即D（z）=0有两个根在单位圆外，此离散系统不稳定。

对于二阶离散系统，稳定性的判别变得十分简单。设系统的闭环特征方程为

应用劳氏判据可推导出二阶离散系统稳定的充分必要条件为

对于一般的离散系统，稳定性主要受以下几个方面的影响：a.系统的开环放大倍数K，通常K越大，稳定性越差；b.系统的采样周期T，通常T越大，稳定性越差；c.系统的结构和其他参数。

5.4.3　离散系统的稳态误差

离散系统的稳态误差与本身的结构和参数有关，也与系统的输入信号有关。离散系统的稳态误差既可以从响应曲线中求得，也可以应用Z变换的终值定理来计算。

设单位反馈的离散系统如图22-5-14所示，误差信号的Z变换为

应用Z变换的终值定理，得到离散系统的稳态误差

由于Z平面上z=1的极点与s平面上s=0的极点相对应，这从Z［1/s］=z/（z-1）可明显看出，因此，离散系统可按其开环脉冲传递函数G_K（z）在z=1处的极点数来确定其类型。把z=1处的极点数为0、1、2、…的系统分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型…系统。下面分别讨论在三种典型输入信号作用下，三种典型系统的稳态误差。

（1） 单位阶跃输入时的稳态误差

单位阶跃函数，，得

式中， 称为系统的位置误差系数。

对于0型系统：没有z=1的极点，K_p=有限值

对于Ⅰ（或Ⅱ）型系统：G_K（z）有1个（或两个）z=1的极点，K_p=∞

（2） 单位斜坡输入时的稳态误差

单位斜坡函数r（t）=t，，得

式中，称为系统的速度误差系数。

对于0型系统：G_K（z）没有z=1的极点，K_v=0，e（∞）=0

对于Ⅰ型系统：G_K（z）有1个z=1的极点，K_v=有限值，

对于Ⅱ型系统：G_K（z）有两个z=1的极点，K_v=∞，e（∞）=0

（3） 单位抛物线输入时的稳态误差

单位抛物线函数，，得

式中，称为系统的加速度误差系数。

对于0型（或Ⅰ型）系统：G_K（z）有0个（或1个）z=1的极点，K_a=0，e（∞）=∞。

对于Ⅱ型系统：G_K（z）有两个z=1的极点，K_a=有限值，e（∞）=1/K_a=有限值。

以上结果可归纳为表22-5-11。

5.4.4　离散系统的暂态性能

假定外作用是单位阶跃信号。在这种情况下，系统输出的Z变换为

5.4.4.1　闭环极点与暂态分量的关系

单位阶跃信号输入时，系统输出响应在采样时刻值的一般表达式为

上式右边的第一项为系统输出的稳态分量，第二项为系统输出的暂态分量。显然，闭环极点在平面上的位置不同，它所对应的暂态分量的形状也不同。下面分几种情况加以讨论。

（1） 闭环极点在Z平面实轴上

当第i个闭环极点p_i为实数，也就是在实轴上，p_i所对应的暂态分量为

①p_i>1，极点在单位圆外正实轴上，y_i（kT）为单调发散过程；

②p_i=1，极点在正实轴的单位圆上，y_i（kT）始终等于常值A_i；

③0<p_i<1，极点在单位圆内正实轴上，y_i（kT）为单调衰减过程，且p_i离原点越近，衰减也越快；

④-1<p_i<0，极点在单位圆内负实轴上，y_i（kT）为正负交替的衰减振荡过程，振荡频率最高，周期为2T，且p_i离原点越近，振荡衰减也越快；

⑤p_i=-1，极点在负实轴的单位圆上，y_i（kT）为幅值等于A_i的正负交替的等幅振荡过程；

⑥p_i<-1，极点在单位圆外复实轴上，y_i（kT）为正负交替的发散振荡过程。

这六种情况示于图22-5-15中。

（2） 闭环极点为一对共轭复极点

设p_i和为成对出现的共轭复极点，它们可分别表示为

对应的暂态分量分别为

式中，，。

这一对共轭复极点所对应的暂态分量为

①，共轭复极点在单位圆外，y_i（kT）为发散振荡过程；

②，共轭复极点在单位圆上，y_i（kT）为等幅振荡过程；

③，共轭复极点在单位圆内，y_i（kT）为衰减振荡过程。

这三种情况示于图22-5-16中。

一个振荡周期内包含的采样周期T的个数为

所以，极点的相角θ_i反映了对应的暂态分量的振荡激烈程度。θ_i越大，n越小，振荡越激烈。作为极端情况，当θ_i=0时（极点在正实轴上），n=∞，暂态分量是非周期的；当θ_i=π时，n=2，一个振荡周期内包含了两个采样周期，暂态分量为正负交替的、最激烈的振荡过程。这和前面的分析相符合。

综上所述，为了使离散系统具有较为满意的暂态性能，其闭环脉冲传递函数的极点应尽可能避免分布在Z平面单位圆内的左半部，尤其不要靠近负实轴，闭环极点最好分布在单位圆内的右半部，靠近原点的位置。

5.4.4.2　离散系统暂态性能的估算

闭环极点越接近单位圆周（即在圆内离原点越远），暂态分量衰减得越缓慢。假设离散系统中有一对闭环复极点最靠近单位圆周，而其他闭环零极点均在原点附近，离这一对闭环复极点相当远，那么系统的暂态响应主要由这一对闭环复极点决定，这一对闭环复极点称为闭环主导极点。

如果系统中存在着闭环主导极点，并可表示为

而其余闭环极点都在单位圆内，并且相对来说远离单位圆周， 这时可忽略掉远离单位圆周的闭环极点所对应的暂态分量，只考虑闭环主导极点所对应的暂态分量。

经过推导，得离散系统暂态性能指标的近似计算公式

式中　m——闭环零点数；

n——闭环极点数；

z_k——闭环零点，k=1，2，…，m；

p_1，2——闭环主导极点，；

p_k——主导极点以外的闭环极点，k=3，4，…，n；

=∠（p₁-z_k）　（k=1，2，…，m）；

=∠（p₁-p_k）　（k=3，4，…，n）。

系统闭环零极点对暂态性能的影响如下。

①减小闭环主导极点的模值可以减小超调量σ_p，增大闭环主导极点的相角θ₁可以使峰值时间t_p减小，但θ₁的增加会使暂态响应振荡过程加剧。

②如果把主导极点以外的闭环零极点叫做附加零极点，那么这些附加零极点对系统暂态性能的影响如下。

a.附加零极点对峰值时间的影响。附加零点的引入使相角增大，从而减小峰值时间t_p；反之，附加极点的引入使相角增大，峰值时间t_p增大。为了减小峰值时间，可以使附加零点右移、附加极点左移。

b.附加零极点对超调量σ_p的影响。对于实数零点（或靠近实轴的复数零点），在右半平面的单位圆内，的值一般比左半平面的大，所以，附加零点的右移会使σ_p增大；实数极点（或靠近实轴的复数极点）的左移一般会使的值增大，所以，附加极点的左移会使σ_p增大。

可见，附加零极点对σ_p的影响与对t_p的影响相反。事实上，由于，所以峰值时间t_p的增大会使超调量σ_p减小。在设计系统时，应根据对σ_p和t_p的要求配置零极点。

当系统只有一对闭环复极点而没有其他零极点时，

相应的二阶离散系统的峰值时间t_p和超调量σ_p分别为

5.4.5　离散系统的根轨迹分析法

在已知开环脉冲传递函数零极点的条件下，用根轨迹法可以确定出闭环极点的位置；此外，用根轨迹法还可以确定系统中某一个参数变化时，闭环极点的变化轨迹，从而研究参数变化对系统性能的影响。

5.4.5.1 Z 平面上的根轨迹

设离散系统的开环脉冲传递函数为

式中　p₁，p₂，…，p_n——离散系统的开环极点；

z₁，z₂，…，z_m——离散系统的开环零点；

k——根轨迹放大倍数。

根据开环脉冲传递函数的零极点确定闭环极点的位置，需要求解系统的闭环特征方程

上式可以通过幅值和相角条件来表示，即

上式就是在Z平面上绘制离散系统根轨迹所依据的两个基本条件。

表22-5-12列出了绘制线性离散系统的基本法则。表22-5-13列出了常见线性离散系统的根轨迹图。

5.4.5.2　用根轨迹法分析离散系统

下面通过例题说明如何用根轨迹法对离散系统的性能进行分析。

例　设二阶离散系统的方块图如图22-5-17所示，采样周期T=1s，试在Z平面上绘制K从0变化到∞时系统的根轨迹，并确定系统的临界放大倍数K_临。

解　此系统的开环脉冲传递函数

将T=1s代入上式，得

根据绘制根轨迹的基本规则可得如下结果。

①根轨迹共有两条，分别从开环脉冲传递函数的两个极点p₁=1和p₂=0.368出发，当K→∞时，一条根轨迹趋向零点z=0，另一条根轨迹趋向-∞处。

②在实轴上，1～0.368和0～-∞线段上有根轨迹存在。

③根轨迹与实轴的分离点和会合点可由下式求得

整理得

解上式可求得分离点为0.607，合点为-0.607。

④根据相角条件可以证明，根轨迹的复共轭段是以零点z=0为圆心、以零点与会合点的距离0.607为半径的圆。

由以上结果绘制出该系统的根轨迹，如图22-5-18所示。从图可见，根轨迹与单位圆相交于z=-1处。根据幅值条件，求得系统的临界放大倍数K_临为

5.4.6　离散系统的频率法

设离散系统的脉冲传递函数为G（z），将s=jω代入，便可求得它的频率特性为

下面说明离散系统频率特性的物理意义。设离散系统的输入为正弦信号，即

经过采样后

其Z变换为

于是，系统输出响应的Z变换可写为

其Z反变换为

式中右边最后一项为系统的暂态响应分量，对于稳定的系统，，当时间足够长以后，暂态项消失，系统的稳态输出响应为

上式表明，图示的离散系统在正弦信号的作用下，其稳态输出响应的包络线仍为正弦函数，包络线的频率与输入信号的频率相同。输出信号包络线的幅值与输入信号的幅值之比，称为系统的幅频特性，表示为；输出信号包络线与输入信号之间的相角差φ，称为系统的相频特性，表示为∠G（e^jωT）。

离散系统的频率特性具有以下重要性质：

①G（e^jωT）是ω的周期函数，其周期为采样角频率ω_s；

②幅频特性是ω的偶函数；

③相频特性∠G（e^jωT）是ω的奇函数；

④若在ω≥ω_s/2频段内不等于零，即不满足采样定理，则G^*（jω）就会出现混叠现象。

根据以上性质，在实际绘制频率特性时，一般只需绘制0≤ω≤ω_s/2部分的频率特性就可以了。

利用离散系统的开环频率特性可以分析离散系统的性能，所用的概念和方法与连续系统中所使用的类似。

5.5　典型微机控制系统及设计应用实例

5.5.1　基于工业控制计算机的微机控制系统

5.5.1.1　系统结构和特点

工业控制计算机（IPC）是在个人计算机（PC）基础上改进和发展起来的适合工业现场的计算机，简称工控机。典型的工业控制计算机结构如图22-5-19所示，它采用了总线结构形式，整个系统由各种不同的模板组成。

工业控制机是用于工业控制现场的计算机，其应用对象及使用环境的特殊性，决定了工业控制机主要有以下一些特点和要求。

①实时性。实时性是指计算机控制系统能在限定的时间内对外来时间作出反应的能力。

②高可靠性。要求工业控制机具有高质量和很强的抗干扰能力，并且具有较长的平均故障间隔时间。

③硬件配置的可装配可扩充性。硬件模板功能单一化，模板品种多样齐全并尽量采用各种OEM（original equipment manufacture）板级产品，使硬件配置有最灵活的装配性和可扩充性，硬件开发周期降到最小。

④可维护性。工业控制机应有很好的可维护性，这要求系统的结构设计合理，便于维修，系统使用的板级产品一致性好，更换模板后，系统的运行状态和精度不受影响；软件和硬件的诊断功能强，在系统出现故障时，能快速准确地定位。

5.5.1.2　工控组态软件

组态软件是为微机控制系统监控层级提供软件平台和开发环境的专用软件，能以灵活多样的组态方式（而不是编程方式）提供良好的用户开发界面和简捷的使用方法，其预设置的各种软件模块可以容易地实现和完成监控层的各项功能，并能同时支持各种硬件厂家的计算机和I/O设备，与高可靠的工控计算机和网络系统结合，可向控制层和管理层提供软、硬件的全部接口，进行系统集成。目前世界上有不少专业厂商（包括专业软件公司和硬件系统厂商）生产和提供各种组态软件产品，如：WinCC， Citech， Intouch， MCGS， 力控等。

5.5.2　基于单片机的微机控制系统

所谓单片机（single chip microcomputer），是指在一块芯片中集成有中央处理器（CPU）、存储器（RAM和ROM）、基本I/O接口以及定时器/计数器等部件，并具有独立指令系统的智能器件，即在一块芯片上实现一台微型计算机的基本功能。单片机也称为微型控制器，是专为实时控制而设计制造的芯片，它将微处理器、存储器、I/O接口、定时器、中断源、串行通信接口等集成在一块芯片内，集成度高，工作可靠。这种芯片多采用低功耗高速CMOS工艺。如果是简单控制对象，只需利用单片机作为控制核心，不需另外增加外部设备就能完成。对于较复杂的系统，只需对单片机进行适当扩展即可，十分方便。

主要单片机类型： MSP430；SPMC75；PIC系列； AT89S51系列等。由于单片机系统小巧玲珑，控制功能强、体积小，便于嵌入被控设备之内，大大推动了产品的智能化。如数控机床、机器人、智能仪器仪表、洗衣机、电冰箱、电视机等都是典型的机电一体化设备和产品。典型的基于单片机的微机控制系统如图22-5-20所示。

5.5.3　基于可编程控制器的微机控制系统

可编程控制器（programmable controller，简称PC），也可称之为可编程逻辑控制器（programmable logic controller，简称PLC），是一种专为工业环境应用而设计的计算机控制器。它具有可靠性高、编程灵活简单、易于扩展和价格低廉等许多优点。随着PLC的发展，它除了具有逻辑运算、逻辑判断等功能外，还具有数据处理、故障自诊断、PID运算及网络等功能，不仅能处理开关量，而且还能够实现模拟量的控制，多台PLC之间可方便地进行通讯与联网。目前从单机自动化到工厂自动化，从柔性制造系统、机器人到工业局部网络都可以见到PLC的成功应用。

PLC的基本结构框图如图22-5-21所示。PLC主要组成有：输入部件；输出部件；中央处理器（CPU）；存储器及存储器扩展；通信接口；智能I/O接口；I/O扩展接口；功能开关与指示灯；编程器。

基于PLC的微机控制系统一般设计步骤见图22-5-22。