2.1　导数的概念

2.1.1　导数的定义

1.两个引例

【引例1】　设物体沿直线作变速运动的方程为s=s（t）（路程与时间的关系），求物体在t0时刻的瞬时速度v（t0）.

分析　由于物体作变速直线运动，故物体在每一个t时刻的速度都不同.可以先求物体从t0时刻开始的小段Δt时间内运动的平均速度，再利用函数的极限思想解决此问题.

解　（1）计算从t0时刻开始的小段Δt时间内的平均速度.

当时间t从t0变到t0+Δt时，物体运动的距离是Δs=s（t0+Δt）-s（t0），所以物体在Δt时间内的平均速度是，此时，t0可看作常量，比值是Δt的函数，当时间间隔|Δt|越小，平均速度就越接近t0时刻的瞬时速度v（t0）.

思考：用什么数学思想处理比值 ，可以得到t0时刻的瞬时速度？

（2）取极限（令Δt→0），可以求出物体在t0时刻的瞬时速度v（t0）.

根据函数的极限定义，有

【引例2】　求曲线y=f（x）在点P0（x0，f（x0））的切线的斜率.

分析　如图2.1.1所示，由于曲线f（x）上每一点P0（x0，f（x0））的切线的斜率不同，可以在P0点附近找一点P，先求割线P0P的斜率，再利用函数的极限思想解决此问题.

解　（1）给x0一个微小的改变量Δx，计算割线P0P的斜率.

给x0一个改变量Δx，那么点P0（x0，f（x0））变到点P（x0+Δy0，f（x0+Δx）），从而得到割线P0P的斜率，此时，x0可看作常量，比值是Δx的函数.当|Δx|越小，割线P0P越靠近P0点的切线l，割线斜率就越接近P0（x0，f（x0））点的切线的斜率.

思考：用什么数学思想处理比值 ，就可以得到f（x）在P0点的切线斜率？

（2）取极限（令Δx→0），可以求出曲线y=f（x）在点P0（x0，f（x0））的切线的斜率.

根据函数的极限定义，有

上面的两个引例，一个是运动速度问题，一个是几何曲线切线斜率问题，虽然它们表示的实际具体问题不同，但是解决问题所建立的数学模型、求解的思想方法却是一样的，都可归纳为函数的相对变化量的极限，即.很多实际问题，如某时刻的电流强度、比热、气流强度，某点的线密度、面密度、体密度等，都可以应用这个模型来计算，它们统称为局部变化率的问题.我们撇开实际意义，把抽象出的数学模型给予如下的定义.

2.导数的定义

定义　设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应的函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；若Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0可导，并称此极限为函数y=f（x）在点x0的导数.记为f′（x0），即

也可记作 .

因此，引例1说明：已知物体作变速直线运动的运动方程s=s（t）时，那么物体在t0时刻的瞬时速度v（t0）=s′（t0）；引例2说明：曲线y=f（x）在任一点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率为k=f′（x0）.

如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内的每一点都可导，就称函数f（x）在开区间（a，b）内可导.这时，对于开区间（a，b）内的每一个x0值，都有f（x）的一个确定的导数值f′（x0）与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f（x）的导函数，简称为导数，记作y′，.

注意

f′（x0）与f′（x）的区别：f′（x）称为函数f（x）的导函数，其中的x是可以变化的，因此f′（x）是函数，而f′（x0）是导函数f′（x）在x0的取值或函数值，是常数.

仿照函数左右极限的定义，可以定义极限

分别为函数y=f（x）在点x0处的左导数、右导数.记为f′（x0-0），f′（x0+0）.

显然有：

定理1　函数y=f（x）在点x0处可导的充分必要条件是f（x）在点x0点的左、右导数都存在且相等.

2.1.2　部分基本初等函数的导数

由导数的定义知道求函数y=f（x）的导数的步骤：

【例1】　求常量函数f（x）=C（C是常数）的导数.

例1告诉我们：只要是常数，其导数就是零.比如.

思考：导数为零的函数是常数吗？

【例2】　求幂函数f（x）=xn（n∈N，N是自然数）的导数.

解　由二项式定理

更一般地，幂函数f（x）=xα（α∈R）的导数

（xα）′=α·xα-1.

常用的结论：.

【例3】　（1）求函数的导数；

（2）若函数，求.

解　（1）化简函数，.

（2）化简函数，所以，，从而

【例4】　求指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的导数.

由1.4节例3可知：　　，

故指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的导数

（ax）′=axln a.

特别地

（ex）′=ex.

【例5】　求函数的导数.

解　化简函数，，所以，.

【例6】　求对数函数f（x）=logax（a>0，a≠1）的导数.

故对数函数f（x）=logax（a>0，a≠1）的导数

特别地

【例7】　求正弦函数f（x）=sin x的导数.

故正弦函数f（x）=sin x的导数

（sin x）′=cos x.

同理可得，余弦函数f（x）=cos x的导数

（cos x）′=-sin x.

2.1.3　导数的实际意义及应用

1.导数的几何意义

由引例2可知，函数f（x）在x0处的导数f′（x0）是曲线f（x）在该点P0的切线l的斜率，如图2.1.2所示，即k=f′（x0）；而表示曲线f（x）在该点的法线l1的斜率.故曲线f（x）在x0处的切线方程l为

y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），

曲线f（x）在x0处的法线方程l1为

【例8】　求曲线y=ln x在P（e2，2）处的切线方程，法线方程.

解　曲线y=ln x在P（e2，2）处的切线斜率，于是法线斜率

故y=ln x在P（e2，2）处的切线方程为

y=ln x在P（e2，2）处的法线方程为

y-2=-e2（x-e2），即e2x+y-e4-2=0.

2.导数的经济意义

常见的经济函数有成本函数C（Q）、收益函数R（Q）、利润函数L（Q），Q表示产量或销售量.经济函数f（x）的导数f′（x）称为边际函数.如边际成本函数C′（Q），边际收益函数R′（Q），边际利润函数L′（Q）.

由于经济函数中的自变量Q的取值是离散量，因此，在应用导数分析问题时，必须将“离散”的量看成“连续”的量，但是在对求导的结果进行经济解释时，又必须将“连续”的量看成“离散”的量，而且它们的最小变化是一个单位.

（1）边际成本C′（Q0）

C′（Q0）≈C（Q0+1）-C（Q0）或C′（Q0）≈C（Q0）-C（Q0-1），

所以，边际成本C′（Q0）的经济意义：近似表示在产量为Q0的基础上，再多（或少）生产一个单位产品所增加（或减少）的成本.

（2）边际收益R′（Q0）

由R′（Q0）≈R（Q0+1）-R（Q0）或R′（Q0）≈R（Q0）-R（Q0-1）可得边际收益R′（Q0）的经济意义：近似表示在销售量为Q0的基础上，再多（或少）销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.

（3）边际利润L′（Q0）

由L′（Q0）=R′（Q0）-C′（Q0）得L′（Q0）≈[R（Q0+1）-R（Q0）]-[C（Q0+1）-C（Q0）]或L′（Q0）≈[R（Q0）-R（Q0-1）]-[C（Q0）-C（Q0-1）]，可得边际利润L′（Q0）的经济意义：若增加（或减少）一个单位的产量所引起的生产支出小于销售收入，则销售者应该继续增加生产来增加利润；若增加（或减少）一个单位的产量所引起的生产支出大于销售收入，则销售者应该减少产量或提高产品单价来增加利润；若增加（或减少）一个单位的产量所引起的生产支出等于销售收入，则销售者在生产产量为Q0处可获最大利润.

3.导数的物理意义

设物体作变速直线运动的方程是s=s（t），那么：（1）物体在t0时刻的瞬时速度为v（t0）=s′（t0）；（2）物体在t0时刻的瞬时加速度为a（t）=v′（t0）（由于）.

2.1.4　可导与连续的关系

思考：函数在某点的可导性和连续性是函数的两个重要特性，两者有何关系？

分析　设函数y=f（x）在x0处可导，因为

所以可以得到：

定理2　函数在某点可导则必连续，反之不一定成立.

如图2.1.3所示函数y=|x|在x=0处连续，但由于

于是 不存在，所以函数y=|x|在x=0处不可导（一般地，尖点都是不可导点）.