1.4 损失分布法下操作风险度量

损失分布法（loss distribution approach, LDA）源自保险精算模型。2001年，巴塞尔委员会咨询文件提出了应用损失分布法度量操作风险的基本思想，认为损失分布法是指在操作损失事件的损失频率和损失强度的有关假设基础上，对产品线/损失事件类型矩阵中的每一类操作损失的损失频率分布和损失强度分布分别进行估计，并复合成复合分布，从而计算出某一时期一定置信度α下，该类型操作损失复合分布的操作风险价值［the Operational VaR, OpVaR（α）］的方法。进一步地，Frachot等（2001）对在损失分布法应用于操作风险度量时所存在的理论问题进行了系统研究。下面简单介绍损失分布法的基本原理。

新巴塞尔协议将银行产品线i分为8条，每条产品线下有7类损失事件j，因此，产品线与损失类型进行组合（i, j）后形成56个操作损失类型。某一组合（i, j）的操作损失为

S（i, j）＝X1+X2+… + XN

式中：N为第i条产品线与第j类风险组合（i, j）的操作风险在特定时期t内的损失频数；X为损失强度；S（i, j）为该产品线在特定时期t内的总损失金额。

一般地，操作损失频数分布pt（·）可能为Poisson分布或者负二项分布；操作损失强度分布F（·）为连续分布，可能为对数正态分布、Weibull分布、广义Pareto分布等。

在损失分布法下，银行根据每一组合（i, j）的损失样本，估计出损失强度分布F（·）和损失频数分布pt（·），复合为该组合（i, j）的总量分布Gt（x）：

式中，x为损失强度；n为损失频数；t为操作风险度量的目标期间；F*n（·）为损失强度分布函数的卷积。

根据式（1－1），预期损失EL（i, j）为

在置信度α下，非预期损失UL（i, j, α）为

如果银行表明在内部业务实践中能准确计算出预期损失，且说服所在国监管当局，自己已计算并包括了预期损失，那么监管资本可仅以非预期损失计提：

CaR（i, j, α）＝UL（i, j, α）

否则，银行必须通过加总预期损失（EL）和非预期损失（UL）得出监管资本，即

若银行能够详细说明各组合间的相关性，则可根据有关公式计算考虑相关性后的监管资本总量；否则，须直接加总所有组合（i, j）的监管资本，作为银行监管资本总量。

从巴塞尔委员会2004年的调查报告看，损失分布法是业界用于操作风险度量的主要方法。实际上，从操作风险引起关注开始，该方法就成为理论界研究的热点之一。在损失分布法下，由式（1－1）可知，度量操作风险的操作损失分布为由损失强度分布Fi, j和损失频数分布p（i, j）复合而成的复合分布函数Gi, j。

操作损失频数分布pt（·）为离散分布，可能为Poisson分布或者负二项分布。根据操作损失发生频数的特性，操作损失频数分布pΔt（·）可以用Poisson分布来拟合，但是该分布不能反映样本超离散性，负二项分布却提供了较好的解决途径。Gourier和Farkas等（2009）实证研究发现当置信度为99.9%时，两分布下监管资本的差异非常小，负二项分布下的监管资本比Poisson分布下多大约5%，但是存在监管资本高估问题。Fengge和Hongmei等（2012）也发现Poisson分布能较好地拟合操作损失频数分布。

操作损失强度分布 F（·）为连续分布，可能的分布有对数正态分布、Weibull分布、Pareto分布等。根据BASELⅡ操作风险高级计量法的稳健标准规定：“银行必须表明所采用的方法考虑到了潜在较严重的概率分布 ‘尾部’损失事件。无论采用哪种方法，银行必须表明，操作风险计量方式符合与信用风险IRB法相当的稳健标准（例如，相当于IRB法，持有期1年，99.9%置信区间）。”可见，监管资本是操作风险尾部风险度量结果。大量实证研究结果都表明操作风险具有显著重尾性。可见，在高置信度（99.9%）下，度量监管资本的操作损失强度分布主要为具有重尾性的极值模型。一般地，在损失分布法下，实证研究主要根据操作损失强度分布特性来判别操作风险重尾性。因此，损失分布法下操作风险监管资本度量实证研究的主要对象为操作损失强度分布模型：具有重尾性的极值模型。

操作损失强度一般可分为三类：一般损失、巨大损失和极端损失。从操作损失发生的频数看，一般损失发生损失频数最大，巨大损失次之，极端损失最小。但是，相对于正态分布而言，操作损失强度分布极端损失发生频数很大，而且损失强度很高，巨大损失也具有类似特征。也就是说，操作损失强度分布的尾部分布与正态分布相比不仅拖尾长而且厚度更厚，以至于不存在高阶矩。这类损失发生的直接后果就是金融机构倒闭破产。因此，这类操作风险成为巴塞尔协议防范的主要对象。

Embrechts和Klüppelberg（1997）等建议用极值模型度量尾部风险，并系统探讨了该模型在金融保险中的应用问题。自巴林银行事件后，人们对操作损失数据库进行了大量的实证研究，其结果表明极值模型能够较好地度量这类极端损失操作风险事件，因此，极值模型被广泛应用于操作损失强度样本拟合。

极值模型主要有两类：广义极值分布模型（又称经典区组样本极大值模型，Block Maxima Method, BMM）和广义Pareto模型（Generalised Pareto Distribution, GPD）。目前，操作风险尾部度量的相关研究也主要从这两类极值模型出发来展开。Embrechts和Furrer等（2003）认为，以极值模型估计操作损失分布高置信度的分位数时，操作损失数据样本须满足独立同分布的假设，且须达到一定的样本量。Cruz（2004）不仅在理论上研究了极值模型在操作风险度量中的应用问题，而且进行了实践性探讨。Giulio和Roberto（2005）以极值模型对操作风险进行实证研究后发现，度量结果高度依赖于分布的形态类型。大量实证研究结果表明操作风险具有显著重尾性，操作损失强度样本的最佳拟合分布为重尾性分布Pareto分布和Weibull分布。

（1）当以广义Pareto分布来拟合操作损失强度样本时，实证研究表明形状参数大于0，即操作损失强度分布为Pareto分布。

巴塞尔委员会于2002年在全球范围内进行了一次操作损失样本收集，下述两文献分别对此操作损失数据样本进行了实证研究。Fontnouvelle和Rosengren等（2004）以Weibull分布、伽玛分布、对数伽玛分布、Pareto分布等分布进行比较研究，分析结果表明损失分布表现出显著厚尾性。Moscadelli（2004）认为极值模型GEV和GPD是研究操作损失强度分布尾部特性的有用工具，其形状参数大小决定了损失强度分布的厚尾程度，并且以GPD对操作损失强度样本进行实证研究后发现，形状参数大于0，即操作损失强度为Pareto分布。

Annalisa和Claudio（2003）用广义Pareto分布模拟操作风险严重性的尾部特征后发现，极值模型能很好地拟合操作风险尾部分布状况。Fontnouvelle和Virginia（2003）分析了低频高强度操作损失数据样本，发现Pareto分布能较好地拟合损失强度分布。

Dutta和Perry（2006）对2004年调查收集的操作损失数据进行了实证研究，以指数分布、伽玛分布、广义Pareto分布、对数正态分布、Weibull分布等多种模型在不同银行、不同产品线和不同损失类型上对损失强度进行了拟合检验，发现损失强度分布具有明显厚尾性。Chavez－Demoulin等（2006）认为极值模型是度量低频高强度操作风险的最优方法，且探讨了当以Pareto分布拟合操作损失强度时，在置信度99.9%下操作风险价值的估计问题。Allen和Bali（2007）认为银行风险暴露会受到经济周期性波动的影响，从而使风险监管资本度量产生偏差，且以GPD模型实证检验了操作风险度量中周期性风险因子的存在。Gourier和Farkas等（2009）以GPD来拟合操作损失强度样本后发现，其形状参数大于0，即损失强度分布为Pareto分布。

陈学华等（2003）将POT模型应用于度量商业银行的操作风险，认为POT模型可以准确描述分布尾部的分位数。张文和张屹山（2007）以我国某商业银行从1988年到2002年的操作风险事件为样本，利用POT模型估计出在一定置信度下的VaR和ES值。高丽君等（2006,2007）系统探讨了极值理论在我国商业银行操作风险度量中的应用，认为采用传统Hill估计方法对小样本数据进行尾参数估计易产生偏倚，因此采用改进的Hill方法（小样本无偏估计的HKKP估计）来估计操作损失分布的尾参数，采用了最小化估计的累积概率分布与经验累积概率分布平均平方误差的方法确定阈值，估计出操作风险价值。

（2）当以广义极值分布模型来拟合操作损失强度样本时，实证研究表明操作损失强度分布为Weibull分布。

Georges和Hela（2008）对某银行损失强度样本进行了实证分析，以Weibull分布拟合强度分布的主体部分，以Pareto分布拟合强度分布尾部。Ariane和Yves等（2008）以某银行损失样本分别拟合了LogNormal分布、Weibull分布以及Pareto分布，并探讨了管理措施对风险调整后收益（RAROC）的影响。Fengge和Hongmei等（2012）用广义极值分布拟合操作损失强度样本后发现，其形状参数大于0，即属于Weibull分布。Dionne和Dahen（2008）以Weibull分布拟合操作损失样本，并估计出损失分布特征参数。

史道济（2006）将厚尾分布定义为：如果随机变量的峰度大于3（正态分布峰度等于3），则称该随机变量对应的分布为厚尾分布。但是，在某些情况下极值分布的高阶矩不存在，因此，其分布的尾部厚薄状况就不能用厚尾分布的概念来进行刻画，须用另一概念——重尾性分布来描述。

史道济将重尾性分布定义为：如果存在正整数k，使得无穷，则称分布F（x）的上尾是重尾的，类似可定义下尾是重尾的情况。Embrechts和Klüppelberg（1997）认为，如果分布的密度函数以幂函数的速度衰减至0，那么该分布是重尾的。

因此，不管随机变量的高阶矩是否存在，“重尾性”概念都能很好地刻画操作风险尾部厚薄状况，从而使分布尾部厚薄状况的描述具有一般性。在极值分布模型中，形状参数值大小表示了分布尾部厚度状况。对于Pareto分布，形状参数越大，分布尾部厚度越大；反之，尾部厚度越小。对于Weibull分布，形状参数越小，分布尾部厚度越大；反之，尾部厚度越小。

根据国内外文献对损失强度的实证研究，重尾性极值模型Pareto分布和Weibull分布是操作损失强度样本的最佳拟合分布。实际上，理论研究表明在极值模型中仅Pareto分布（属于GPD）和Weibull分布（属于GEV）为重尾性极值模型（杨洋和王开永，2013）。可见，重尾性极值模型成为操作损失强度的最佳分布具有理论依据。在重尾性极值模型下研究操作风险度量问题具有重要的理论意义与实践意义。