3.2.2　抽样定理

抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。模拟信号被抽样后，为了能在接收端由抽样所得样值序列重构原始模拟信号，关键是如何确定抽样频率，这就要用到著名的“奈奎斯特抽样定理”。根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理。对于信号m（t），设其最低频率为fL，最高频率为fH，则带宽B=fH-fL。若B≪fL，则称信号m（t）为带通型信号，否则为低通型信号。

1.低通抽样定理

一个频带限制在（0，fH）内的模拟信号m（t），如果以Ts≤1/（2fH）的时间间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则m（t）将能被所得到的抽样值完全确定。

证明　从频域角度更容易证明这个定理。抽样脉冲序列是一个周期为Ts的冲激序列δT（t），其时域和频域表达式分别为

可见，抽样就是在一系列离散点上对模拟信号取样值，利用冲激函数的筛选性质，抽样过程可以看成是原模拟信号与周期性冲激序列相乘，如图3-4所示。

抽样后的信号ms（t）的时域表达式为

设M（ω）是低通模拟信号m（t）的频谱，其最高角频率为ωH，利用频域卷积定理和傅里叶变换的性质可得到ms（t）信号的频域表达示为

式（3-2-4）表明，抽样后信号的频谱Ms（ω）由无限多个间隔为ωs的与M（ω）相同的频谱块相叠加而成，而其中位于ω=0处的频谱就是抽样前的模拟信号m（t）的频谱本身（只差一个系数1/Ts）。这意味着抽样后的信号ms（t）包含了信号m（t）的全部信息，抽样过程的时间函数及对应频谱图如图3-5所示。

由图3-5可知，如果ωs≥2ωH，Ms（ω）中相邻的M（ω-nωs）不重叠，只需接收端用一个截止频率为ωc（满足ωH≤ωc≤ωs-ωH）的低通滤波器，就能从Ms（ω）中取出M（ω），无失真地恢复原信号。但是如果ωs<2ωH，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，如图3-6所示，此时接收端就不可能无失真重建原信号。因此Ts=1/（2fH）是最大允许抽样间隔，它被称为奈奎斯特间隔，相对应的最低抽样速率fs=2fH称为奈奎斯特速率。

卷积定理

时域卷积定理：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积，即若

f1（t）↔F1（ω），f2（t）↔F2（ω）

则有

f1（t）*f2（t）↔F1（ω）·F2（ω）

时间函数的乘积↔各频谱函数卷积的1/（2π），即若

f1（t）↔F1（ω），f2（t）↔F2（ω）

则有

卷积定理揭示了时域与频域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。

以上证明了只要抽样频率fs≥2fH，抽样信号ms（t）中就包含信号m（t）的全部信息，否则，抽样信号的频谱会出现混叠现象，带来恢复信号的失真。

现在，我们研究利用N个抽样值来重建带限波形的问题。频域已证明，将Ms（ω）通过截止频率为ωH的低通滤波器便可得到M（ω），如图3-7（a）所示。设低通滤波器的传递函数为H（ω）（取截止频率为ωc=ωH）有

H（ω）相对应的时域表达式为

因频域中的相乘等于时域卷积，所以抽样序列信号通过放大倍数为Ts低通滤波器后输出的重建信号为

这里取Ts=2/（2fH），式（3-2-7）是重建信号的时域表达式，图3-7（b）所示为重建的波形，模拟信号的重建在频域上表现为利用低通滤波器取出中间的频谱块，在时域上可理解为抽样信号的多个冲激以抽样时间间隔依次送入低通滤波器，低通滤波器将依次输出多个Sa[ωH（t-nTs）]信号，这些信号间会错开抽样时间间隔，低通滤波器的输出最终是这若干Sa[ωH（t-nTs）]（n=0，±1，±2，…）信号叠加的结果，由图3-7可以看出，这些Sa[ωH（t-nTs）]（n=0，±1，±2，…）信号加权叠加的结果正好是原来的模拟信号，权值是m（t）在nTs时刻的抽样值为m（nTs）。

由低通抽样定理可以得到以下结论：

（1）已抽样信号的频谱Ms（ω），实际上是基带信号频谱M（ω）沿ω轴以2ωH做周期延拓形成的，且其频谱幅度有一个固定的衰减1/Ts。

（2）只要脉冲载波的重复周期Ts满足Ts≤1/（2fH），即（1/Ts）≥2fH，就不会出现频谱的重叠。

（3）如果让Ms（ω）通过理想低通滤波器，即可恢复出原基带信号的频谱M（ω）且不会产生失真。

【例3-4】已知某低通信号的频谱如图3-8（a）所示，则其最低抽样频率为多少？画出抽样频率最低时，抽样信号的频谱。

解　按低通抽样定理，则最低抽样频率为

以最低抽样频率为抽样频率时fs=2f0，代入式（3-2-4）有，，抽样信号的频谱如图3-8（b）所示。

为了避免混叠的发生，在实际应用中用A/D转换器对模拟信号进行采样之前应注意对模拟信号进行滤波（称为抗混叠滤波器，它实际上是一个低通滤波器），把频率高于1/2抽样频率的频率成分滤掉，这样采样之后的频谱才不会发生混叠，这是抽样中必不可少的步骤。

在实际应用中，恢复信号的低通滤波器也不可能是理想的，因此在实际应用中，抽样速率fs一般要比2fH选得大一些，例如，话音信号的最高频率限制在3400Hz，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fs=6800Hz，为了留有一定的防卫带，CCITT[是国际电报电话咨询委员会的简称，它是国际电信联盟（ITU）的前身]规定话音信号的抽样率fs=8000Hz，这样就留出了8000Hz-6800Hz=1200Hz作为滤波器的防卫带。应当指出，抽样频率fs不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fs升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低），所以只要能满足fs≥2fH，并有一定频带的防卫带即可。

生活中发生混频的例子

我们在看电视或电影时，有时候会发现这种现象：随着影片中的汽车不断加速，汽车轮子的转速逐渐增加，但当时速到某个速率的时候，轮子的转速会突然变慢甚至出现反转的现象。这种现象的出现就和频率混叠有关，为什么呢？请大家想一想。

2.带通抽样定理

实际中遇到的许多信号是带通型信号，如果采用低通抽样定理的抽样频率fs≥2fH，对频率限制在fL与fH之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求，但这样选择fs太高了，它会使0Hz～fL一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。而且采样频率过高会超过A/D转换器的处理能力。为了提高信道的利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，对带通信号可按照带通抽样定理来进行抽样。

带通抽样定理：一个频带限制在（fL，fH）内的时间连续信号m（t），信号带宽B=fH-fL，设fH=NB+kB，其中N为fH/B的整数部分，k为fH/B的小数部分，0≤k<1。如果抽样频率fs满足条件fS=2B（1+k/N），则用带通滤波器可无失真地恢复m（t）。

带通定理的证明：带通信号经抽样后有

抽样信号频谱：

要无失真地恢复m（t），要求各M（ω-nωs）成分在频谱上无混叠。一般地，设fH=NB+kB，其中N为整数，0≤k<1。如图3-9所示，要使混叠不发生，应满足：

Nfs≥2fH=2（NB+kB）　　（3-2-10）

且有

（N-1）fs+B≤2fH-B　　（3-2-11）

如取满足式（3-2-10）的最小值，即fs=2fH/N=2（B+kB/N），则有（N-1）fs=2fH-fs，因为fs≥2B，所以（N-1）fs≤2fH-2B，从而有（N-1）fs+B <2fH-B，即满足式（3-2-11）。即当取fs=2（1+k/N）B时，抽样信号频谱不会发生混叠，因而原信号可用带通滤波器无失真地恢复。

3.自然抽样

自然抽样又称曲顶抽样，它是由基带信号与周期性脉冲序列相乘得到的。自然抽样原理框图如图3-10（a）所示，自然抽样过程的波形和频谱如图3-11所示。自然抽样后的脉冲幅度（顶部）随被抽样信号m（t）而变化，或者说保持了m（t）的变化规律。

设图3-10（b）中脉冲序列以sT（t）表示，它是宽度为τ，周期为Ts的矩形窄脉冲序列，这里取Ts≥1/（2fH），则自然抽样PAM信号ms（t）为

ms（t）=m（t）sT（t）　　（3-2-12）

ST（ω）为持续时间为τ、幅度为1的矩形脉冲sT（t）的傅里叶变换，如图3-10（b）所示。

由于时域相乘对应频域卷积，由冲激函数的性质可知，脉冲序列sT（t）的傅里叶变换为

可得自然抽样信号ms（t）的频域表达式：

由图3-11可见，对自然抽样，抽样值ms（t）脉冲顶部随m（t）的值变化，即顶部保持了m（t）变换的规律。抽样函数为矩形脉冲序列，抽样为乘法过程，可以通过门控电路实现。

由式（3-2-15）可见，自然抽样的频谱与理想抽样的频谱非常相似，理想抽样的频谱被常数1/T加权，而自然抽样频谱的包络按τSa（nτωH）/Ts函数随频率ω增大而下降。但对某个具体的n，τSa（nτωH）/Ts是一个确定的值，即τSa（nτωH）/TsM（ω-2nωH）的谱块与M（ω）的谱块形状是相同的。因此在接收端仍可用低通滤波器从Ms（ω）中恢复出基带信号M（ω）。同样的，只有在ωs≥2ωH时，落在低通滤波器通带内的信号频谱才与原始模拟波形的频谱具有相同的形状，否则频谱会发生混叠，接收端重建模拟信号的原理框图如图3-12所示。

由于自然抽样频谱的包络按Sa函数随频率增高而下降，因而带宽是有限的，且带宽与脉宽τ有关，τ越大，带宽越小。

4.平顶抽样

在实际系统中不宜直接使用较宽的脉冲进行抽样，因为在抽样脉冲宽度内样值幅度是随时间变化的，即样值的顶部不平坦，因此它不能准确地选取量化标准值。因此在实际应用中通常是以窄脉冲做近似理想抽样，而后再对经过展宽电路形成平顶值序列进行量化和编码。这种抽样又称为平顶抽样或瞬时抽样，其抽样值如图3-13（a）所示。平顶抽样是假定用冲激序列进行自然抽样后，所得到的加权冲激时间序列通过一个脉冲保持电路形成所需要的顶部平坦的脉冲。

设基带信号为m（t），脉冲保持电路的冲激响应为q（t），m（t）与δT（t）相乘即理想抽样

经过脉冲保持电路，每当输入一个冲激信号，在其输出端便产生一个幅度为m（nTs）的矩形脉冲，平顶抽样信号的时域表达式为

由于 ，设脉冲保持电路的传输函数为Q（ω），有

Mq（ω）=Ms（ω）Q（ω）　　（3-2-18）

则平顶抽样信号的频域可表示为

接收端采用低通滤波器不可以从平顶PAM信号中恢复原始的模拟波形，由式（3-2-19）可知，Q（ω）的滤波效应引起PAM信号的平顶形状，Mq（ω）不再与M（ω）的谱块相同，而是随着ω的变化而变化。为了从mq（t）中恢复原基带信号m（t），在滤波之前先用特性为1/Q（ω）频谱校正网络加以修正，则低通滤波器便能无失真地恢复原基带信号m（t），接收端重建模拟信号的原理框图如图3-14所示。如果在接收端不用频率响应为1/Q（ω）的滤波器对平顶抽样信号的频谱进行滤波，而是直接通过理想低通滤波器进行滤波，则恢复出来的模拟信号会出现失真，这种失真称为“孔径失真”。

在实际应用中，平顶抽样信号采用抽样保持电路来实现，得到的脉冲为矩形脉冲。

模拟信号需要通过采样转换为数字信号，进行数字处理和数字传输。这容易让人误以为只有信源发出的信号是模拟信号的情况下才会用到采样，实际上对于信源发出的信号本身是数字信号的情况，也可能会用到采样，如OFDM系统。

发送端利用IFFT实现OFDM调制，得到离散的数字信号，通过D/A转换器转换为模拟信号，再调制到射频载波上发送到信道中。接收端先从射频载波上解调出模拟信号，通过A/D转换为数字信号，再利用FFT实现OFDM解调。