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3.6.2 实践演练——解决“非线程方程组”问题
非线性方程是指含有指数函数和余弦函数等非线性函数的方程，例如，ex−cos(πx)=0。与线性方程相比，无论是解的存在性，还是求解的计算公式，非线性方程都比线性方程要复杂得多，对于一般线性方程f(x)=0，既无直接法可用，也无一定规则可寻。
下面的实例文件Iteration.py演示了使用迭代算法解决“非线程方程组”问题的过程。
源码路径：daima\第3章\Iteration.py
import math #为了使用cos函数
def takeStep(Xcur):
Xnex=[0,0,0];
Xnex[0]=math.cos(Xcur[1]*Xcur[2])/3.0+1.0/6
Xnex[1]=math.sqrt(Xcur[0]*Xcur[0]+math.sin(Xcur[2])+1.06)/9.0-0.1
Xnex[2]=-1*math.exp(-1*Xcur[0]*Xcur[1])/20.0-(10*math.pi-3)/60
return Xnex
def initialize():
X0=[0.1,0.1,-0.1]
return X0
def ColculateDistance(Xcur,Xnew):
temp=[Xcur[0]-Xnew[0],Xcur[1]-Xnew[1],Xcur[2]-Xnew[2]]
dis=math.sqrt(temp[0]*temp[0]+temp[1]*temp[1]+temp[2]*temp[2])
return dis
def iteration(eps,maxIter):
cur_eps=10000
Xcur=initialize()
Xnew=[0,0,0]
iterNum=1
print("--------------------------开始迭代--------------------------")
print(" 迭代次数 | Xk1 | Xk2 | Xk3 | eps ")
while (cur_eps>eps and iterNum<maxIter) :
Xnew=takeStep(Xcur);
cur_eps=ColculateDistance(Xcur,Xnew)
print(" %d %.8f %.8f %.8f %8.8f"%(iterNum,Xcur[0],Xcur[1],Xcur[2],cur_eps))
iterNum+=1
Xcur=Xnew
return 0
iteration(10**-10,200)
执行后会输出：
--------------------------开始迭代--------------------------
迭代次数 | Xk1 | Xk2 | Xk3 | eps
1 0.10000000 0.10000000 -0.10000000 0.58923871
2 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.00941924
3 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 0.00023523
4 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 0.00001231
5 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 0.00000031
6 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 0.00000002
7 0.50000000 0.00000000 -0.52359878 0.00000000
使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况。
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代次数进行限制。
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。