1.2 统计学中的几个基本概念

1.2.1 随机性与概率

明天会下雨吗？这只股票的价格会上涨吗？公司今年的销售额可以达到多少？旅游途中会不会发生意外事故？我们每个人的寿命有多长？抛硬币时会得到正面还是反面？面对这些问题时，我们无法事先给出百分之百确定的答案，或者说，所有这些事件的结果无法百分之百准确地预测，这就是随机性（randomness）。

那么，我们又该如何进行决策、制订自己的行动计划呢？幸运的是，当我们把大量重复的个体随机事件放在一起时，往往会发现其中令人惊奇的规律。如果将同一枚硬币抛掷100次，会得到差不多50次正面朝上、50次反面朝上的结果；在过去10年时间里，中国每年因交通事故死亡的人数都在10万左右；2018年我国居民人均预期寿命为77岁。

显然，在现实世界中，个体的随机性无法彻底消除。统计学正是在接受随机性的前提下，通过发展出一套科学的原则和方法，巧妙地挖掘出大量随机事件中可能隐藏的规律和模式，并对其进行量化测度，从而帮助人类认识世界，做出合理决策。其中，统计学最重要的量化工具和理论基石，便是概率。

概率（probability）是一个在0到1之间取值的数，描述的是某个特定事件发生的机会有多大。

我们已经知道，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是0.5；人们如果每天抽烟超过5支，75岁死于肺癌的概率为25%；如果30岁左右戒烟，死于肺癌的概率不到2%；如果50岁戒烟，死于肺癌的概率不到6%。

1.2.2 变量与数据

人们利用各种统计方法研究现实问题，无非是希望得出有关某一研究对象的决策结论。政府通过统计调查观察每年的人口总数、国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）、进出口总额，以便制定更为合理有效的宏观政策；企业通过观察每个月的生产量、成本、销售额，以便筹划最优的投入产出安排；投资者通过观察某只股票每日的成交量、开盘价格和收盘价格，以便决定未来的买入卖出计划。

在上述过程中，人们观察的是“一个国家”“一个企业”或“一只股票”，这些研究对象的某些方面的特征，并且每次（每年、每月或每日）观察的结果可能不尽相同。一个国家每年的人口总数、GDP、进出口总额都可能发生变化；一个企业每月的生产量、成本、销售额也可能有所波动；一只股票每天的成交量、开盘价格和收盘价格更不会恒定不变。因此，这里的“人口总数”“GDP”“进出口总额”“生产量”“成本支出”“销售额”“成交量”“开盘价”和“收盘价”等就是统计学中的另一个重要理论基石——变量。

依据上面的描述，变量（variable）是指某一特定研究对象可以取两个或更多个可能值的特征或属性。每次观察变量记录下来的结果，就形成了数据（data）。

如果变量每次的观察结果可以用数字来记录，那么这样的变量就称为定量变量（quantitative variable）或数值变量（metric variable），记录下来的数据也就相应地称为定量数据（quantitative data）或数值数据（metric data）。上面所提到的这些变量均属于定量变量，但有所不同的是，“人口总数”“生产量”“成交量”等变量只能取离散的数值，其取值可以一一列举，这是定量变量中的离散变量（discrete variable）；而“GDP”“进出口总额”“成本支出”“销售额”“开盘价”和“收盘价”等变量可以在一个或多个区间内取任何可能的值，其取值是连续不断的，不能一一列举，这是定量变量中的连续变量（continuous variable）。

如果变量每次的观察结果记录的是文字或字符，代表的只是研究对象的某一类别或属性，那么这样的变量就称为定性变量（qualitative variable）或类别变量（categorical variable）。例如，医院观察每个出生婴儿的“性别”，记录“男”或“女”；网上购物平台观察每个消费者的购物地点，记录不同的省份城市；保险公司调查每个投保人的受教育程度，记录“本科以下”“本科”“研究生”等不同学历；政府调查每个公民对现行税收政策的满意程度，记录“不满意”“一般”“非常满意”等不同评价。这些定性变量的观察结果就是定性数据（qualitative data）或类别数据（categorical data）。进一步地，如果变量不同的类别或属性之间没有先后顺序，就是无序类别变量；反之，则称为有序类别变量。显然，“性别”和“购物地点”属于无序类别变量，而“学历”和“满意程度”则属于有序类别变量。值得一提的是，有时候为了方便，人们也可能用数字来代替文字或字符，以记录上述类别数据。例如，用1和2分别代表“男”和“女”；用1到3分别代表不同的满意程度等。但这些数字本身没有真正的数值含义，仍然只是对事物的一个简单分类，这也正是类别数据与数值数据的根本区别所在。

图1－1展示了变量的基本分类。

1.2.3 总体与样本

在收集数据的过程中，我们希望研究的所有个体组成的集合就称为总体（population）。例如，国家制定社会经济政策时，需要了解全国所有居民的收入信息，那么全国所有居民就构成了一个总体；某公司计划推出一款新口味饮料时，需要预估消费者的市场反应，那么该产品的所有潜在消费者就构成了一个总体。

有的时候也许可以获得总体中每个个体的数据。例如，我国政府每隔一定时期进行的人口普查。但由于受资金、时间以及不断变化的环境条件等因素的影响，更多的情况下，研究者往往只能获取部分个体的数据。例如，某在校大学生设计了一套项目方案，想要分析全校学生在“双11”当日的网上购物支出情况，受条件限制，最终仅抽取了300个同学进行调查。显然，这300个被抽中的同学只是全校学生（即研究总体）中的一部分，我们把这部分个体组成的子集合就称为一个样本（sample），而抽中的个体的数量（300人）就是样本的大小，即样本量（sample size）。

总体中的每个个体也称为总体单位或单元（element）。它可以是一个人，一棵植物，一块土地或一个国家，取决于研究的目的和数据收集的适用性。数据收集的过程就是对总体单位某一特征（即变量）的度量。表1-1给出了一些变量、变量取值及总体单位的不同示例。