1.5　带宽

在通信系统中，必须仔细考虑每个用户所需要的频谱宽度，使有限的频带范围内能容纳更多的用户。在电路的设计时既要有足够的带宽让信号通过，又要能够有效抑制噪声。信号带宽是信号频谱所覆盖的频率范围。在通信工程中，带宽定义的时候只算正频率部分的频带宽度。

在通信和信息理论中，许多重要定理都是基于带宽严格受限于信道这个假设的，这表明在定义的带宽之外不能有信号功率。但所有带宽有限的信号都是无法实现的，而所有可实现的波形其绝对带宽又是无限的。任何实信号不可能既是持续时间有限，又是带宽有限的信号。然而几乎所有实际信号，其能量或功率的主要部分往往集中在一定的频率范围内，超出此范围的成分将大大减小。一般的我们将信号大部分能量集中的那段频带称为信号的有效带宽，根据实际系统的不同要求，常用的带宽定义方法有以下几种：

（1）绝对带宽B绝：指在该带宽之外的信号的频谱全为零。如图1-9所示，B绝=f2-f1，信号在正频率轴f1<f<f2之外频谱为零。该定义在理论上很有用，但对于可实现信号，绝对带宽为无穷大。

（2）3dB带宽（或半功率带宽）：3dB带宽指幅值等于最大值的时对应的频带宽度，幅值的平方即为功率，平方后变为1/2倍，在对数坐标中就是-3dB的位置了，也就是半功率点了，对应的带宽就是功率在减少至其一半以前的频带宽度，表示在该带宽内集中了一半的功率。如图1-10所示，B3dB=f2-f1，这里f1<f<f2，且有，f0为功率谱取最大值时的频率点。

（3）等效噪声带宽Beq：为假想的矩形频谱宽度，该矩形范围内的功率与实际频谱在正频率范围内的功率相等，如图1-10所示，即有

式中，Beq为等效带宽；f0为功率谱取最大值时的频率点。

（4）过零点带宽（或主瓣带宽）B0：数字通信最通用的带宽定义为过零点带宽B0，在该频带范围内包含了大部的信号功率，B0=f2-f1，此时，f2为振幅频谱的包络中高于f0的第一个过零点；如图1-10所示，f0为振幅频谱取最大值的频率点。对基带系统，f1=0；对带通系统，f1为振幅谱的包络中低于f0的第一个过零点。

（5）99％功率带宽：B99％=f2-f1，且f1<f<f2范围内包含有99％总功率，如图1-10所示，如果是B85％，则计算包含有85％总功率的带宽范围。

能量谱密度和功率谱密度为定义信号的带宽提供了有效的方法

◇能量信号的频谱密度——傅里叶变换

设s（t）为一个能量信号，则将它的傅里叶变换

定义为s（t）的频谱密度。

◇周期功率信号的频谱——傅里叶级数

设s（t）是一个周期为T0的周期功率信号。若它满足狄利克雷（Dirichlet）条件，则可展开成如下的指数型傅里叶级数

式中，傅里叶级数的系数Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称Cn为周期性功率信号的频谱。

【例1-3】求一个图1-11（a）所示矩形脉冲ga（t）和图1-12（a）所示的周期性矩形脉冲信号s（t）的频谱，其中矩形脉冲的表达式为

周期性矩形脉冲的表示式为

s（t）=s（t-T），　　-∞<t<∞

解　（1）首先求出矩形脉冲ga（t）的频谱密度Ga（f），即信号的傅里叶变换：

画出其频谱图如图1-11（b）所示。

（2）对周期性方波有

其频谱图如图1-12（b）所示。

由图1-11可见，矩形脉冲的频谱为连续谱，由过零点带宽的定义可知矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于（1/τ）Hz。而周期信号的频谱Cn是离散谱，由间隔为f0=1/T的谱线组成，且对于物理可实现的实信号，幅度谱是偶对称的，其谱零点带宽也为（1/τ）Hz。

另外，由图1-11和图1-12可知，对单个矩形脉冲信号，若其在时域里的持续时间越长，则其在频域中的过零点带宽就越窄。反之，可证若其时域里的持续时间越短，则其在频域中的过零点带宽就越宽。任何时域上持续时间无限长的信号在频域上带宽是有限的，时域持续时间有限的信号则频域带宽是无限宽的。

信号的时域脉冲宽度与其带宽成反比，因此信号的数据率越高，信号的带宽也就越宽。

信道的带宽决定了其通过的信号的带宽，因而对于有限带宽信道必须限制信号的带宽，即限制信号的数据传输速率；否则输出信号就会畸变。

在信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须匹配，即有如下的一些结论：

（1）信号与信道带宽相同且频率范围一致，此时信号能不损失频率成分地通过信道；否则，该信号的频率分量肯定不能完全通过该信道。

（2）带宽不同而且信号带宽小于信道带宽，此时若信号的所有频率分量包含在信道的通带范围内，信号能不损失频率成分地通过；此时若只有包含信号大部分能量的主要频率分量在信道的通带范围内，则通过信道的信号会损失部分频率成分，但仍可能被识别，正如数字信号的基带传输和语音信号在电话信道传输那样。

（3）带宽不同而且信号带宽大于信道带宽，此时若包含信号相当多能量的频率分量不在信道的通带范围内，这些信号频率成分将被滤除，信号失真甚至严重畸变。

（4）不管带宽是否相同，如果信号的所有频率分量都不在信道的通带范围内，信号无法通过；如果信号频谱与信道通带交错，且只有部分频率分量通过，信号失真。

信号的带宽与信道的带宽

◇信号带宽是信号频谱的宽度，也就是信号的最高频率分量与最低频率分量之差，譬如，一个由数个正弦波叠加成的方波信号，其最低频率分量是其基频，假定为f=2kHz，其最高频率分量是其7次谐波频率，即7f=7×2kHz=14kHz，因此该信号带宽为7f-f=（14-2）kHz=12kHz。

◇信道带宽则限定了允许通过该信道的信号下限频率和上限频率，也就是限定了一个频率通带。比如一个信道允许的通带为1.5～15kHz，其带宽为13.5kHz。

◇分析在信道上传输的信号时，不能总是认为其带宽一定占满整个信道，如电话信道，假定其频率范围为300～3400Hz，带宽为3.1kHz，而语音信号频谱则一般为100Hz～7kHz的范围。电话信道将语音信号频谱掐头去尾，因为语音信号的主要能量集中在中心的一些频率分量附近，所以通过电话信道传输的语音信号，虽有失真，但仍能分辨。