3.3　颗粒粒径分布

3.3.1　粒径

粒径（particle diameter）是表征颗粒大小的代表性尺寸。对球形颗粒，粒径是指它的直径。实际颗粒形状大多是不规则的，此时用来衡量其大小的“粒径”往往有不同的含义。同一颗粒按不同的测定方法和定义所得的粒径，数值不同，应用场合也不同。因此，使用颗粒粒径时，必须了解所采用的测定方法。例如，用显微镜法测定时，有定向粒径、定向面积等分粒径和投影面积粒径等；用重力沉降法测出的粒径有斯托克斯粒径或空气动力直径；用光散射法测定时，粒径为体积粒径；用筛分法测定时，粒径为筛分直径。选取粒径测定方法除需考虑方法本身的精度、操作难易程度及费用等因素外，还应注意测定的目的和应用场合。

颗粒粒径是选用净化工艺、确定净化设备的基础。在颗粒污染物净化技术中，常用的颗粒粒径有筛分粒径、斯托克斯直径、空气动力直径等，现作如下介绍。

3.3.1.1　筛分粒径

筛分就是用单层或多层的带孔筛面，将粒度大小不同的混合物料分成若干个粒度级别的作业过程。筛分粒径是用标准筛进行筛分法测定时得到的颗粒物大小，是颗粒物能够通过的最小筛孔尺寸。

筛孔尺寸与筛孔目数存在一一对应关系。筛孔目数是指每平方英寸（1英寸为2.54cm）上的开孔数目。目数越大，筛孔内径越小，表示筛分通过的颗粒越细。由于存在开孔率的问题，不同国家每平方英寸上开孔数目对应的筛孔尺寸不一样，目前存在美国、英国和日本三种标准，其中英国和美国标准相近，与日本的差别较大。我国目前使用的是美国标准，筛孔内径（μm）×筛孔目数=15000。颗粒粒径与目数的对应关系如表3-5所示。

3.3.1.2　空气动力直径

学术界和工程界引入“等效球直径”（equivalent spherical diameter，ESD），用来描述非球形物体的“大小”，其值等于与非球形物体有相同性质（空气力学、水力学、光学、电学）的球体直径。

在同一气流中，受重力作用，与被测颗粒的密度相同、终沉降速度相等的圆球的直径，称之为“斯托克斯直径”（stokes diameter，d_st）。在非紊流区内，斯托克斯直径可以通过斯托克斯定律计算得到，相关内容在3.4节详细阐述。

如果被测颗粒终末沉降速度与单位密度（密度值为1000kg/m³）的圆球终沉降速度相等，则这个圆球的直径被称之为“空气动力学当量直径”（air aerodynamic diameter，d_a），简称“空气动力直径”。空气动力直径与斯托克斯直径之间的关系可以用式（3.2）表示：

　　（3.2）

式中，ρ_p为颗粒密度，kg/m³。

表3-6给出了一些常用的颗粒粒径定义及其计算公式。

3.3.2　粒径分布

粒径分布（particle size distribution）又称分散度，是指不同粒径颗粒在全体颗粒中所占百分数。按计量方法不同，分为计数分布和计重分布。以颗粒的个数所占的比例表示时，称为个数分布；以颗粒的质量表示时，则称为质量分布。由于目前我国颗粒污染物排放标准、烟尘浓度测试方法多采用计重法，除尘器性能分析和计算也涉及颗粒的质量和受力，因此除尘技术常用质量分布。

粒径分布有区间分布（频率分布）和累积分布（积分分布）两种形式。区间分布表示一系列粒径区间的颗粒百分含量，累积分布表示小于或大于某粒径的颗粒百分含量。两种分布的表示方法有列表法、图示法和函数法3种，其中列表法最简单、最常用。下面以列表法来说明颗粒物粒径分布的表达方法和相应的意义。

按粒径间隔给出的个数分布数据列于表3-7。其中，n_i为每一间隔测得的颗粒个数，N=∑n_i为颗粒的总个数（本例中N=1000个）。据此可以给出颗粒个数分布直方图（图3-2）。

3.3.2.1　个数频率

个数频率f_i为第i间隔的颗粒个数n_i与颗粒总个数∑n_i之比，即

　　（3.3）

并有∑f_i=1。

3.3.2.2　个数筛下累积频率

小于第i间隔上限粒径的所有颗粒个数与颗粒总个数∑n_i之比，称为个数筛下累积频率F_i，即

　　（3.4）

个数筛下累积频率与个数频率之间的关系为：，并有。

相应地，大于第i间隔上限粒径的所有颗粒个数与颗粒总个数之比为个数筛上累积频率。根据计算出的各级个数筛下累积频率分布F_i值对应各级上限粒径d_p，可得个数筛下累积频率分布曲线图（图3-3）。由累积频率曲线可以求出任一粒径间隔的频率f值。

3.3.2.3　个数频率密度

频率密度为单位粒径间隔（即1μm）时的频率，简称频度，单位为μm^-1。

显然，个数频率密度表示式为：

　　（3.5）

根据表3-7的数据，计算每一间隔的平均频率密度=ΔF_i/Δ，按值对粒径间隔中值作出个数频率密度分布曲线（图3-4）。

对式（3.5）积分，得到：

　　（3.6）

粒径a和粒径b间隔的频率、个数筛下累积频率、个数频率密度之间的关系为：

　　（3.7）

由图3-4可知，个数频率密度有最大值，这个值对应的粒径称为众径d_d。个数筛下累积频率F=0.5时对应的粒径d₅₀称为个数中位粒径（NMD）。

3.3.2.4　质量分布

对于同质颗粒物，密度相同，颗粒质量与其粒径的立方成正比。因此，以颗粒个数给出的粒径分布数据，可以转换为以颗粒质量表示的粒径分布数据。类似个数分布，颗粒可以按质量分级得出相应的质量频率、质量筛下累积频率和质量频率密度定义式。

第i级颗粒发生的质量频率：

　　（3.8）

小于第i间隔上限粒径的所有颗粒发生的质量频率，即质量筛下累积频率：

　　（3.9）

并有。

质量频率密度：

　　（3.10）

因此，得到：

　　（3.11）

例3.1　对某一颗粒进行实验测定，得表3-8数据。试绘出该颗粒质量频率分布、质量筛下累积分布和质量频率密度分布曲线。

解：①质量频率分布g。以粒径0～5μm和5～10μm为例：

m₀=9+28+66+121+174+198+174+174+121+28+9=1102（g）

g_0～5=Δm/m₀×100%=9/1102×100%=0.8%

g_5～10=Δm/m₀×100%=28/1102×100%=2.5%

依此类推可求出其他粒径间隔下的质量频率分布，见表3-9和图3-5。

②质量筛下累积分布G。由G=∑g，计算得：

同理，求出其他粒径间隔下的质量筛下累积分布，见表3-9。

③质量筛上累积分布R和质量频率密度分布q。由R=1-G，得：

同理，求出其他粒径间隔下的质量筛下累积分布和质量频率密度分布，见表3-9和图3-6、图3-7。

3.3.3　颗粒群平均粒径

颗粒是由不同粒径的颗粒所组成的群集合。常采用代表颗粒群特征的平均粒径，表示颗粒群的某一物理特征。对于由不同粒径的颗粒所组成的实际颗粒群，以及由尺寸相同的圆球颗粒所组成的假想颗粒群，如果它们具有某一相同的物理特征，则称此圆球颗粒的直径为实际颗粒群的平均粒径。

颗粒群的特征包括个数、长度、表面积、体积和质量等，据此可以定义出代表颗粒群不同特征的平均粒径，见表3-10。表中i表示将颗粒群按粒径大小顺序分成i个间隔，d_i为第i间隔的代表粒径，n_i、L_i、S_i、V_i和m_i分别为粒径为d_i的颗粒的个数、长度、表面积、体积和质量。除上述平均粒径外，在研究颗粒群粒径分布特性中，还将用到几何平均粒径、众径和中位径等。

3.3.4　颗粒粒径分布函数

颗粒物粒径分布的频率密度（p或q）曲线大致呈钟形，累积频率（R）曲线大致呈“S”形。因此，可以找到一些简单的方程式来描述这些分布曲线。这些方程式既可以用q对d_p，也可用R对d_p的函数形式给出。常用的有正态分布函数、对数正态分布函数、罗辛-拉姆勒（Rosin-Rammler）分布函数等。

3.3.4.1　正态分布

正态分布也称高斯（Gauss）分布，频率密度q和累积频率R的函数形式为：

　　（3.12）

　　（3.13）

式中，为算数平均粒径；σ_g为标准差。它们的定义分别为：

　　（3.14）

　　（3.15）

如图3-8所示，正态分布的频率密度q分布曲线是关于算术平均粒径的对称性钟形曲线，此时值与中位粒径d₅₀和众粒径d_d均相等。它的累积频率R曲线在正态概率坐标纸上为一条直线，其斜率决定于标准差σ_g值。从R曲线图中可以查出，对应于R=15.87%的粒径d_15.87，R=84.13%的粒径d_84.13，以及R=50%的中位径d₅₀，则可以按下式计算出标准差：

　　（3-16）

实际颗粒物粒径呈正态分布的很少，大多数颗粒物的频率密度q曲线不是关于平均粒径的对称性曲线，而是向大颗粒方向偏移。正态分布函数可以用于描述单分散的实验颗粒、某些花粉和孢子以及专门制备的聚苯乙烯乳胶球。

3.3.4.2　对数正态分布

大多数颗粒物（如空气中的尘和雾）的粒径分布在直线坐标中是偏态的，如图3-9所示。若将横坐标用对数表示，可以转化为近似正态分布的对称性钟形曲线，称为对数正态分布。将对数lnd_p代替式（3.12）粒径d_p、lnσ_g代替式（3.13）标准差σ_g，得到对数正态分布函数为：

　　（3.17）

此时，频率密度q为：

　　（3.18）

式中，d_g为几何中位粒径，σ_g为几何标准差，它们的定义分别为：

　　（3.19）

　　（3.20）

对数分布函数的一个重要特性是，如果某颗粒的粒径分布符合对数正态分布，则以颗粒的个数或质量或表面积表示的粒径分布，都符合对数正态分布，并且具有相同的几何标准差σ_g。因此，它们的累积频率曲线绘在对数概率坐标纸上为相互平行的直线，只是沿着粒径坐标方向平移了一段常量距离，如图3-10所示。这一常量值用各种中位粒径确定最为方便。质量中位粒径和表面积中位粒径与个数中位粒径（NMD）的换算关系如下。

质量中位粒径（MMD）：

　　（3.21）

表面积中位粒径（SMD）：

　　（3.22）

各种中位粒径大小的顺序是：MMD>SMD>NMD。

3.3.4.3　罗辛-拉姆勒分布（R-R 分布）

尽管对数正态分布函数在解析上比较方便，但是对破碎、碾磨、筛分过程产生的细颗粒及粒径分布很散的颗粒物，常有不吻合的情况。这时可以采用适用范围更广的罗辛-拉姆勒（Rosin-Rambler）分布函数，简称R-R分布函数。

质量筛上累积频率R：

　　（3.23）

式中，α为分布指数；β为分布系数。

将质量中位粒径d₅₀（R=50%）代入式（3.23），可得：

　　（3.24）

对式（3.23）移项、取两次对数，得：

　　（3.25）

判断颗粒粒径分布是否符合R-R分布，可用式（3.25）验证。在双对数坐标上，用ln（1/R）对d_p作图，若是一条直线，则说明粒径分布数据符合R-R分布。如图3-11，可由直线的斜率和截距求得α、β。

例3-2　颗粒粒径分析结果如表3-11，试求其分布函数及粒径分别为1μm、5μm、10μm、20μm、40μm的筛上累积频率。

解：将表中数据标注于R-R坐标图上，各点成直线AB（图3-12），说明该颗粒物粒径分布符合R-R分布规律。

坐标点原点画直线AB的平行线交于边缘指数β的标尺，得β=1.86。再由图查得d₅₀=12μm。将β和d₅₀的数值代入分布函数：

　　（3.26）

由上式可算出，或按图查出：R₁=0.993，R₅=0.873，R₁₀=0.611，R₂₀=0.167，R₄₀=0.15%。