1.1　函数

客观世界是变量构成的集合，而变量之间通常是有关系的，变量间的数量关系常常用函数来概括描述.

1.1.1　函数及其特性

1.函数的概念

【引例】　高中物理学过，在弹性限度内，将弹簧拉长或压缩时所用“外力的大小”是一个变量，弹簧受外力由静止位置“位移一段距离”到另一个位置也是一个变量，这两个变量之间有什么数量关系呢？实验表明：如果“外力”将弹簧拉长或缩减x（m）时，所用的外力为F（N），则变量“外力F的大小”与变量“弹簧位移的距离x”的数量关系是：F=kx（k<0），k是劲度系数，k<0表示矢量“外力”与矢量“位移”的方向相反，称这种数量的对应关系F=kx（k<0）为两变量的函数关系.也就是说，当弹簧位移量x取定某一数值时，外力F就会按照这个对应关系有一个确定的数值与之对应.

定义1　设x和y是某一变化过程中的两个变量，假设x的变化范围是实数集D⊆R，如果对于D中的每一个数值x，按照某种对应法则f（即对应规律f：x→f（x）），都有唯一确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数.记作y=f（x），x∈D.其中x为自变量，y为因变量，x的取值范围D称为函数y=f（x）的定义域（又称自然定义域），而数集f（D）={y|y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）的值域.当x=x0时，与x0相对应的值称为函数值，记作或f（x0）.

函数的定义域是使函数y=f（x）有意义的x的集合.

函数常见的表示方法有三种：解析法（如上面的引例）、图像法、列表法.

例如，某气象站用自动温度记录仪记下某日气温的变化，如图1.1.1所示.这是用图像法表示一昼夜里温度T（℃）与时间t（h）之间的对应关系.

又如，某学院高职课程“数学软件MATLAB”学习的平时成绩y（满分10分）与平时作业正确率x之间的关系如表1.1.1所示.

这是用列表法表示的函数关系，其定义域是{x|0≤x≤100％，x∈R}.

在一些专业中，比如电子信息类专业，一些函数还需要用级数来表达，如

显然，函数的定义域和对应法则是函数的两个要素，也就是说，如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关.如函数与g（x）=1是不同的函数，因为函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），函数g（x）的定义域是（-∞，+∞）；而函数f（x）=sin2x+cos2x与g（t）=1是相同的函数.

2.分段函数

在科学研究及现实生活中，有些函数不能用一个解析式表示出来.如果对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集.

【例1】　函数

称为符号函数，其图像如图1.1.2所示.它的定义域D=（-∞，+∞），值域R={-1，0，1}.对任何实数x，有x=sgn x·|x|.在通信中，sign（t）代表信号.sign（t）=1表示t>0时，信号的幅度是1；sign（t）=0表示在t<0时，信号的幅度是-1.

【例2】　正弦交流电I（x）=sin x经二极管整流后变为

k是整数，其图像如图1.1.3所示，它的定义域D=（-∞，+∞），值域R=[0，1].在电类专业中，所谓二极管整流即单向导电性：正的交流电通过，负的交流电被阻止.

【例3】　单位阶跃函数及其频谱图.

如图1.1.4所示，单位阶跃函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），值域R={0，1}.

如图1.1.5所示，单位阶跃函数的频谱函数是f（t）经过傅里叶变换后的像函数：，频谱函数的模|F（f（t））|称为振幅频谱，|F（f（t））|的图像称为频谱图（j是虚数单位，δ-函数是单位脉冲函数），单位阶跃函数的频谱图的定义域是D=（-∞，0）∪（0，+∞），值域R=（0，+∞）.在通信中的故障检修往往是检查频谱图。

【例4】　设函数，求定义域和函数值，f（0），f（2），并作出此函数的图像.

解　函数的定义域D=（-∞，+∞）；

其图像如图1.1.6所示.

3.函数的特性

（1）函数的单调性

设函数y=f（x）在区间I内有定义，对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，若有f（x1）≤f（x2），则称函数y=f（x）在区间I内是单调上升函数（或增函数）；当x1<x2时，若有f（x1）≥f（x2），则称函数y=f（x）在区间I内是单调下降函数（或减函数），区间I称为函数的单调区间.通常，函数值不相等的，此时称y=f（x）为“严格单调上升函数”或“严格单调下降函数”.

注意

①说函数的单调性一定要指明它是在哪个区间具有何种单调性，若不指明单调区间，则指函数y=f（x）在其整体定义域内的单调性.如函数y=x3是单调上升函数是指它在定义域（-∞，+∞）内单调上升，而函数y=x2在定义域（-∞，+∞）内虽然不是单调函数，但它在（-∞，0）内单调下降，在（0，+∞）内单调上升.

②单调上升函数的图像是随着x值的增大而上升的曲线；单调下降函数的图像是随着x值的增大而下降的曲线.

（2）函数的奇偶性

设函数y=f（x）的定义域D关于原点对称，若对任意的x∈D，都有f（-x）=-f（x），则称函数y=f（x）为奇函数；若对任意的x∈D，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数.如果函数y=f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，则称它为非奇非偶函数.

注意

①具有奇偶性的两个函数在公共定义域中，奇函数与奇函数的代数和、奇函数与偶函数的积或商是奇函数；奇函数与奇函数的积或商，偶函数与偶函数代数和、积或商是偶函数；而奇函数与偶函数的代数和却是非奇非偶函数.如 是奇函数，而y=sin x+cos x是非奇非偶函数.

②奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于坐标轴对称.

（3）函数的有界性

设函数y=f（x）在区间I内有定义，若存在一个正数M，使得对于任意的x∈I，都有f（x）≤M，则称函数y=f（x）在I内有界，否则称函数y=f（x）在I内无界.注意：函数y=f（x）在I内有界，从图形直观地看，其图像介于两条水平直线（即上、下界）之间.如反正切函数y=arctan x的图像在两条水平直线之间.

（4）函数的周期性

对于函数y=f（x），若存在正数T，使得对于任意的x∈D，有x+T∈D，且有f（x+T）=f（x）恒成立，则称函数y=f（x）为周期函数，满足这个式子的最小正数T称为函数的最小周期，简称周期.如正弦函数y=sin x与余弦函数y=cos x的周期是2π，正切函数y=tan x与余切函数y=cot x的周期是π.

注意

①不是每个周期函数都有最小正周期的，比如狄利克雷函数

是周期函数，任何有理数r都是它的周期，但是它没有最小正周期（因为不存在最小的正有理数）.狄利克雷函数的特征：没有解析式；没有图形；没有实际背景（将函数从解析式、从几何直观、从客观世界的束缚中解放出来）.

②周期函数每隔一个周期，图像重复出现.比如正弦函数y=sin x与余弦函数y=cos x的周期是2π，正切函数y=tan x与余切函数y=cot x的周期是π.

4.反函数

设有函数y=f（x），若对函数值域内的每一个y值，按照对应法则f，在函数的定义域内有唯一的x值与之对应，那么变量x是变量y的函数用x=f-1（y）来表示，称函数x=f-1（y）为函数y=f（x）的反函数.习惯上，记函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.

注意

①函数y=f（x）与函数y=f-1（x）互为反函数.原函数y=f（x）的定义域是反函数y=f-1（x）的值域，原函数y=f（x）的值域是反函数y=f-1（x）的定义域.

②只有在区间（a，b）内单调的函数y=f（x）才有反函数y=f-1（x），并且它们具有相同的单调性.如函数y=sin x在 上单调上升，所以它在该区间上有反函数y=arcsin x，并且反函数y=arcsin x在[-1，1]上也是单调上升函数；但是函数y=sin x在定义域（-∞，+∞）内不是单调函数，所以它在定义域（-∞，+∞）内也没有反函数.

③在同一坐标平面内，互为反函数y=f（x）与y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.如图1.1.7所示，函数y=2x与y=log2x互为反函数，y=x3与 互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.

1.1.2　初等函数

1.基本初等函数

在微积分学中将常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为六类基本初等函数.

（1）常量函数y=c（c为常数）

常量函数的定义域是（-∞，+∞），值域是{c}，其图像是过点（0，c）且平行于x轴的一条直线，如图1.1.8所示.

（2）幂函数y=xα（α为实常数）

常见的函数，y=x，y=x2，y=x3等都是幂函数，如图1.1.9所示，幂函数的定义域随α的不同而不同，如的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）的定义域是[0，+∞），的定义域是（0，+∞），y=x2的定义域是（-∞，+∞），可见幂函数的公共定义域是（0，+∞）.

可以看出，幂函数y=xα的图像都过（1，1）点，且当α>0时，幂函数y=xα的图像在区间[0，+∞）内单调上升；当α<0时，幂函数y=xα的图像在区间（0，+∞）内单调下降.

（3）指数函数y=ax（a>0且a≠1，a为常数）

指数函数的定义域是（-∞，+∞），值域是（0，+∞）.当0<a<1时，函数图像单调下降，如图1.1.10（a）所示；当a>1时，函数图像单调上升，如图1.1.10（b）所示.

（4）对数函数y=loga（a>0且a≠1，a为常数）

对数函数与指数函数互为反函数，它的定义域是（0，+∞），值域是（-∞，+∞）.当0<a<1时，函数图像单调下降，如图1.1.11（a）所示；当a>1时，函数图像单调上升，如图1.1.11（b）所示.

以10为底的对数函数称为常用对数函数，记作y=lgx；以e为底的对数函数称为自然对数函数，记作y=ln x，其中e是一个无理数，e=2.718281828459…

（5）三角函数

三角函数指正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x、正切函数y=tan x、余切函数y=cot x、正割函数y=sec x和余割函数y=csc x.正弦函数y=sin x，余弦函数y=cos x的定义域都是（-∞，+∞），值域都是[-1，1]，都是以2π为周期的周期函数.正弦函数y=sin x是奇函数，图像如图1.1.12所示.余弦函数y=cos x是偶函数，图像如图1.1.13所示.

正切函数y=tan x的定义域是，余切函数y=cot x的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}，它们的值域都是（-∞，+∞），都是以π为周期的周期函数.正切函数y=tan x是奇函数，图像如图1.1.14所示.余切函数y=cot x是奇函数，图像如图1.1.15所示.

正割函数y=sec x是余弦函数y=cos x的倒数，定义域是，余割函数y=csc x是正弦函数y=sin x的倒数，定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}.

六个三角函数在各自的定义域内都不是单调函数，当然在定义域内没有反函数.

（6）反三角函数

反三角函数包括反正弦函数y=arcsin x、反余弦函数y=arccos x、反正切函数y=arctan x、反余切函数y=arccot x等，它们都是有界函数.

反正弦函数y=arcsin x、反余弦函数y=arccos x的定义域都是[-1，1]，反正弦函数y=arcsin x的值域是，它是单调上升且有界的奇函数，图像如图1.1.16所示.

反余弦函数y=arccos x的值域是[0，π].它是单调下降且有界的非奇非偶函数，图像如图1.1.17所示.

反正切函数y=arctan x、反余切函数y=arccot x的定义域都是（-∞，+∞），反正切函数y=arctan x的值域是，它是单调增加且有界的奇函数，图像如图1.1.18所示.

反余切函数y=arccot x的值域是（0，π），它是单调减少且有界的非奇非偶函数，图像如图1.1.19所示.

【例5】　求下列反三角函数值：

（4）arctan（-1）.

解　（1）由于，且，故；

（2）由于，且，故；

（3）由于，且，故；

（4）由于，且，故.

2.复合函数

定义2　设y=f（u），u=φ（x）是两个函数，如果函数u=φ（x）的值域与函数y=f（u）的定义域的交集非空，则称函数y=f（φ（x））是由y=f（u）和u=φ（x）复合而成的函数，简称复合函数，其中u称为中间变量（也称函数y=f（u）为外层函数，u=φ（x）为内层函数）.

复合函数可以由两个函数复合而成，也可以由有限多个函数复合而成.例如，函数y=ln（x2+2x）由函数y=lnu和u=x2+2x复合而成；函数y=arctan e2x-1由函数y=arctan u，u=ev和v=2x-1复合而成.

注意

不是任意两个函数都可以构成一个复合函数.例如，y=arccos u和u=x2+2就不能构成复合函数，因为u=x2+2的值域[2，+∞）与y=arccos u的定义域D=[-1，1]的交集为空集.

怎样将一个复合函数分解成若干个基本初等函数或简单函数呢？（这里的简单函数是指由基本初等函数经过有限次四则运算所得的函数）其分解方法是寻找u，使y=f（u）是基本初等函数或简单函数，再逐步“由外到里，逐层分解”.

【例6】　指出下列复合函数由哪几个基本初等函数或简单函数复合而成：

（4）y=（x3+3x）n，n是常数；　　（5）y=sin2x2.

解　（1）函数y=（x+4）10由y=u10，u=x+4复合而成；

（2）函数y=3arccos x由y=3u，u=arccos x复合而成；

（3）函数由y=3lnu，复合而成；

（4）函数y=（x3+3x）n由y=wn，w=x3+3x复合而成；

（5）函数y=sin2x2由y=u2，u=sinv，v=x2复合而成.

3.初等函数

定义3　由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的，并能用一个式子表示的函数，称为初等函数.

如函数都是初等函数.需要注意的是有些分段函数不一定是初等函数.比如函数是初等函数，因为可以由基本初等函数，u=x2复合而成；但符号函数就不是初等函数.

本教材中研究的函数主要为初等函数.