2.1 康托集合、模糊集合和可拓集合

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。通俗地讲，集合就是由一个或多个元素所构成的“一堆东西”，集合里的“东西”称作元素。

德国数学家康托尔（Cantor）在19世纪70年代奠定了集合论的基础。1883年，康托尔出版的《集合论基础》是其形成的标志。经过一大批卓越的科学家近50年的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位。可以说，严格的集合理论是现代数学各个分支的基础。

1965年，美国人扎德（Zadeh）首先提出模糊集合，作为表述客观世界中模糊现象的集合论基础。模糊集合是用来表达模糊性概念的集合，是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体，又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的、界限分明的。因此，每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有许多模糊的概念，如年轻、很大、暖和、傍晚等。这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论的基础。

1983年，蔡文研究员提出可拓集合，作为现实世界中矛盾问题转换为不矛盾问题的集合论基础。至此，有了三类集合论：康托集合、模糊集合和可拓集合，如图2-1所示。

图2-1 康托集合、模糊集合和可拓集合示意图

a）康托集合 b）模糊集合 c）可拓集合

在经典数学中，用特征函数来描述论域中的元素是否具有某种性质。特征函数只取0和1两个数描述“是”与“否”。

在模糊数学中，用隶属函数来表征论域中元素具有某种性质的程度，取值[0，1]。

在可拓集合中，论域中的元素所具有某种性质的程度用关联函数来描述，通过建立了实域上可拓集合的关联函数的基本公式，使它能定量地、客观地表述元素具有某种性质的程度及其量变与质变的过程。