3.1 基本概念和计算假定

3.1.1 基本概念

在弹性力学中，两个平行平面和垂直于两平行平面的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板，如图3-1所示。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板面之间的距离δ称为板的厚度，而平分厚度δ的平面称为板的中间平面，或简称为中面；如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。

对于薄板的弯曲问题，已经引用一些计算假定而建立了一套完整的理论，可以用来计算工程上的问题。对于厚板，虽然也有这样或那样的计算方案被提出来，但还不便应用于工程实际问题。

图3-1 平板的结构

当薄板受有一般荷载时，总可以把每个荷载分解为两个分荷载，一个是平行于中面的纵向荷载，另一个是垂直于中面的横向荷载。对于纵向荷载，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。横向荷载将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。

当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面；而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。

本章只讲述薄板的小挠度弯曲理论，也就是只讨论这样的薄板：它虽然很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度（因此，位移和形变是微小的，基本假定仍然符合）。如果薄板的弯曲刚度较小，以致挠度与厚度属于同阶大小，则须另行建立所谓大挠度理论；如果薄板的弯曲刚度很小，以致挠度远大于厚度，则薄板成为薄膜。

3.1.2 计算假定

薄板弯曲问题属于空间问题。为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定，用来简化空间问题的基本方程（这些计算假定已被大量的实验证实是合理的）。取薄板的中面为xy面，如图3-1所示，薄板的计算假定可以陈述如下：

1）垂直于中面方向的线应变（ε_z）可以忽略不计。取ε_z=0，则由几何方程[式（2-38）]中的第三式得，从而得

w=w（x，y）

这就是说，横向位移w只是x和y的函数，不随z而变。因此，在中面的任意一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就是挠度。

2）应力分量τ_xz、τ_yz和σ_z远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以忽略不计（注意：这3个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能不计）。

这是因为，薄板弯曲问题与梁的弯曲问题相似，由各应力分量的数量级大小可知，弯应力σ_x、σ_y和扭应力τ_xy为主要应力，横向的切应力τ_xz、τ_yz为次要应力，而挤压应力σ_z为更次要应力。因此，上述假定中认为τ_xz、τ_yz和σ_z是次要的，它们引起的形变可以忽略不计。

因为不计τ_xz及τ_yz所引起的形变，所以有

γ_zx=0，γ_yz=0

于是由几何方程[式（2-38）]的第四式和第五式可得

从而有

由于ε_z=0，γ_xz=0，γ_yz=0，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。

还应注意，在上述计算假定中虽然采用了ε_z=0，γ_zx=0，γ_yz=0，但在以后考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量τ_xz、τ_yz和σ_z。因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于ε_z、γ_xz和γ_yz的物理方程，即式（2-38）中的第二、第四和第五方程。

因为不计σ_z所引起的形变，所以薄板的物理方程成为

这就是说，薄板小挠度弯问题中的物理方程和薄板平面应力问题中的物理方程是相同的（以后可见，这两种问题中的应力分量和形变分量沿板厚度方向的分量是不同的）。

3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即

（u）_z=0=0，（v）_z=0=0 （3-3）

因为，，，所以由式（3-3）得出中面内的形变分量均为零，即

（ε_x）_z=0=0，（ε_y）_z=0=0，（γ_xy）_z=0=0

这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影却保持不变。

在材料力学里分析直梁的弯曲问题时，也采用了与以上相似的计算假定，只是在这里，薄板的中面代替了直梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹性曲线，薄板的双向弯曲（实际是连弯带扭）代替了直梁的单向弯曲。