写在前面

数学学习离不开解题，中学阶段的数学学习更是如此，但是，并不是做的题越多解题能力就越强。美国数学教育家柯朗在一百多年前就指出：“两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。”在目前的高考备考过程中，试图通过大量、重复、机械的练习提高成绩的做法屡见不鲜。我们应该采取怎样的措施，才能通过解尽可能少的题目来促进学生对数学知识的理解，并提高数学分析问题、解决问题的能力呢？

不妨让我们回归本源去思考，即高中教学解题目的思维策略是什么？章建跃博士曾指出：“加深对概念的理解，掌握基础知识和基本技能；梳理一类问题的通法；学会思考，培养和发展数学能力，特别是数学思维能力是解题的基本目标。”反之，要提高数学解题能力，如果从加深对数学知识的本质理解、学会如何基于问题进行数学思考等角度入手，就能够避免“题海战术”，通过解尽可能少的题目达成提高数学解题能力的目的。

例如，已知函数f（x）=x2+ax+b的值域为[0，+∞），且不等式f（x）＜c的解集为（m,m+6），求c的值。显然，这是一道求参数c的值的问题，从宏观策略上讲，这类问题有两个思路：一是由已知条件建立关于c的方程，通过解方程，求出c的值；二是若参数c具有几何意义，可考虑通过数形结合，获得问题的答案。如果用思路一解决，利用值域为[0，+∞），可得a2-4b=0①；由f（x）＜c的解集为（m,m+6），可得关于x的方程x2+ax+b-c=0的两根为m和m+6，消去参数m，得62=a2-4（b-c）②，将①②联立，解得c=9，这种做法也可以叫作通法。如果从对知识理解的角度重新审视这道题，我们几乎能“看”出答案。这是由于二次函数f（x）=x2+ax+b的值域为[0，+∞），而函数值域的几何含义是函数图像在y轴上的“投影”，所以，将函数y=f（x）图像左右平移并不影响函数的值域。不等式f（x）＜c的解集为（m,m+6），此解集的区间端点虽然都含有参数m，但区间的长度却为定值6，故问题转化为c为何值时，直线y=c被抛物线y=x2+ax+b截得的线段长为6，又由于二次函数y=x2+ax+b与y=x2“全等”，且值域相同，问题等价于直线y=c被抛物线y=x2截得的线段长为6时，c的值等于多少？数形结合，易得c=9.这个解法之所以能“看出”答案，得益于对三个概念的本质理解，一是值域，从几何角度把它理解为函数图像在y轴上的投影，换句话讲，函数图像左右平移对其值域没有影响，这就是变化中的不变性，利用这个不变性，就为问题的转化提供了更多的维度；二是解集为（m,m+6），由于解集含有参数，从表面上看区间是变化的，但区间长度是6却是不变的，这也是找到了变化中的不变性；三是对二次函数y=x2+ax+b的理解，我们知道，函数y=ax2+bx+c的图像是通过y=ax2平移得到的，也就是平移前后的图像的形状与大小是一样的，所以是“全等”的。实际上，对称与旋转变换也具有这种性质，当遇到距离或面积等问题时，利用这种不变性就可以将复杂问题转化为简单问题。这样看来，这个解法并不需要什么技巧，而是需要对题目中每一个概念理解得更深一些。试想，如果一味地刷题，而不是把解题的重心放在概念的理解上，那么，做再多的题，解题能力也很难有实质性地提高。

再比如，在平面直角坐标系中，已知A（1，3），B（6，1），C（3，4），若P（x,y）是三角形ABC区域内（包括边界上）的一点，求xy的最大值。此题对学生而言是一个陌生的问题，因为此前学习的这类最值目标函数大多都是线性的，例如x+y,x-y等，如何才能找到解题思路呢？——类比！既然都是二元函数的最值问题，虽然形式上不同，但在方法上一定有相近的地方，对于形如x+y,x-y的目标函数，我们是通过引入参数t，令x+y=t，利用t的几何意义直观求解的。对于xy，我们同样引入参数k，令xy=k，即y=k/x，这是学生熟悉的反比例函数，图象为等轴双曲线，此时，问题转化为“当双曲线沿着对称轴y=x远离双曲线中心，且与三角形区域有公共点时k的最大值”，结合图形直观，当双曲线经过y=x与线段BC交点时k最大，从而顺利求解。在这里，基于问题，通过模式识别的思维方法与“类比”的思维方法在寻找解题思路的过程中起到了至关重要的作用，因此，注重思维方式、方法对提升解题能力至关重要。

本书正是从对数学知识的本质理解和数学思维方法这两个角度出发，对于中学数学中的函数与导数、解析几何两大类难点问题进行解析，并给出了两类问题的求解策略，从而从根本上避免了通过大量做题来提升能力的低效方法。同时，按照这两个维度，在不增加额外知识（以现有高考知识储备）的条件下，还可以较为顺利解决自主招生与竞赛中的相关问题。本书作为作者多年教学经验的总结，希望能给学生在高考备考、自主招生和竞赛等方面提供切实的帮助，同时，也希望本书对教师的解题教学起到抛砖引玉的作用。

本书作为个人经验的积累，有些观点和解法难免有偏颇之处，肯请读者提出批评与建设性建议，以便不断改进。

杨林军

2019年12月于北京