3.2　洛必达法则

在计算函数极限时，我们会遇到两种不能用极限法则来求极限的问题，即如果x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限或可能存在，也可能不存在，通常将这种极限称做不定式（未定式），并分别记为或.不定式还有其他几种类型：0·∞，∞-∞，1∞，00，∞0等.在第1章中，我们讨论过极限，它就是不定式型的一个例子.对于这类极限，即使极限存在，也不能用“商的极限”法则，下面我们给出上述极限的一种简便且重要的计算方法：洛必达（L’Hospital）法则.

1.型不定式

定理1　若函数f（x），g（x）满足条件：

（2）在点a的某去心邻域内，f′（x）及g′（x）都存在，且g′（x）≠0.

（3）存在（或为无穷大）.

2.型不定式

定理2　若函数f（x），g（x）满足条件：

（2）在点a的某去心邻域内，f′（x）及g′（x）都存在，且g′（x）≠0.

（3）存在（或为无穷大）.

也就是说，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大.这种在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来确定不定式的值的方法，称为洛必达（L’Hospital）法则.

如果当x→a时，仍属型或型，且这时f′（x），g′（x）满足定理中的条件，则可以继续使用L’Hospital法则来确定，即

需要指出，在L’Hospital法则中，如果把x→a，换成x→a+，x→a-，x→-∞，x→+∞或x→∞时，定理中的结论仍然成立.

例1　求.

例2　求.

当我们每次使用L’Hospital法则时，都必须检验法则的条件是否满足，不然的话，可能会导致错误的结论。

例3　求.

例4　求.

例5　求（n为正整数，λ>0）

解　连续应用n次L’Hospital法则，有

3.其他不定式

除型，型的不定式，还有0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0等类型的不定式.这些不定式的极限，我们可将其化为型或型，然后再用L’Hospital法则求其极限.

如果乘积f（x）·g（x）为不定式0·∞型，先将其改写成

使其成为 型 ，再用L’Hospital法则求其极限.

如果f（x）-g（x）为不定式∞-∞型，先将其化为型不定式.

使其成为 型，再用L’Hospital法则，求其极限

如果f（x）g（x）为1∞，00，∞0型不定式，可以将其令为y=f（x）g（x），两边取对数：ln y=glnf，使ln y成为0·∞型，然后利用0·∞的变化，求出ln y的极限，从而得出y=f（x）g（x）的极限.

例6　求

解　这是不定式0·∞型.

当x→0+时，上式是 型不定式，可用L’Hospital法则，得

例7　求.

例8　求

解　这是00型不定式，令y=xx，取对数ln y=xln x，当x→0+时，此式变为0·∞型不定式，得

例9　求

例10　求

解　因为｜sin x｜≤1，所以这是型不定式，因为显然这个极限是不存在的，又不是无穷大，所以不满足L’Hospital法则的条件，但可用下面方法计算：

从上列式中看到，L’Hospital法则是计算不定式极限的有利工具，但运用时，一定注意以下几点：

（1）必须是或型不定式.

（2）必须满足L’Hospital法则的条件.

（3）用L’Hospital法则求不定式极限，虽然十分方便，但它也不是万能的.有些不定式虽满足L’Hospital法则的条件，极限也存在，但用它无法求出极限.

（4）用L’Hospital法则，求不定式极限时，最好能与第1章求极限方法结合起来使用.

例11　求

解　直接用洛必达法则失效

方法1　用e-x同乘分子、分母；

方法2　用ex同乘分子、分母.

此时用洛必达法则