刘徽《九章算术》序
原文
昔在庖牺氏
始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻注1之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。
注1 六爻：卦中“—”“——”的符号称为“爻”，“—”为阳爻，“——”为阴爻。六十四卦的每一卦由六个“爻”组成，如乾卦“
”由六个阳爻组成，不同的排列组合会形成不同的卦名，故爻亦表示变化、变动，如《易·系辞》说：“爻者，言乎变者也。”
往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。
徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。
《周礼·大司徒职》，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里注2。夫云尔者，以术推之。按：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筩南望日，日满筩空，则定筩之长短以为股率，以筩径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美。辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。博物君子，详而览焉。
注2 南戴日下万五千里：参见序图1，《周髀算经》李淳风注曰：“夏至王城望日（A），立两表（BC，DE）相去二千里（BD=2000里），表高八尺，影去前表一尺五寸（BF=15寸），去后表一尺七寸（DG=17寸）。旧术：以前后影差二寸（DG-BF=2寸）为法，以前影寸数乘表间（BF×BD）为实。实如法
得万五千里，为日下去南表里即
里。”
（序图1）
这些测量公式可用相似三角形的比率算得。
这个公式也可用相似三角形勾股比取得，试算如下：
（序图2）
△ABC∽△EFC，
故AB/EF=AC/EC，
译文
上古庖牺氏最早画八卦，以了解神妙莫测的变化结果，以类推万物的情状，创作九九之术，以符合六爻的变化法则。到黄帝时，神化之，引申之，于是创建历法纲纪，协调六吕六律，用以考核道之本原，然后两仪四象精微之气可以得到验证。有记载说隶首创造了数，这方面的详细情况不得而知。考察周公制礼时就有九数，九数的流传，就是今天的《九章》。
八角星纹图案
在史前社会，人们已普遍通过立杆测影，明确四方四隅，并与星空方位相配合，确定四时八节，八角星纹图案的绘制，便是这种现象的结果。图为八角星纹图案及其拓本。
过去残暴的秦朝焚烧书籍，致使经学著作散佚损毁。自那时以后，汉北平侯张苍和大司农中丞耿寿昌都以擅长算术名闻于世。张苍等依据残留下来的旧数学书籍，对各种数学著作分别作了适当的删补。所以校对其细目与古代著作不尽相同，而所论述的方式多接近当时的习惯用语。
刘徽自幼学习《九章》，年长后又详细阅览。观察阴阳的区别，总论算术的根源，在寻求玄妙的闲暇中，终于领悟了其真意。因此虽然我比较愚钝，也敢竭尽全力搜集所见到的资料，为《九章》作注释。事理按类别来推究，便各有所归，所以枝条虽分而主干相同，可知发生在同一根源。进而用言辞分析原理，用图形解剖结构，希望做到简约而周全，晓畅而不累赘，使阅读者领悟其大半。而且算术作为六艺之一，古代以宾客之礼招揽贤能之人，来教导贵族子弟。虽然称做“九数”，但它却能穷究纤毫细微之处，探测到无穷尽的远方。至于以算法相传，也如同规、矩、度、量可以全部得到一样，并不是很难办到。当今喜好算术的人太少，所以世上虽有许多通达的学者，但也未必能明晰此道啊！
罗盘
罗盘是风水家用来勘测地形的主要工具，它的磁针被放置在具有许多同心环的中心。这些环标示出了时间的分界线以及五行、星宿、五感、二十八星宿及季节等。风水家再根据阴阳理论对所有这些因素进行解释，并作出预言。
《周官·大司徒职》记载：夏至正午立八尺标杆，其影子有一尺五寸，称该地为“地中”。其注说“南戴日下万五千里”。这样说，是用算术推导出来的。考察《九章算术》中立四根标杆望远，及通过树木望山的算法，都是端点和旁点相互可见，没有遥远到像这类情况的。既然如此，则张苍等人提出的算法还没有广博到囊括尽所有算法的程度。刘徽想：“九数”中有“重差”的名目，推究其宗旨是为了应用在这方面。凡望极高、测绝深而兼求其远者，必用“重差”的算法。勾股必用“重差”作为比率，所以称之为“重差”。在洛阳城内立南北两根标杆，令其高为八尺。假使南北两标杆在同一地平面上，在同一天测量其正午日影，取“景差”作除数，表高乘表间作被除数。除数除被除数所得加表高，即为“日去地”之数。用南表之影长去乘表间距作被除数（除数同上，不变），除数除被除数，所得即为从南表到南戴日下的距离。以“南戴日下”及“日去地”为勾、股，而求其弦长，即“日去人”之数。以直径为一寸的竹筒向南观测太阳，太阳光充满竹筒，则规定筒的长短作为股率，以筒的直径为勾率，以“人去日”之数为大股，而大股对应的勾即为太阳的直径。这样即便是天的圆穹也可以度量，又何况是泰山之高和江海之广呢。刘徽根据流传至今的史籍并略举天地间的实物为例，考证论述其数理，记载在书上，以阐述世上算法的美妙。于是又发明“重差”算法，并为之注解，以探究古人的真意，补充在勾股章之下。度量高度用重表法，测量深度用累矩法，对“孤离”无着的观测物须观察三次，孤离而又旁求者须观测四次。触类旁通，那么即便是幽远隐蔽的目标，都在测算的范围内。博学之士，宜详加审读。