2.3　液体动力学

本节主要讨论液体流动时的运动规律、能量转换和流动液体对固体壁面的作用力等问题，具体要介绍液体流动时的三大基本方程，即连续性方程、伯努利方程（能量方程）和动量方程。这三大方程对解决液压技术中有关液体流动的各种问题极为重要。

2.3.1　基本概念

1）流场

从数学上我们知道，如果某一空间中的任一点都有一个确定的量与之对应，则这个空间就叫作“场”。现在假定在我们所研究的空间内充满运动着的流体，那么每一个空间点上都有流体质点的运动速度、加速度等运动要素与之对应。这样一个被运动流体所充满的空间就叫作“流场”。

2）运动要素、定常流动和非定常流动（恒定流动和非恒定流动）、一维流动、二维流动、三维流动

（1）运动要素

运动要素是用来描写流体运动状态的各个物理量，如速度u、加速度a、位移s、压力p等。

流场中运动要素是空间点在流场中的位置和时间的函数，即u（x，y，z，t）、a（x，y，z，t）、s（x，y，z，t）、p（x，y，z，t）等。

（2）定常流动和非定常流动（恒定流动和非恒定流动）

如果在一个流场中，各点的运动要素均与时间无关，即

====…=0

这时的流动称为定常流动（恒定流动），否则称为非定常流动（非恒定流动）。

（3）一维流动、二维流动、三维流动

一维流动：流场中各运动要素均随一个坐标和时间变化。

二维流动：流场中各运动要素均随两个坐标和时间变化。

三维流动：流场中各运动要素均随三个坐标和时间变化。

3）迹线和流线

（1）迹线

迹线是指流体质点的运动轨迹。

（2）流线

流线是用来表示某一瞬时一群流体质点的流速方向的曲线。即流线是一条空间曲线，其上各点处的瞬时流速方向与该点的切线方向重合，如图2.9所示。根据流线的定义，可以看出流线具有以下性质。

① 除速度等于零点外，过流场内的一点不能同时有两条不相重合的流线。即在零点以外，两条流线不能相交。

② 对于定常流动，流线和迹线是一致的。

③ 流线只能是一条光滑的曲线，而不能是折线。

4）流管和流束

（1）流管

在流场中经过一封闭曲线上各点作流线所组成的管状曲面称为流管。由流线的性质可知：流体不能穿过流管表面，而只能在流管内部或外部流动，如图2.10所示。

（2）流束

过空间一封闭曲线围成曲面上各点作流线所组成的流线束称为流束，如图2.11所示。

5）过流断面、流量和平均流速

（1）过流断面

过流断面是流束的一个横断面，在这个断面上所有各点的流线均在此点与这个断面正交，即过流断面就是流束的垂直横断面。过流断面可能是平面，也可能是曲面，如图2.12所示，A和B均为过流断面。

（2）流量

单位时间内流过过流断面的流体体积和质量称为体积流量和质量流量。在流体力学中，一般把体积流量简称为流量（图2.13）。流量在国际单位制中的单位为m³/s，在工程上的单位为L/min。

　　 （2.17）

（3）平均流速

流量q与过流断面面积A的比值，叫作这个过流断面上的平均流速（图2.13），即

　　 （2.18）

用平均流速代替实际流速，只在计算流量时是合理而精确的，在计算其他物理量时就可能产生误差。

6）流动液体的压力

静止液体内任意点处的压力在各个方向上都是相等的，可是在流动液体内，由于惯性力和黏性力的影响，任意点处在各个方向上的压力并不相等，但在数值上相差甚微。当惯性力很小且把液体当作理想液体时，流动液体内任意点处的压力在各个方向上的数值仍可以看作是相等的。

2.3.2　连续性方程

根据质量守恒定律和连续性假定，来建立运动要素之间的运动学联系。

设在流动的液体中取一控制体积V，如图2.14所示，其密度为ρ，则其内部的质量m=ρV。单位时间内流入、流出的质量流量分别为q_m1、q_m2。根据质量守恒定律，经dt时间，流入、流出控制体积的净质量应等于控制体积内质量的变化，即

（q_m1-q_m2）dt=dm

q_m1-q_m2=

而

q_m1=ρ₁q₁；q_m2=ρ₂q₂；m=ρV

故

　　 （2.19）

这就是液体流动时的连续性方程。其中V是控制体积中液体因压力变化引起密度变化而增补的质量；ρ是因控制体积的变化而增补的液体质量。

在液压传动中经常遇到的是一维流动的情况，下面我们就来研究一下一维定常流动时的连续性方程。

如图2.15所示，液体在不等截面的管道内流动，取截面1和2之间的管道部分为控制体积。设截面1和2的面积分别为A₁和A₂，平均流速分别为v₁和v₂。在这里，控制体积不随时间而变，即=0；定常流动时=0。于是有：

ρ₁q₁-ρ₂q₂=0

即

　　 （2.20）

亦即　　　　　ρAv=const（常数）

对于不可压缩性流体ρ=const，则有：

　　 （2.21）

即　　　　　　q=Av=const（常数）

这就是液体一维定常流动时的连续性方程。它说明流过各截面的不可压缩性流体的流量是相等的，而液流的流速和管道流通截面的大小成反比。

2.3.3　伯努利方程

伯努利方程表明了液体流动时的能量关系，是能量守恒定律在流动液体中的具体体现。

要说明流动液体的能量问题，必须先说明液流的受力平衡方程，亦即它的运动微分方程。由于问题比较复杂，我们先进行几点假定：

① 流体沿微小流束流动。所谓微小流束是指流束的过流面面积非常小，我们可以把这个流束看成一条流线。这时流体的运动速度和压力只沿流束改变，在过流断面上可认为是一个常值。

② 流体是理想不可压缩的。

③ 流动是定常的。

④ 作用在流体上的质量力是有势的（所谓有势就是存在力势函数W，使得=X；=Y；=Z存在，而我们所研究的是质量力只有重力的情况）。

1）理想流体的运动微分方程

某一瞬时t，在流场的微小流束中取出一段流通面积为dA、长度为ds的微元体积dV，dV=dAds。流体沿微小流束的流动可以看作是一维流动，其上各点的流速和压力只随s和t变化，即u=u（s，t），p=p（s，t）。对理想流体来说，作用在微元体上的外力有以下两种。

（1）压力在两端截面上所产生的作用力（截面1上的压力为p，则截面2上的压力为p+ds）

（2）质量力只有重力

mg=（ρdAds）g

根据牛顿第二定律有：

　　 （2.22）

其中：

cosθ=dz/ds=

代入式（2.22）得：

即

　　 （2.23）

这就是理想流体在微小流束上的运动微分方程，也称为欧拉方程。

2）理想流体微小流束定常流动的伯努利方程

要在图2.16所示的微小流束上，寻找它各处的能量关系。将运动微分方程的两边同乘ds，并从流线s上的截面1积分到截面2，即：

　　　　

上式两边各除以g，移项后整理得：

　　 （2.24）

对于定常流动来说：

=0

故式（2.24）变为：

　　 （2.25）

即

　　 （2.26）

这就是理想流体在微小流束上定常流动时的伯努利方程。下面我们来看看这个方程的物理意义。

z表示单位重量流体所具有的势能（比位能）。

p/ρg表示单位重量流体所具有的压力能（比压能）。

u²/2g表示单位重量流体所具有的动能（比动能）。

理想流体定常流动时，流束任意截面处的总能量均由位能、压力能和动能组成。三者之和为定值，这正是能量守恒定律的体现。

3）理想流体总流定常流动的伯努利方程

（1）对流动的进一步简化

总流的过流断面较大，p、v等运动要素是在断面上位置的分布函数。为了克服这个困难，需对流动做进一步的简化。

① 缓变流动和急变流动　满足下面条件的流动称为缓变流动：在某一过流断面附近，流线之间夹角很小，即流线近乎平行；在同一过流断面上，所有流线的曲率半径都很大，即流线近乎是一些直线。

也就是说，如果流束的流线在某一过流断面附近是一组“近乎平行的直线”，则流动在这个过流断面上是缓变的。如果在各断面上均符合缓变的条件，则说明流体在整个流束上是缓变的。

不满足上述条件的流动称为急变流动。

在图2.17所示的流束中，1、2、3断面处是缓变流动。液体在缓变过流断面上流动时，惯性力很小，满足z+=const，即符合静力学的压力分布规律。

② 动量和动能修正系数　由前面可知，用平均流速v写出的流量和用真实流速u写出的流量是相等的，但用平均流速写出其他与速度有关的物理量时，则与其实际的值不一定相同。为此我们引入一个修正系数来加以修正。

例如用平均流速写出的动量是：

mv=（ρAvdt）v=ρAv²dt

而真实动量为：

因此动量修正系数β为：真实动量与用平均流速写出的动量的比值。

即

　　 （2.27）

同样动能修正系数α为：真实动能与用平均流速写出的动能的比值。

即

　　 （2.28）

α和β是由速度在过流断面上分布的不均性所引起的大于1的系数。其值通常是由实验来确定，而在一般情况下，常取为1。

（2）理想流体总流定常流动的伯努利方程

液体沿图2.18所示流束作定常流动，并假定在1、2两断面上的流动是缓变的。设过流断面1的面积为A₁，过流断面2的面积为A₂。在总流中任取一个微小流束，过流面积分别为dA₁和dA₂；压力分别为p₁和p₂；流速分别为u₁和u₂；断面中心的几何高度分别为z₁和z₂。对这个微小流束可列出伯努利方程和连续性方程：

因此：

由于在A₁和A₂中dA₁和dA₂是一一对应的，因此上式两端分别在A₁和A₂上积分后，仍然相等，即

　　 （2.29）

因流动在1、2断面上是缓变的，故z+p/ρg=const。同时考虑到动能修正系数，并令A₁上的动能修正系数为α₁，A₂上的动能修正系数为α₂，则有：

　　 （2.30）

消去流量q得：

　　 （2.31）

此即为理想流体总流定常流动的伯努利方程。

4）实际流体的伯努利方程

实际流体的伯努利方程变为：

　　 （2.32）

其适用条件与理想流体的伯努利方程相同，不同的是多了一项h_ω，它表示两断面间的单位能量损失。h_ω为长度量纲，单位是m。

如果在上式两端同乘ρg，则方程变为：

　　 （2.33）

式中，ρgh_ω=Δp表示两断面间的压力损失。

在液压系统中，油管的高度z一般不超过10m，管内油液的平均流速也较低，除局部油路外，一般不超过7m/s。因此油液的位能和动能相对于压力能来说微不足道。例如设一个液压系统的工作压力为p=5MPa，油管高度z=10m，管内油液的平均流速v=7m/s，则压力能p=5MPa；动能p_v=（1/2）ρv²=0.022MPa；位能p_z=ρgz=0.09MPa。可见，在液压系统中，压力能要比动能和位能之和大得多。所以在液压传动中，动能和位能忽略不计，主要依靠压力能来做功，这就是“液压传动”这个名称的来由。据此，伯努利方程在液压传动中的应用形式就是p₁=p₂+Δp或p₁-p₂=Δp。

由此可见，液压系统中的能量损失表现为压力损失或压力降Δp。

5）伯努利方程的应用

（1）应用条件

① 流体流动必须是定常的。

② 所取的有效断面必须符合缓变流动条件。

③ 流体流动沿程流量不变。

④ 适用于不可压缩性流体的流动。

⑤ 在所讨论的两有效断面间必须没有能量的输入或输出。

（2）应用实例

例2.5　计算图2.19所示的液压泵吸油口处的真空度。

解　对油箱液面1—1和泵吸油口截面2—2列伯努利方程，则有：

如图2.19所示油箱液面与大气接触，故p₁为大气压力，即p₁=p_a；v₁为油箱液面下降速度，v₂为泵吸油口处液体的流速，它等于液体在吸油管内的流速，由于v₁≪v₂，故v₁可近似为零；z₁=0，z₂=h；Δp_ω为吸油管路的能量损失。因此，上式可简化为：

所以泵吸油口处的真空度为：

由此可见，液压泵吸油口处的真空度由三部分组成：把油液提升到高度h所需的压力，将静止液体加速到v₂所需的压力，吸油管路的压力损失。

2.3.4　动量方程

由理论力学知道，任意质点系运动时，其动量对时间的变化率等于作用在该质点系上全部外力的合力。

我们用矢量表示质点系的动量，而用∑F_i表示外力的合力，则有：

　　 （2.34）

现在我们考虑理想流体沿流束的定常流动。如图2.20所示，设流束段1-2经dt时间运动到1'-2'，由于流动是定常的，因此流束段1'-2在dt时间内在空间的位置、形状等运动要素都没有改变。故经dt时间，流束段1-2的动量改变为：

　　 （2.35）

而

同理：

故

式中，β₁和β₂为断面1和2上的动量修正系数。

于是得到：

　　 （2.36）

式中，∑是作用在该流束段上所有质量力和所有表面力之和。

式（2.36）即为理想流体定常流动的动量方程。此式为矢量形式，在使用时应将其化成标量形式（投影形式）：

　　 （2.37）

　　 （2.38）

　　 （2.39）

注：由1断面指向2断面的力取为“+”，由2断面指向1断面的力取为“-”。

例2.6　求图2.21中滑阀阀芯所受的轴向稳态液动力。

解　取阀进出口之间的液体为研究体积，阀芯对液体的作用力为F_x，方向向左，则根据动量方程得：

取β₂=1，得：

F_x=-ρqv₂cosθ

而阀芯所受的轴向稳态液动力为：

F'_x=-F_x=ρqv₂cosθ

方向向右。即这时液流有一个试图使阀口关闭的力。

例2.7　如图2.22所示，已知喷嘴挡板式伺服阀中工作介质为海水，其密度ρ=1000kg/m³，若中间室直径d₁=3×10^-3m，喷嘴直径d₂=5×10^-4m，流量q=π×4.5×10^-6m³/s，动能修正系数与动量修正系数均取为1。试求：

① 不计损失时，系统向该伺服阀提供的压力p₁。

② 作用于挡板上的垂直作用力。

解　① 根据连续性方程有：

根据伯努利方程有（用相对压力列伯努利方程）：

② 取喷嘴与挡板之间的液体为研究对象列动量方程有：

ρq（0-v₂）=F

F=ρqv₂=（1000×π×4.5×10^-6×72）N=1.02N

式中，F为挡板对水的作用力，水对挡板的作用力为其反力（大小相等方向相反）。