2.1 液体静力学基础

主要讨论静止液体的力学规律和这些规律的实际应用。这里所说的静止液体是指内部质点间没有相对运动的液体。

2.1.1 液体静压力及特性

液体静力学是研究静止液体的平衡规律以及与其接触的物体的相互作用的。处于平衡或运动状态的液体，都受有各种力的作用。作用于液体上的力，按其物理性质来看，有重力、惯性力、弹性力、摩擦力、表面张力等；按其作用的特点，可分为表面力和质量力两大类。质量力是集中作用于液体质量中心上的力。表面力是通过直接接触，作用于所取液体表面上的力。当液体静止时，由于液体质点之间没有相对运动，不存在切向摩擦力，所以静止液体的表面力只有法向的液体静压力。

液体静压力有两个基本性质：

1）液体静压力沿作用面的内法线方向。

2）静止液体内任一点处的压力在各个方向上都相等。

2.1.2 静止液体的平衡微分方程

在静止液体中取长、宽、高分别为dx、dy、dz的微小平行六面体，如图2-1所示，该六面体只受质量力和内法线方向的液体静压力作用。作用在单位质量液体上的质量力称为单位质量力，在直角坐标系中，单位质量力在各坐标轴上的分量为X、Y、Z。液体密度为ρ，则质量力在x方向的分量为Xρdxdydz。设沿坐标轴的正向为压力的增量，在与x轴相垂直的前后两表面上的压强为p和。该六面体在x方向的受力平衡式为

图2-1 平行六面体液体微元

整理后得：

同理可得：，

上述三式即为静止液体的平衡微分方程。

将上述三个方程的等式两边分别乘以dx、dy、dz，然后相加得压力微分方程

ρ（Xdx+Ydy+Zdz）=dp （2-1）

式中 X、Y、Z———单位质量力在x、y、z轴方向上的分量。

对于等压面（压强相等的点所组成的面），存在dp=0，则等压面微分方程为

Xdx+Ydy+Zdz=0 （2-2）

2.1.3 重力作用下静止液体的压力分布

静止水箱中的某点A，在水面下h处，如图2-2所示，由于水只受重力作用，因此所受质量力只有重力，按图所取z坐标，单位质量力X=Y=0，Z=-g，g为重力加速度，代入式（2-1），得

dp=-ρgdz

设液体的密度为常数，积分得

p=-ρgz+c （2-3）

当z=H时，p=p₀，则积分常数c=p₀+ρgH。

将c值代入式（2-3），且H-z=h，故得

p=p₀+ρgh （2-4）

式中 p———静止液体中任意点A的压力；

p₀———液面压力；

h———液体中任一点A到液面的距离；

ρ———液体密度。

式（2-4）可表达静止液体内任一点的压力分布规律，适用于重力作用下的静平衡状态下的均质不可压缩液体。

例2-1 图2-3所示的容器内充满油液。已知油液密度ρ=900kg/m³，活塞上的作用力F=10000N，活塞直径d=2×10^-1m，活塞厚度H=5×10^-2m，活塞材料为钢，其密度ρ_钢=7800kg/m³。试求活塞下方深度h=0.5m处的液体压力。

图2-2 重力场中某点A的静压力

图2-3 例2-1附图

解 活塞的重力为

由活塞重力所产生的压力为

由作用力F所产生的压力为

则活塞下方深度h=0.5m处的液体压力为

p=p₀+ρgh=p_g+p_F+ρgh=3.265×10⁵Pa

由这个例子可以看出，在液体受外力作用的情况下，活塞重力和液体自重所产生的压力与外力作用产生的压力相比可以忽略不计，可以近似地认为在整个系统内部压力是相等的。以后在分析液压传动系统压力时，一般都采用本结论。

2.1.4 压力的表示方法和单位

1.压力的表示方法

压力的大小，可从不同的基准起算，由于起算基准的不同，压力分为绝对压力和相对压力。

绝对压力是以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压力，用p_abs表示。相对压力是以当地大气压为基准起算的压力，用p表示。绝对压力和相对压力之间，相差一个当地大气压p_a（见图2-5）。

p=p_abs-p_a （2-5）

工程上的测压仪表在当地大气压下的读数为零。仪表上的读数只表示液体的压力相对于当地大气压的值，因此测压仪表的读数是以当地大气压为起算基准的，即相对压力，高于当地大气压的相对压力叫作表压力或计示压力，低于当地大气压的相对压力叫作真空度，用P_v表示。

p_v=p_a-p_abs=-p （2-6）

例2-2立置在水池中的密封罩，如图2-5所示，试求罩内A、B、C三点的压力。

图2-4 压力的度量

图2-5 例2-2附图

解 已知开口一侧水面压力是大气压，B点的压力以相对压力计为：p_B=0

A点压力

p_A=p_B+ρgh=ρgh_AB=1000kg/m³×9.8N/kg×1.5m=14700Pa

C点压力

p_C=p_B-ρgh=-ρgh_BC=-1000kg/m³×9.8N/kg×2m=-19600Pa

C点真空度

p_v=-p_C=19600Pa

2.压力的单位

压力的单位一般有三种类型。一种适用于以单位面积上的力来度量大小的压力，例如在国际单位制中，以N/m²（即Pa）作为压力的单位，在工程单位制中，以kgf/cm²作为压力的单位。另一种以液体柱高来表示，一般以mH₂O或者mmHg作为压力的单位。再一种压力的单位是大气压，大气压又分为工程大气压和标准大气压。标准大气压是北纬45°海平面上0℃时测定的数值，用1atm表示。各压力单位及其换算关系见表2-1。

表2-1 压力的单位及其换算关系

注：mH₂O和mmHg的换算用公式ρ_H2Ogh_H2O=ρ_Hggh_Hg。

2.1.5 液体作用在固体壁面上的作用力

进行液压传动装置的设计和计算时，常常需要计算液体对平面或曲面的作用力，例如液压缸活塞所受的液体作用力等。

当固体壁面为平面时，作用于该面上的作用力的方向是相互平行的，如不计重力作用，平面上各点处的作用力大小相等，则作用于固体平面上的液压作用力F等于压力p与承压面积A的乘积，且作用力方向垂直于承压表面，即

F=pA

当固体壁面为图2-6所示的曲面时，作用于曲面上各点处的压力方向是不平行的，为求压力为p的液压油对液压缸右半部缸筒内壁在x方向的作用力F_x，这时在内壁上取一微小面积dA=lds=lrdα（其中l和r分别为缸筒的长度和内径），则液压油作用在该面积上的力dF的水平分量dF_x为

图2-6 压力油作用于 缸体内壁上的力

dF_x=dFcosα=pdAcosα=plrcosαdα

由此得液压油对右半部缸筒内壁在x方向上的作用力为

式中 A_x———缸筒右半部内壁在x方向上的投影面积，A_x=2lr。

当固体壁面为曲面时，静压力作用在曲面。

某一水平方向x的液压作用力F_x等于压力p与曲面在该方向投影面积A_x的乘积，即

F_x=pA_x （2-7）