第2章 基本概念

2.1 电路的波形及其参数

简单的电路由电源、负载、导线和开关等元件组成。电源可分为电压源和电流源，电压源最常用，例如干电池、汽车蓄电池、动力电池组和公用电网电源。导线以线径截面积（单位：mm²）区分较为常用，有0.5mm²、0.75mm²、1mm²、1.5mm²、2.5mm²、4mm²、6mm²、10mm²、16mm²、25mm²等规格。负载是电能转换成其他形式的能的装置，常用的负载有电灯泡、电炉、扬声器、电动机等。开关担负通断电路电流的功能，日常生活中的照明电路开关通常采用手动机械式开关，而汽车的照明电路开关常用继电器。继电器是一种应用电磁原理控制的机械式开关。

【例2-1】照明电路

一个白炽灯的照明线路如图2.1所示，相线L和中性线N提供正弦交流电源，电压为220V（有效值），地线PE为保护地，白炽灯将电能转化为热能和光能，开关S₁手动控制白炽灯的点亮和熄灭。这样一个电灯的电路如图2.2所示，A端与相线L连接，B端与中性线N连接，A₁和B₁分别与白炽灯EL的两端连接。显然，AB两端的正弦交流电压的有效值为220V，频率为50Hz。如果已知白炽灯EL的电阻，就可以计算出开关S₁导通后白炽灯EL的功率。

图2.1 照明和计算机的线路图

图2.2 生活照明电路

【例2-2】汽车远光灯电气电路

汽车远光灯的照明线路如图2.3所示。B+与12V蓄电池的正极连接，车身与蓄电池的负极连接，俗称“搭铁”，继电器R_Q控制左右两侧的远光灯EL_L和EL_R的点亮和熄灭。汽车远光灯的电路如图2.4所示，A端与蓄电池正极连接，B端搭铁，开关S_Q表示电控的继电器开关，A₁和B₁分别与远光灯EL_L和EL_R的两端连接。电路中，AB两端施加的电压为直流12V。如果已知AB两端的电流波形及其参数，就可以计算开关S_Q导通后远光灯EL_L和EL_R的总功率。

图2.3 汽车远光灯的线路

图2.4 汽车远光灯的电路

常见电路的波形有直流、正弦波、矩形波和三角波，后三者具有交流波形。而电路波形的参数有周期、频率、幅值、峰峰值、平均值、有效值，这些参数在示波器上很常用。

2.1.1 参数

周期一般指事物在运动变化中的某些现象连续两次重复出现的时间（单位：s）。对于如交流电压、电流等物理量而言，周期是其完成一次振动（或振荡）所经历的时间。对于一个函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得自变量x在其定义域内变化时都有

f（x+T）=f（x） （2.1）

那么，函数f（x）称为周期函数。非零常数T叫作这个函数的周期。

频率是物体在单位时间内完成振动的次数，是描述振动物体往复运动频繁程度的量（单位：s^-1）。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们把频率的单位命名为赫兹（Hz），简称“赫”。物理量在1s内完成周期性变化的次数称为频率，常用符号f表示。例如交流电压在单位时间内完成周期性变化的次数，称为电压的频率。频率f是周期T的倒数，即

例2-1所示的生活用照明线路的220V电源是一种正弦交流电，电源电压的频率为50Hz，即电压在1s内做了50次的周期性变化，电压的周期为0.02s或20ms。

幅值指物理量在一个周期内瞬时出现的最大绝对值，也叫振幅、峰值。

峰峰值指物理量在一个周期内瞬时出现的最大值和最小值之间的绝对差值。

平均值常指物理量的算术平均值，对于一个周期为T的函数f（t），函数f（t）在一个周期T内的算术平均值F_ave为

有效值是指物理量的方均根值。对于一个周期为T的函数f（t），函数f（t）在一个周期T内的方均根值F_rms为

很显然，有些物理量的周期平均值为0，而其有效值非0，表示物理量做功的能力。

2.1.2 直流

在汽车上，低压电器设备的标称电压通常为直流12V或24V，铅蓄电池是常用的供电电源。在新能源汽车上，动力电池组为驱动电机控制器提供的标称电压有多种，如288V、312V、336V、384V、600V等。理想的直流电的波形不发生周期性变化，是一条直线，如图2.5所示。直流电的平均值恒等于峰值，频率等于0，有效值等于平均值。

图2.5 直流电波形

数学表达式为

u（t）=Up

平均值为

U_ave=U_p

有效值为

U_rms=U_p

2.1.3 正弦波

公用电网传送交流电压，不仅为家庭照明提供电源，而且为新能源汽车动力电池充电机输入交流电源，是正弦波信号。作为新能源汽车驱动装置的三相交流异步电机，其输入电源也是正弦波信号，如图2.6所示。显然，正弦波信号发生周而复始的周期性变化。

图2.6 正弦波形

数学表达式为

u（t）=U_psinωt

式中，U_p为幅值；ω为角频率。

周期为

频率为

峰峰值为

U_pp=2U_p

平均值为

有效值为

把常量放到积分公式外，公式整理为

运用三角运算的降幂公式），可得

积分运算得

运用周期函数的性质，得

从而，获得一个周期内正弦波的有效值为

【例2-3】当U_p=311V时，计算图2.6中的正弦电压的周期、频率、角频率、峰峰值和有效值。

解：

由图2.6可知正弦电压的参数如下：

幅值为 U_p=311V

周期为 T=0.02s

频率为

角频率为 ω=2πf=2π×50rad/s=314rad/s

峰峰值为 U_pp=2U_p=2×311V=622V

有效值为

【例2-4】如果将正弦信号取绝对值，生成的信号波形（实线部分）如图2.7所示，其中

U_p=537V。

（1）写出图示波形的数学表达式。

（2）计算图示波形的周期和频率。

（3）计算图示波形的平均值和有效值。

图2.7 例2-4的信号波形

解：

（1）由图2.7可知，在0.01～0.02s，所示实线部分的波形是虚线部分波形——正弦波负半波沿t轴的对称波形。显然，该波形的数学表达式为

其中，

幅值为

U_p=537V

周期为

T=0.01s

频率为

角频率为

ω=πf=100πrad/s=314rad/s

（2）图2.7的波形的周期是0.01s，频率是100Hz。

（3）计算图2.7的波形的平均值和有效值。

平均值计算：

由式（2.3）可知，图示波形的平均值计算如下：

因此，图示波形的平均值为

有效值计算：

由式（2.4）可知，图示波形的有效值与正弦波的有效值相等，因此

【例2-5】由正弦信号生成的数学表达式为

（1）当I_rms=10A时，计算正弦信号的平均值和峰值。

（2）请绘制其一个周期的波形。

解：

（1）正弦信号所表示的图形的频率和周期计算如下：频率为

周期为

由平均值的计算公式，得到

由有效值的计算公式，得到

运用三角运算的降幂公式，可得

求积分得

从而，该波形的有效值为

因此

I_p=2I_rms

当I_rms=10A时，得

I_p=2×10A=20A

I_ave=20πA=6.37A

（2）数学表达式在一个周期内的波形如图2.8所示。

图2.8 例2-5的信号波形

2.1.4 矩形波

在直流系统中，矩形波是常用的电路波形信号。在例2-2的汽车远光灯照明电路中，假设蓄电池的电压维持在12V。如果将开关S_Q导通一段时间后，再将开关关断，则将在远光灯上产生一个矩形波的电压信号，如图2.9所示。

图2.9 矩形波

图2.9中，如果从开关导通时刻计算，那么电压矩形波的数学表达式为

如果图2.9中的电压矩形波周期性地发生重复，那么它的参数计算如下：

周期为

T=t₃-t₁

脉宽为

t_p=t₂-t₁

频率为

平均值为

有效值为

如果将占空比定义为脉宽时间与周期之比，即

那么，矩形电压波的平均值为

U_ave=δU_p （2.10）

矩形电压波的有效值为

【例2-6】图2.9所示的矩形电压波的周期为2s，幅值为12V，平均电压为3V。求：

（1）矩形电压波的占空比。

（2）矩形电压波的脉宽时间。

（3）矩形电压波的有效值。

解：

根据已知条件，可得

T=2s，U_P=12V，U_ave=3V

（1）计算矩形电压波的占空比，得

（2）计算矩形电压波的脉宽时间，得

t_p=δT=25%×2s=0.5s

（3）计算矩形电压波的有效值，得

2.1.5 三角波

在产生脉宽调制（Pulse Width Modulation，PWM）波时，常用的载波有三角锯齿波和等腰三角波。锯齿波的数学表达式为

锯齿波从零线性增长至最大值U_p，周而复始发展，当T=0.02s时，如图2.10所示。

锯齿波的平均值等于幅值的1/2，即

图2.10 锯齿波

锯齿波的有效值计算如下：

因此，锯齿波的平均值和有效值与它的幅值成比例关系，而与它的周期无关。

【例2-7】证明周期和幅值相同的等腰三角波与锯齿波的平均值和有效值相等。

图2.11 等腰三角波

证明：

图2.11的等腰三角波的数学表达式为

周期性的等腰三角波重复第一个周期的波形，因此它的平均值计算如下：

经简化，得

同样，等腰三角波的有效值计算为

改变积分参数，表达式整理为

经简化，得

据以上证明，可知周期和幅值相同的等腰三角波与锯齿波的平均值和有效值相等。

2.1.6 谐波

由于功率半导体器件的高速导通与关断，功率变换电路能产生非正弦电流，这种畸变电流能够发生周期性变化。根据傅里叶分析，在数学上任何重复的波形都可以用傅里叶级数来表达。

如果周期T的非正弦波形以时间函数f（t）表示，则有

式中，ω=2πf，。

其中，A₀为非正弦函数的平均值，表示非正弦波形的直流成分。具有频率为ω的成分A₁sin（ωt+ϕ₁）称为非正弦波形的基波。具有频率为基波频率整数（＞1）倍的成分称为非正弦波形的谐波，比如2次谐波、3次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波等。非正弦波形的有效值F_rms为

非正弦波的谐波总有效值为

将谐波的有效值与基波的有效值之比定义为非正弦波的总畸变率THD（Total Harmonic Distortion），即

对于一个周期性的、简单的非正弦函数，为了计算相应的总畸变率，先通过式（2.4）计算函数的有效值F_rms；然后，运用式（2.16）求得函数基波的有效值A₁；并且，通过式（2.18）计算函数谐波的总有效值F_hrms；最后，通过式（2.20）计算函数的THD。

【例2-8】频率为50Hz、幅值为10A的方波电流的波形如图2.12a上图所示，求：

（1）方波电流的基波和谐波的数学表达式。

（2）方波电流的总畸变率。

解：

由题意可知，方波电流的幅值和频率分别为

I_p=10A，f=50Hz

（1）图2.12a所示的方波电流波形的数学表达式为

这样，方波电流波形的其他参数计算如下。

周期为

角频率为 ω=2πf=314rad/s

峰峰值为 I_pp=20A

平均值为 I₀=0

有效值为

可以证明该方波电流函数是一个奇函数，即

i（-t）=-i（t）

这样a_n=0

因此，方波电流的傅里叶级数为

由此，方波电流的基波数学表达式为

方波电流的谐波数学表达式为

方波电流的基波以及3、5和7次谐波的幅值如图2.12a下图所示，基波与谐波合成的波形如图2.12b所示。

（2）根据方波电流基波的数学表达式，得到基波的有效值为

而方波电流的谐波有效值为

这样，方波的总畸变率为

图2.12 方波电流

a）波形b）基波与谐波之和