2.6 叠加定理、齐性定理与替代定理

2.6.1 叠加定理

1. 叠加定理的内容

叠加定理是线性电路中一条十分重要的定理。本节所涉及的线性电路是由线性电阻元件、独立电源和线性受控源构成的电路。叠加定理可表述如下：在任何由线性电阻元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应（电压或电流）都可以被看成是各个独立电源单独作用（其他电源不作用）时，在该支路中产生响应的代数和。下面以图2-27为例来说明叠加定理的本质，叠加定理分析用图如图2-27所示。

图2-27a所示电路表示两个独立源共同作用，图2-27b表示由电压源单独作用产生响应I′，图2-27c表示由电流源单独作用产生响应I″。根据图2-27所示电路，推导出如下关系式

即

可以根据电阻串、并联等效变换方法计算这个电路，得到同样的结论。

可见，电阻R2上的电流是两个独立电源分别作用在R2上产生的电流响应的叠加。不仅本例具有响应与激励之间关系的这种规律，而且对任何具有唯一解的线性电路都具有这种特性。它具有普遍意义。

2. 使用叠加定理的几个具体问题

（1）去除电源的处理

当求某一独立电源单独作用在某处产生的响应分量时，应去除其余独立电源。将电压源去除，是将其短接，即将电源二端短接，使得其间电压为零；将电流源去除，是将其开路，即将电源两端断开，使它不能向外电路提供电流。也就是说，去除电源意味着将该电源的参数置零。

（2）“代数和”中正、负号的确定

在应用叠加定理时，要注意，当各电源单独作用时，电路各处电流、电压的参考方向与原电路各电源共同作用时各处所对应的电流、电压的参考方向一致。

（3）叠加定理的适用性

1）该定理只适用于线性电路。

2）作为激励源，即独立电源一次函数的响应电压、电流可叠加，但功率是电压或电流的平方，是激励源的二次函数，不可叠加。

3）叠加时只对独立电源产生的响应叠加，受控源在每个独立电源单独作用时都应在相应的电路中被保留；电路中的所有电阻（包括电源内阻）均应被保留。

下面通过例题来理解叠加定理。

【例2-16】 在图2-28所示电路中，已知US=21V，IS=14A，R1=8Ω，R2=6Ω，R3=4Ω，R=3Ω。用叠加定理求R两端的电压U。

解：将IS开路去掉，使US单独作用，如图2-28b所示，求U′。由分压公式可得

将US短路，IS单独作用，如图2-28c所示，求U″。由分流公式有

则

U″=RI″=（3×5.33）V=16V

最后叠加，得

U=U′+U″=（9+16）V=25V

【例2-17】 在图2-29a所示电路中，试用叠加定理求4V电压源发出的功率。

解：功率不可叠加，但可用叠加定理求4V电压源支路的电流I，再由I求电压源的功率。3V电压源单独作用的电路如图2-29b所示，由此电路可得

4V电压源单独作用的电路如图2-29c所示，由此电路得

由叠加定理，可得两电源共同作用时

I=I′+I″=（-3+6）A=3A

故4V电压源发出的功率为

P=（4×3）W=12W

2.6.2 齐性定理

齐性定理是线性电路的另一个重要性质，可由叠加定理推出，它描述了线性电路的比例特性。齐性定理的内容是：在线性电路中，若某一独立电源（独立电压源或独立电流源）同时扩大或缩小K倍（K为常实数）时，则该独立电源单独作用所产生的响应分量亦扩大或缩小K倍，也有人把“齐性定理”归纳为“齐次定理”。

【例2-18】 在图2-30所示电路中，求各支路电流。

分析：由线性电路的齐次性，当一个独立电压扩大或缩小K倍时，它所产生的响应分量也扩大或缩小K倍。本题只有一个独立电源作用，因此，可设I5′=1A，求出相应的U′S，由US/U′S=K，再计算每一支路电流。

解：设I5′=1A，则

从而

U′S=3×I′1+1×I2′=（48+13）V=61V

K=US/US′=100/61≈1.64

由齐性定理得

I1=K×I′1=26.24A

I2=K×I2′=21.32A

I3=K×I3′=4.92A

I4=K×I4′=3.28A

I5=K×I5′=1.64A

此题的求解办法亦称为单元电流法或倒推法。

2.6.3 替代定理

替代定理也称为置换定理，是集总参数电路理论中的一个重要的定理。从理论上讲，无论线性、非线性、时变、时不变电路，替代定理都是成立的。不过在线性时不变电路问题分析中，应用替代定理更加普遍，这里着重介绍在这类电路问题分析中的应用。替代定理可表述如下：在任一电路中，第k条支路的电压和电流为已知的Uk和Ik，则不管该支路原为什么元器件，总可以用以下3个元器件中任一个元器件替代，替代前后电路各处电流、电压不变。这3个元器件分别是：

1）电压值为Uk且方向与原支路电压方向一致的理想电压源。

2）电流值为Ik且方向与原支路电流方向一致的理想电流源。

3）电阻值为R=Uk/Ik的电阻元件。

为了清楚起见，下面通过一个具体例子（例2-19）来验证替代定理的正确性。

【例2-19】 在图2-31a所示电路中，试计算各支路电流及ab支路电压。

解：先用节点法来求解电路，列出节点方程，得

则Uab=U1=4V

设各支路电流为I1、I2、I3，由图可见I1=8A，由欧姆定律得I2=4A，再由KCL得I3=I1-I2=（8-4）A=4A。这些结果的正确性是毋庸置疑的。下面分3种情况进行分析。

1）将ab支路（视为替代定理表述中的k支路）用4V理想电压源替代，如图2-31b所示，并设各支路电流为I1、I2、I3。由图可见，Uab=4V，I1=8A，I2=4A，I3=I1-I2=（8-4）A=4A。

2）ab支路用4A理想电流源替代，如图2-31c所示，并设各支路电流为I1、I2、I3。由图可见，I1=8A，I3=4A，I2=I1-I3=（8-4）A=4A，Uab=4V。

3）ab支路用电阻Rab=Uab/I3=（4/4）Ω=1Ω来替代，如图2-31d所示，并设各支路电流为I1、I2、I3。由图可见，I1=8A，I2=I3=（0.5×8）A=4A，Uab=1×I2=（1×4）V=4V。

此例说明了在这3种情况替代后的电路中，计算出的各支路电流I1、I2、I3及Uab与替代以前的原图2-31a所示电路经节点法计算出的结果完全相同，验证了替代定理的正确性。

事实上，替代定理就是电路等效变换。在分析电路时，常常用它化简电路，辅助其他方法来求解。在新定理的推导、等效变换时也常用到它。在实际工程测试电路或试验设备中，采用假负载（或称为模拟负载）的理论依据就是替代定理。下面再举例说明替代定理在电路分析中的应用。

【例2-20】 对图2-32a所示电路，求电流I1。

解：这个电路初看起来比较复杂，但如果将短路线压缩，ab就合并为一点，3Ω与6Ω电阻并联等效为一个2Ω电阻，如图2-32b所示。再把图2-32b中的虚线框起来的部分看做为一个支路k，且知这个支路的电流为4A（由图2-32b中下方4A理想电流源限定），应用替代定理，把支路k用4A理想电流源替代，如图2-32c所示，再应用电源互换将图2-32c等效为图2-32d，即可解得

这里为把问题说得更清楚，画出的等效过程图较多。在实际解题时，并不需要画出每一步等效图。本题可直接画出图2-32d即可。可以看出，本题应用替代定理比直接用节点法、网孔法列方程求解要简单得多。