2.1　角系数及黑体表面间辐射换热

图2-1为任意放置的两个黑体表面之间的辐射换热。设两表面分别为F₁和F₂，温度为T₁和T₂，表面辐射出的能量只有一部分落到另一个表面上，其余部分则落到体系外的空间。笔者把表面1发出的辐射能落到表面2上的百分数称为表面1对表面2的角系数，记为X_1.2，同理表面2对表面1的角系数为X_2.1。单位时间从表面1发出而落到表面2的辐射能为E_b1F₁X_1.2，而单位时间从表面2落到表面1的辐射能为E_b2F₂X_2.1。因两表面为黑体，所以落到表面上的能量分别全被吸收，于是两者之间的净换热为：

图2-1　任意放置的两个黑体表面之间的辐射换热

Q_1.2=E_b1F₁X_1.2-E_b2F₂X_2.1　　　（2-1）

当热平衡时，T₁=T₂，净换热量Q_1.2=0，而E_b1=E_b2。由式（2-1）可得：

F₁X_1.2=F₂X_2.1　　　（2-2）

此式即为两个表面在辐射换热时角系数的相对性。尽管上述关系是在热平衡条件下得出的，但从物理概念上看，角系数纯属几何因子，它只取决于换热物体的几何特性（形状、尺寸及物体的相对位置），而与物体的物质及温度等条件无关，所以对非黑体表面及处于不平衡条件下的情况，式（2-2）亦同样适用。因而两黑体表面间的辐射换热为：

Q_1.2=F₁X_1.2（E_b1-E_b2）=F₂X_2.1（E_b1-E_b2）　（W）　　　（2-3）

由式（2-3）可知，在具体问题的计算中只要能求出角系数，则黑体的辐射换热即可算出，因而角系数的计算十分关键。下面求解角系数。

对于黑体和灰体，即服从兰贝特余弦定律的漫辐射表面，均可严格地推导出角系数的数学表达式，见图2-2。有两个微元体的表面积各为dF₁及dF₂，相距为r，中点连线和法线n₁、n₂的夹角为φ₁和φ₂，这两个夹角不一定在一个平面上。根据兰贝特定律，dF₁投射到dF₂微面上的辐射热流为：

图2-2　角系数图解理论　

dQ_1.2=dF₁cosφ₁dω₁　　　（2-4）

式中，法向辐射强度服从兰贝特定律，即将E_b=I_bπ代入式（2-4）中得：

　　　（2-5）

同理，微元dF₂投射到dF₁上的辐射热流为：

　　（2-6）

微元立体角dω₁及dω₂按定义可表达为：

　　　

代入式（2-5）、式（2-6）中得：

　　　（2-7）

　　　　（2-8）

互相辐射的结果构成净辐射换热的热流为：

　　　

对于两个有限的灰体表面F₁和F₂来说，则将上式积分得如下表达式：

　

引进角系数X_1.2则为：

　　　（2-9）

或　　　

由式（2-3）得知：X_1.2F₁=X_2.1F₂　　　（2-10）

由式（2-9）与式（2-10）可知，如按同样的比例缩小或放大F₁和F₂，只要保持空间的几何相似，即两个表面的相对位置、相对大小不变，角系数（无量纲）X_1.2或X_2.1也不会改变，据此，绘成了角系数图，两种典型几何体表面间的角系数见图2-3与图2-4。更多的线算图资料见参考文献。为说明角系数算图的用法，见例题1和例题2。

图2-3　平行长方形表面间的角系数

图2-4　相互垂直的两长方形表面间的角系数

【例1】　有2个相互平行的黑体长方形表面，其尺寸为1m×2m，相距1m。若两个表面的温度分别为727℃与227℃，试计算表面之间的辐射换热量。

解：首先要确定两表面间的角系数。在使用图2-3角系数计算图时，必须计算出如下的无量纲参数：X/D=2/1=2.0，Y/D=1/1=1.0

由图2-3查得角系数X_1.2=0.285，两个黑体表面之间的辐射换热量用式（2-3）计算：

Q_1.2=F₁X_2.1（E_b1-E_b2）=F₁X_1.2C₀　　　

　=2×0.285×5.67×=30.3（kW）

【例2】例1中只将相距1m改为0.5m，试计算两表面之间的辐射换热量。

解：角系数X/D=2/0.5=4，Y/D=1/0.5=2，查图2-3得X_1.2=0.51，则：

Q_1.2=30.3×（0.51÷0.285）=54.2（kW）　　　

辐射表面距离从1m降为0.5m后辐射换热Q_1.2的角系数增加1.79（0.51÷0.285）倍。可见高温定向辐射并减小辐射表面间的距离是强化辐射换热的手段之一。由角系数公式（2-9）可说明这一问题。