2.3　单自由度系统相平面及稳定性

单自由度非线性系统振动的定性研究经常用图解法，其中相平面法是常用的方法。在平面图上作出系统的运动速度和位移的关系，称相轨迹，以此了解系统可能发生的运动的总情况。例如，对于自治系统，非线性单自由度系统的微分方程式可普遍写作：

令 　　

上式可化为： 　　

而 　　

两式相除，得： 　　

积分后，即为以x，y为坐标的相平面图上，由初始条件（x₀，y₀）开始画出的等倾线（以斜率m为参数）族，是作相平面图的方法之一。

说明：对保守系统，机械能守恒，相平面上是一条封闭的曲线。由起点（x₀，y₀）开始，经一周又回到该点。不同的起点（x₀，y₀）相平面上则是另一条封闭的曲线，各曲线互不相交。

对非保守系统也可能存在封闭轨线，这种封闭轨线也代表一种周期解，但与保守系统的封闭轨线有很大的不同。①其总机械能并不守恒，它既吸能又耗散能量，总机械能在不断变化，只不过经过一周后，能量“收支”平衡，系统的状态变量返回原状，然后再开始下一个周期的运动。②有极限环存在。

极限环分稳定的与不稳定的两种。如图19-4-2所示，图中以实线表示的极限环是稳定的。初始条件在一定范围内变化，如图中最外面的点，最终会回到极限环的运动轨迹上来。称“吸引”或“俘获”。

图19-4-2　极限环

以虚线表示的极限环是不稳定的。此时原点是一个平衡点，如果扰动不超过虚线环所规定的阀限，系统可以稳定在其中心平衡点上，一旦越过这一阀值，则激起增幅振动，最后振动被稳定在外层的实线环上。

单自由度系统相平面及稳定性的几种主要情况见表19-4-11。

表19-4-11　单自由度系统相平面及稳定性