2.2 平面问题的基本理论

如果物体有特殊的形状（三个方向尺寸中的一个尺寸远大于或远小于其他两个方向的尺寸），并受到特殊分布形式的外载荷作用，则物体内的应力、应变和位移只是两个坐标（x，y）的函数，这样的弹性力学问题就称为平面问题。平面问题可分为平面应变问题和平面应力问题。

2.2.1 平面问题的基本方程与边界条件

1.平面问题的基本方程

在弹性力学中分析平面问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立三套方程。

（1）平衡微分方程及应力状态 考虑平面问题的静力学方面时，在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出应力分量和体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程，并对物体内一点的应力状态进行分析。

从图2-4的薄板上取出一个微小的长方体，它在z方向的尺寸取为一个单位长度，在x方向和y方向上的长度分别为dx和dy。

设作用在单元体左侧面上的正应力是σ_x=σ_x（x，y），右侧面上坐标x得到增量dx，该面上的正应力为

σ_x（x+dx，y）

将上式展开为泰勒级数为

略去二阶及二阶以上的微量后便得

图2-4 单元体受力情况

同理，σ_y、τ_xy、τ_yx一样处理。

根据力矩平衡条件，可得τ_xy=τ_yx。下面以y为投影轴，列出投影的力平衡方程

化简之后，两边除以dxdy，得

同理，以x投影轴可列出投影的力平衡方程ΣF_x=0。于是得出平面问题的平衡微分方程为

这两个微分方程对于两种平面问题都同样适用。

现在，我们继续研究平面问题的静力学方面，假定任一点P处坐标面上的应力分别为分量σ_x、σ_y和τ_xy=τ_yx，求经过该点任意斜截面上的应力，如图2-5a所示。为此在点P附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过点P而垂直于x轴和y轴的两个平面画出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的平均应力就成为上述斜截面上的应力，如图2-5b所示。

用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为cos（n，x）=l，cos（n，y）=m；并用p_x和p_y分别代表斜面AB上的全应力p在x轴及y轴上的投影。设斜面AB的长度为ds，则PB面及PA面的长度分别为lds和mds，PAB的面积为ldsmds/2。垂直于图平面的尺寸取为1。由平衡条件ΣF_x=0，可得

p_xds-σ_xlds-τ_yxmds+f_xldsmds/2=0

式中，f_x为x方向的体力分量。将上式化简可得

p_x=lσ_x+mτ_yx

同理，由平衡条件ΣF_y=0，可得

即

设斜面AB上的正应力为σ_n，则由p_x和p_y的投影，可得σ_n=lp_x+mp_y，把式（2-2）代入，可得

σ_n=l²σ_x+m²σ_y+2lmτ_xy （2-3）

同理，可得切应力为

τ_n=lp_y-mp_x=lm（σ_y-σ_x）+（l²-m²）τ_xy （2-4）

图2-5 平面受力情况

设经过点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为点P的一个主应力，而该斜面称为点P的一个应力主面，该斜面的法线方向（即主应力的方向）称为在点P的一个应力主向。

在一个应力主面上，由于切应力等于零，全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力σ，因此，该面上的全应力在坐标轴上的投影为

p_x=lσ，p_y=mσ

将其带入式（2-2），可得

lσ=lσ_x+mτ_yx，mσ=mσ_y+lτ_xy

由上两式，可得σ²-（σ_x+σ_y）σ+（σ_xσ_y-τ²_xy）=0，从而求得两个主应力为

由式（2-5），可得

σ_x+σ_y=σ₁+σ₂ （2-6）

可以证明，两个主应力方向相互垂直，其中一个为最大正应力，另一个为最小正应力；最大与最小的切应力为±（σ₁-σ₂）/2，且发生在与主应力呈45°的斜面上。

（2）几何方程 仅靠平面问题的平衡微分方程还不能解决问题，还必须考虑几何学和物理学方面的条件。下面根据几何学，导出微分线段上的形变分量与位移分量之间的关系式，也就是平面问题的几何方程。

经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的正方向取两个为微小长度的线段PA=dx，PB=dy，如图2-6所示。假定弹性体受力以后，P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。

首先来求线段PA和PB的线应变，即ε_x和ε_y，用位移分量来表示。设点P在x方向的位移为u，则A点在x方向的位移，由于x坐标的改变，将是

。于是，线段PA的线应变为

同理，线段PB的线应变为。

图2-6 弹性体的几何关系

现在求出线段PA和PB之间夹角的改变，也就是切应变γ_xy，用位移分量表示。由图2-6可见，这个切应变是由两部分组成的：一部分是由y方向的位移v引起的，即x方向的线段PA的转角α；另一部分是由y方向的位移u引起的，即y方向的线段PB的转角β。

设点P在y方向的位移为v，则A点在y方向的位移，由于x坐标的改变，将是。于是，线段PA的转角为

同理，线段PB的转角为。

可见，线段PA和PB之间夹角的改变（以减小时为正），也就是切应变γ_xy可表示为

因此，平面问题的几何方程为

与平衡微分方程一样，上述几何方程对两种平面问题都适用。由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定；然而，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

（3）物理方程 现在来考虑平面问题的物理学方面，导出形变分量与应力分量之间的关系式，也就是平面问题的物理方程。

在理想弹性体中，形变分量与应力分量之间的关系极其简单，已在材料力学中根据胡克定律导出为

式中，E为弹性模量；G为剪切模量；μ为泊松比。这三个常数之间的关系为

在平面应力问题中，σ_z=0，将其及式（2-9）代入式（2-8），可得

这就是平面应力问题的物理方程。此外，式（2-8）中的第三式变为

由上式可知，ε_z可由σ_x和σ_y得出，因而不作为独立的未知函数，并由ε_z可以求出薄板厚度的改变。又由式（2-8）中的第四式及第五式可知，因为在平面问题中有τ_yz=0和τ_zx=0，所以有γ_yz=0和γ_zx=0。

在平面应变问题中，因为物体的所有点都不沿z方向移动，所以z方向的线段都没有伸缩，即ε_z=0。于是，由式（2-8）中的第三式，可得

σ_z=μ（σ_x+σ_y）

同样，σ_z也不作为独立的未知函数。将上式代入式（2-8）中的第一式及第二式，并结合第三式，得

这就是平面应变问题的物理方程。此外，因为在平面应变问题中也有τ_yz=0和τ_zx=0，所以也有γ_yz=0和γ_zx=0。

可以看出，两种平面问题的物理方程是不一样的。然而，如果在平面应力的物理方程[式（2-10）]中，将E换为，μ换为，就得到平面应变问题的物理方程[式（2-11）]。

以上导出的三套方程，就是弹性力学平面问题的基本方程：2个平衡微分方程[式（2-1）]，3个几何方程[式（2-7）]，3个物理方程[式（2-10）或式（2-11）]。这8个基本方程中包含8个未知数。此外，必须考虑弹性体边界条件，才有可能求出这些未知函数。

2.平面问题的边界条件

当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，在边界上应满足边界条件。按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。

（1）位移边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为S_u，则有（在S_u上）

式中，（u）s和（v）s表示位移的边界值，而u和v在边界上是坐标的已知函数。

（2）应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。例如，在Sσ部分边界上给定了面力分量f_x（s）和f_y（s），则可以由边界上任意一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系。为此，在边界上任意一点P取出一个类似于图2-5的微分体。这时，斜面AB就是变截面，在此面上的应力分量p_x和p_y应代换为面力分量f_x和f_y，而坐标面上的σ_x、σ_y和τ_xy则分别称为应力分量的边界值。由平衡条件得出平面问题的应力边界条件（在Sσ上）为

式中，f_x（s）和f_y（s）在边界上是坐标的已知函数；l和m是边界面外法线的方向余弦。

（3）混合边界条件 物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，如式（2-12）所示；另一部分边界上则具有已知面力，因而具有应力边界条件，如式（2-13）所示。即两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。此外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即两个边界条件中的一个是位移边界条件，另一个是应力边界条件。

需要指出的是，在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量等必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界条件，因此，弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题。但是，要使边界条件得到完全满足，往往会遇到很大的困难。这时，我们可以利用圣维南原理局部边界条件进行简化。

2.2.2 平面问题求解

在建立了弹性力学平面问题的基本方程和边界条件之后，通常采用类似于代数方程中的消元法进行求解。按位移求解的方法称为位移法，按应力求解的方法称为应力法。下面分别对两种方法进行介绍。

1.位移法

以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量，此法即位移法。

现在来导出按位移法求解平面问题的方程和边界条件。为此，取位移分量u、v为基本未知函数。为了从方程和边界条件中消去形变分量和应力分量，须将它们用位移分量来表示。首先，几何方程（2-7）就是用位移分量表示形变分量的表达式。其次，对于平面应力问题，从物理方程（2-10）求出应力分量，使它们用形变分量表示。

再将几何方程（2-7）代入式（2-14），得

下面导出求解位移分量的方程和边界条件。将式（2-15）代入平衡微分方程式（2-1），可得

这就是按位移法求解平面应力问题时所用的基本微分方程。

另一方面，将式（2-15）代入应力边界条件（2-13），化简得

这就是用位移表示的应力边界条件。位移边界条件仍然如式（2-12）所示。

总之，按位移法求解平面应力问题时，要使得位移分量在区域内满足微分方程（2-16），并在边界上满足位移边界条件（2-12）或应力边界条件式（2-17）。

平面应变问题与平面应力问题相比，除了物理方程不同以外，其他方程和边界条件都相同。只要将上述各方程和边界条件中的E换为，μ换为，就可得到平面应变问题按位移法求解的方程和边界条件。

2.应力法

以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移，此法即应力法。

现在来导出按应力法求解平面问题的方程。由于位移分量只存在几何方程中，可以先从几何方程中消去位移分量。考察几何方程式（2-7），即

将ε_x对y的二阶导数和ε_y对x的二阶导数相加，得

即

该关系式称为变形协调方程或相容性方程。

现在，我们利用物理方程将相容性方程中的形变分量消去，使相容性方程中只包含应力分量。对于平面应力情况，将物理方程（2-10）代入式（2-18），得

利用平衡微分方程，化简上式，使它只包含正应力而不包含切应力，得

对于平面应变的情况，把_μ换为，可得

总之，按应力法求解平面问题时，要使得应力分量在区域内满足微分方程式（2-1）及相容方程[式（2-19）或式（2-20）]，在边界上满足应力边界条件式（2-17），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。

对应力边界问题，且为单连体问题（只具有一个连续边界的物体），满足上述方程的解是唯一正确解。对多连体（具有多个连续边界的物体，也就是具有孔口的物体）问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。

常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为

用记号Δ²代表，则上式化为

Δ²（σ_x+σ_y）=0

根据常体力下的平衡微分方程，推理可得

Φ称为平面问题的应力函数。将平面问题的相容方程用应力函数Φ表示，可得

按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只需由微分方程[式（2-22）]求解应力函数Φ，然后用式（2-21）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。

2.2.3 坐标变换

在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程度。如坐标选得合适，则可使问题大为简化。对于两类平面问题，均可根据所研究的弹性体的形状选取适当的坐标系进行求解。

1.平面问题的直角坐标系解答

由于偏微分方程[式（2-22）]的通解不能写成有限项的形式，因此一般不能直接求解问题，而只能采用逆解法或半逆解法。

逆解法：先设定某种形式的、满足相容方程[式（2-22）]的应力函数Φ，用式（2-21）求出应力分量，然后根据应力边界条件式（2-13）来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。

半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数Φ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。

下面举例说明逆解法的应用。

如图2-7所示，设有矩形截面的长梁（l远大于h），取单位厚度的梁来考察，并令每单位厚度上的力偶矩为M。

取Φ=ay³，不论系数a取何值，相容方程（2-22）总能满足。现在来考察，应力分量σ_x=6ay，σ_y=0，τ_xy=τ_yx=0能否满足边界条件，如果能满足，系数a该取何值。

图2-7 矩形截面的长梁

首先考虑上下两个主要边界（占边界绝大部分）的条件。在下边和上边，都没有面力，即要求

（σ_y）y=±h/2=0，（τyx）y=±h/2=0

这是能满足的，因为在所有各点都有σ_y=0，τ_yx=0。其次，考虑左右端次要边界（占边界很小部分）的条件。在左端和右端均没有铅垂力，即分别要求

（τ_xy）_x=0=0，（τ_xy）_x=l=0

这也是能满足的，因为在所有各点都有τ_xy=0。

此外，由于x=0，l的两端面是相对较小的边界，可以应用圣维南原理，将关于σ_x的边界条件改用主矢量和主矩的条件代替。即在左端和右端，边界面上σ_x合成的主矢量应为零，而σ_x合成的主矩应等于面力的力偶矩M，亦即

将σ_x=6ay代入，则上述两式化为

前一式总能满足，而后一式则要求，将其代入应力分量表达式，可得

由于梁截面的惯性矩，故上式又可以写为

这就是矩形梁受纯弯曲时的应力分量，与材料力学中的完全相同。

假定这里是平面应力的情况，将应力分量（2-23）代入物理方程（2-10），得变形分量为

将式（2-24a）代入几何方程（2-7），可得

对式（2-24b）中前两式积分，可得

式中，f₁（y）和f₂（x）分别是y和x的待定函数。

将式（2-24c）代入式（2-24b）中的第三式，整理得

等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一常数w。于是有

将上两式积分，可得

将上式代入式（2-24c），得位移分量为

式中，任意常数w、u₀及v₀可由约束条件求得。由式（2-24d）可得梁的转角β和梁的各纵向曲面的曲率为

这是材料力学中的基本公式。

如果梁是悬臂梁，左端自由而右端完全固定，如图2-8所示，在梁的右端（x=l），对于y的任何值（-h/2≤y≤h/2），都要求u=0和v=0。在多项式解答中，这个条件是无法满足的。在实际工程上，这种完全固定的约束条件也是不大可能实现的。现在，和材料力学中一样，假定右端截面的中点不移动，则该点的水平线段不转动。这样，约束条件是

图2-8 悬臂梁受力情况

把上述约束条件代入式（2-24d），可确定常数w、u₀及v₀为

将求得的上述常数代入式（2-24d），可得出该悬臂梁的位移分量

悬臂梁轴的挠度方程为

这与材料力学中的解答相同。

对于平面应变情况下的梁，须在以上的形变公式和位移公式中，将E换为，将μ换为。

2.平面问题的极坐标系解答对于圆形、楔形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标要方便得多。

（1）极坐标中平面问题的基本方程

图2-9 极坐标下的微元体

1）极坐标中的平衡微分方程。如图2-9所示，考虑平面上的一个微元体PACB，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用σρ表示；沿φ方向的正应力称为环向正应力，用σφ表示；剪应力用τ_ρφ及τ_φρ表示；径向及环向的体力分量分别用f_ρ及f_φ表示。各量正负号的规定和直角坐标中一样。

与直角坐标系中相似，应力随坐标ρ的变化而变化，设PB面上的径向应力为σ_ρ，则AC面上的应力将为，同样，这两个面上的切应力分别为τρφ和。PA和BC两个面上的环向正应力分别为σφ及，这两个面上的切应力分别为τφρ及。

注意：两ρ面不平行，夹角为dφ；两ρ面面积不等，分别为ρdφ和（ρ+dρ）dφ；ρ从原点出发为正，φ从x轴向y轴方向转向为正；微分体的体积为ρdφdρ。

将微分体所受各力投影到微分体径向轴上，列出径向的平衡方程ΣFρ=0，得

将微分体所受各力投影到微分体切向轴上，列出切向的平衡方程ΣFφ=0，得

对于上述两个平衡方程式，由于dφ微小，故，用τ_ρφ替代τ_φρ，略去高阶量，整理得

这就是极坐标中的平衡微分方程式。上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同。在直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现；在极坐标系中，则会由于微元体垂直于半径的两面面积不等而发生变化，而且半径越小差值越大。

2）极坐标中的几何方程。在极坐标中规定：ε_ρ代表径向正应变；ε_φ环向线应变；γ_ρφ代表切应变（径向与环向两线段之间的直角的改变）；u_ρ代表径向位移；u_φ代表环向位移。

如图2-10所示，通过任意一点P（ρ，φ），分别沿正方向做径向和环向的微分线段，PA=d_ρ，PB=ρdφ。现在来分析，微分线段上的形变分量和位移分量之间的几何关系。

图2-10 极坐标下的几何关系

①假定只有径向位移，而无环向位移，如图2-10a所示。

由于发生假定的这个径向位移，径向线段PA移到P′A′，环向线段PB移到P′B′，而P、A、B三点的位移分别为

可见径向线段PA的线应变为

环向线段PB移到P′B′。在图2-10a中，通过点P′作圆弧线P′C。P′B′与P′C的夹角β是微小的，因此，P′B′≈P′C。由此可知，环向线段的线应变为

径向线段PA的转角为

α=0

环向线段PB的转角为

可见，切应变为

②假定只有环向位移，而无径向位移，如图2-10b所示。

由于发生假定的这个环向位移，径向线段PA移到P″A″，环向线段PB移到P″B″，而P、A、B三点的位移分别为

在图2-10b中，作P″D∥PA，则PA的转角为α。由于α是微小的，因此，略去高阶微量后可得到P″A″≈PA，由此得出径向线段PA的线应变ε_ρ=0。

环向线段PB的线应变为

径向线段PA的转角为

环向线段PB的转角（该转角使直角扩大）为

可见，切应变为

③沿径向和环向都有位移。

根据叠加原理，将①和②两种情况下相应的应变进行叠加，可得

这就是极坐标中的几何方程。

3）极坐标中的物理方程。下面来导出极坐标中平面向题的物理方程。在直角坐标中，物理方程是代数方程，且其坐标x和y的方向是正交的。在极坐标中，坐标ρ和φ的方向也是正交的，因此，极坐标系中的物理方程与直角坐标系中的物理方程具有同样的形式，只需将角码x和y分别改换为ρ和φ。据此，可得出极坐标系中平面应力问题的物理方程为

将式（2-27）中的E换为，μ换为，可得到平面应变问题的物理方程为

（2）极坐标中的相容方程与应力分量坐标变换 为了简化公式的推导，可以把直角坐标系中用应力函数表示的应力和相容方程直接变换到极坐标系中来。

1）极坐标中的相容方程。为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，可利用极坐标和直角坐标的关系：

x=ρcosφ，y=ρsinφ

由上述变换关系，可得ρ、φ对x、y的偏导数

按照符合函数的求导公式，可得应力函数Φ的一阶导数的变换公式为

重复以上运算，得到应力函数Φ的二阶导数的变换公式为

由图2-9可知，如果把x轴和y轴分别转到ρ和φ的方向，使得微分体的φ坐标称为零，则σ_x、σ_y和τ_xy分别成为σ_ρ、σ_φ和τ_ρφ。于是不及体力时，由式（2-29）可得

将式（2-29）中的前两式相加，可得

于是直角坐标系中的相容方程化为

用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只需从相容方程[式（2-31）]求解应力函数Φ（x，y），然后由式（2-30）求出应力分量，再考察应力分量是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。

下面对轴对称情况下的相容方程作进一步说明。

对于轴对称问题应力数值轴对称，因此τ_ρφ=τ_φρ=0，应力函数仅是ρ的函数，即Φ（ρ）。

在这一特殊情况下，式（2-30）可化为

相容方程（2-31）简化为

轴对称问题的拉普拉斯算子Δ ²可以写为

于是，轴对称问题的相容方程又可写为

图2-11 极坐标应力分量与直角坐标应力分量的关系

2）应力分量坐标变换。在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。因此，需要建立应力分量的坐标变化式。

设已知直角坐标系中的应力分量为σ_x、σ_y和τ_xy，试求极坐标中的应力分量σ_ρ、σ_φ和τ_ρφ。为此，在弹性体中取出一个包含x面和y面和ρ面且厚度为1的微小三角板A，如图2-11所示，其ab为x面，ac为y面，各面上的应力如图2-11所示。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为dscosφ及dssinφ。

根据三角板A的平衡条件ᥐFρ=0，可以写出平衡方程

σ_ρds-σ_xdscosφcosφ-σ_ydssinφsinφ-τ_xydscosφsinφ-τ_yxdssinφcosφ=0

用τ_xy替代τ_yx，化简可得

σρ=σ_xcos²φ+σ_ysin²φ+2τ_xysinφcosφ

同样，可由三角板A的平衡条件ΣFφ=0，得到

τ_ρφ=（σ_y-σ_x）sinφcosφ+τ_xy（cos²φ-sin²φ）

类似地，在弹性体中取出一个包含x面、y面和φ面且厚度为1的微小三角板B，如图2-11所示。可由三角板B的平衡条件ᥐFφ=0，得到

σ_φ=σ_xsin²φ+σ_ycos²φ-2τ_xysinφcosφ

并同样由平衡条件ΣFρ=0，得τ_φρ，且τ_φρ=τ_ρφ。

综上可知，应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为

用类似的方法，导出的应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为