2.1.3　建立数学模型

用运筹学来解决实际问题，最重要的一步并不是计算求得最终的答案，而是根据对实际问题的分析结果，用数学模型描述实际问题，将实际问题转化为一个单纯的数学问题，之后再通过直接的运算来求解。实际问题需要考虑多个条件，例如，产品的数量不能小于0，并且不能是小数，必须是整数等。

在建立数学模型时，分为三个主要步骤：

首先，根据问题的相关信息设置合适的未知数。

其次，用数学式表达实际问题中的条件和目标。

最后，考虑未知数所要满足的基本条件。

经过这三个步骤之后，才能得到原来实际问题的完整数学模型，之后再求解即可。

步骤一，根据问题的相关信息设置合适的未知数。

在这个实际问题中，我们不知道如何安排生产计划，不清楚每天该生产多少瓶高端酒，多少瓶低端酒。因此，不妨假设每天生产x瓶低端酒，y瓶高端酒。根据这两个未知数，可以推断出这两种成品酒每天消耗的原料酒、获得的利润分别是多少。

根据所设未知数，可以得到生产x瓶低端酒所需的低纯度原料酒是8x千克，高纯度原料酒是4x千克，获得利润是70x元；生产y瓶高端酒所需的低纯度原料酒是4y千克，高纯度原料酒是7y千克，获得利润是120y元。

步骤二，用数学式表达实际问题中的条件和目标。

由于两种成品酒消耗低纯度原料酒的总量不能超过360千克，可以得到这个数学模型中的第一个条件：

（1）8x+4y≤360；

同样，由于两种成品酒消耗高纯度原料酒的总量不能超过200千克，可以得到这个数学模型的第二个条件：

（2）4x+7y≤200

（1）、（2）就是这个线性规划问题的条件，这样的条件在运筹学中又被称为约束条件。

因为问题中的目标是高端酒和低端酒的利润之和，其值越大越好，可以得到这个模型的目标：

70x+120y，求最大值。

步骤三，考虑未知数所要满足的基本条件。

由于未知数分别表示两种成品酒的数量，单位是瓶。因此，这两个未知数不能小于0，并且必须都是整数，即可得到下面的基本条件：

x，y≥0，x和y都是整数。

这也是绝大部分日常生活中线性规划问题中的基本条件。通常，这样的条件称为边界条件，因为它们限定了x和y基本范围。

综合起来，可以得到这个问题的数学模型：

目标：70x+120y，求最大值。

条件：（1）8x+4y≤360；

　　　（2）4x+7y≤200；

　　　　x，y≥0；

　　　　x，y都是整数。