2.2 传感器的数学模型

从系统角度看，一种传感器就是一种系统。而一个系统总可以用一个数学方程式或函数来描述。即用某种方程式或函数表征传感器的输出和输入的关系和特性，从而用这种关系指导对传感器的设计、制造、校正和使用。通常从传感器的静态输入—输出关系和动态输入—输出关系两方面建立数学模型。

2.2.1 静态模型

静态模型是指在输入信号不随时间变化的情况下，描述传感器的输出量与输入量的一种函数关系。如果不考虑蠕动效应和迟滞特性，传感器的输入量x与输出量y之间的关系通常可用如下的多项式表示：

（2-1）

式中，a0——输入量x为零时的输出量；

a 1，a 2，…，a n——非线性项系数。各项系数决定了特性曲线的具体形式。

2.2.2 动态模型

传感器的动态模型是指输入量随时间变化时传感器的响应特性，它描述了输出和输入信号的一种数学关系。由于传感器的惯性和滞后，当被测量随时间变化时，传感器的输出往往来不及达到平衡状态，处于动态过渡过程之中，所以传感器的输出量也是时间的函数。动态模型通常采用微分方程和传递函数描述。

1．微分方程

大多数传感器都属于模拟系统之列。描述模拟系统的一般方法是采用微分方程。在实际的模型建立过程中，一般采用线性常系数微分方程来描述输出量y和输入量x的关系。其通式如下：

式中，an,an-1,…,a0和bm,bm-1,…,b0为传感器的结构参数。除外，一般取b1,b2,…,bm为零。

（2-2）

2．传递函数

如果y(t)在t≤0时，y(t)=0，则y(t)的拉氏变换可定义为：

（2-3）

式中，，。对微分方程两边取拉氏变换，则得：

（2-4）

定义输出y(t)的拉氏变换Y(s)和输入x(t)的拉氏变换X(s)的比为该系统的传递函数H(s)，

（2-5）

对y(t)进行拉氏变换的初始条件是t≤0时，y(t)=0。对于传感器被激励之前，所有的储能件如质量块、弹性元件、电气元件等均符合上述的初始条件。

显然H(s)与输入量x(t)无关，只与系统结构参数有关，因而H(s)可以简单而恰当地描述传感器输出与输入的关系。