第一节 测量与误差

一、测量

1. 测量的定义

在进行科学实验时，不仅要定性地观察实验现象，还要找出有关物理量之间的定量关系，因此需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来的过程。

2. 测量的分类

根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量。由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量，如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量，如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。

根据测量条件的不同，测量又可分为等精度测量和非等精度测量。在相同条件下（如测量方法、测量仪器、环境条件、实验者等）对同一待测量进行多次测量过程叫等精度测量；在不同条件下（如测量方法、测量仪器、环境条件、实验者等只要有一个或几个发生改变）对同一测量量的进行多次测量的过程叫非等精度测量。等精度测量的数据处理比较容易，非等精度测量的数据处理非常复杂，故绝大部分实验都用等精度测量，只有在无法采用等精度测量的条件下才用非等精度测量。本书只介绍等精度测量的数据处理方法。

二、误差

1. 真值、误差

在一定条件下，某待测量所具有的客观大小称为真值。真值是个理想概念，测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异。

误差就是测量结果与真值之差。误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将误差影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。

2. 测量误差的主要来源

任何实验和测量都依据一定的方法和原理，选用一定的仪器和设备，在某特定的环境条件下由一定的测量人完成，由于依据的方法和原理可能不尽完善而有近似性，所用仪器设备的精度不可能绝对高，所处的环境条件不可能绝对稳定，测量人的测量技术等因素的影响，测量结果不能无限精确，即测量总会有误差，测量误差主要由以下5个方面产生。

（1）仪器误差。

在正确使用仪器条件下，仪器本身所允许产生的最大误差叫仪器误差，这是由于仪器本身结构的不完善所引起的误差，它又主要由以下3个方面产生。

① 读数误差。

这里所指的读数误差与在相同条件下测同一待测量时（我测和他测的读数可能不同，我这次测和下次测的读数可能不同）所测的读数误差具有不同的性质和内容，它主要由仪器结构不完善产生，主要包括以下几种情况。

A. 刻度误差。一般仪器的刻度盘均是按严格的等分格（线性关系）或其他标准（非线性关系）刻度的。但每条刻线的位置与其标准位置会有或多或少的差异，故读数时依据刻线读出的值与其标准值就必有误差，加上刻线总要有一定的宽度才能引起人们的视觉，而标准位置只是一个无穷小量，尽管读数时用刻度宽度的中线去读，但在判断中也总会有误差。

B. 标准误差。仪器的校准误差是指仪器经校准后，按某标准规定所允许产生的误差。

厂家对成批生产的仪器除特殊情况外均采用统一刻度，仪器各零部件虽在生产的每道工序中均有严格的质量检查，但各鉴定值都允许有一定的误差范围，特别是在总装后出厂前都要进行校准，但一般每批产品中按有关规定只任意抽校一定比例的产品，且被抽校的产品中也只对某些量程中的某些刻度进行校准，同时对被校点也允许它与标准仪器有一定的误差，即使被校点与标准仪器完全相同，而标准仪器也是有误差的，至于那些未被抽校刻度、量程和仪器亦同样有误差，所以校准误差是仪器经校准后所允许产生的误差。

C. 仪器读数分辨率所引起的误差。仪器读数分辨率可用其分度值来定义，即它能精确读准的最小计量单位，如米尺分度值为1mm，10分游标卡尺、千分尺的分度值分别为0.1mm和0.01mm，显然它们的分辨率越来越高，其测量的误差越来越小。

D. 仪器读数调节装置不完善，如用丝扣或齿轮等读数装置的回程差。由于其齿合间必有一定的间隙（无此间隙则转不动），故正向或反向旋转调节装置测量同一位置时的读数不同，二者之差叫回程差。此时对各点位置测量时，只能按同一方向旋转调节装置严格对正各测点去测量；或对各测点按正、反向各测一次，取其平均值，即可消除回程差。

② 稳定误差。

仪器的稳定误差实际是指仪器在未达稳定状态所产生的额外误差。如电子仪器的稳定误差是由于元件的老化，电气性能对温度的敏感，机械元件的磨损，弹性疲劳的产生等原因产生；又如仪器度数调节机构的松动，某些接线或旋钮接触不良，电路工作不稳定，零点漂移，电气性能受到内部或外部的干扰，寄生阻抗的产生等，都能引起稳定性温差，特别是当被测参数很小或工作频率很高时，可能会产生显著的误差。

③ 动态误差。

有的被测量的大小随实验时间的不同而变化，若要测出某些特定时刻被测量的大小，则这种测量叫动态测量，在快速测量中，由于电路中的过渡过程，电表的阻尼时间及有限的调节速度等，导致所测量结果产生的误差叫动态误差。

（2）使用误差。

因测量人对仪器使用不当而使测量值产生的额外误差叫使用误差。如许多测量仪器在测量前都必须认真严格地调节读数装置的零点，或读出零点的示值，若未做此工作而其零点不准时，则每个测量值中均含有此零点误差；又如电子仪器使用时，一般均要求预热一定时间后才准调节和测量，但未经预热，仪器还未达稳定的工作状态就测量；再如要求严格调整到水平或垂直状态的仪器，未调整到规定的状态就测等。凡不按仪器的操作规程，没有精心把各仪器设备调定到规定状态所测量的所有的数据中都含有使用误差，实验一定要消除使用误差，所以测量人一定要正确使用仪器，严格按各仪器的规程进行实验，把各仪器都严格调整到它们的最佳工作状态时再进行测量。

（3）人身误差（又叫个人误差）。

观测者本人因感觉器官或运动器官的某些缺陷或心理上的某些特点和不良习惯使测量结果中产生的额外误差，叫人身误差。特别是靠人眼、耳来判断，或靠手、脚的动作来测得结果时尤为突出。如有的人在测量时，头习惯性的偏向一边或斜视去读取数据会有视差；又如用停表测时间时，有的人有习惯性的超前或滞后等，同时人身误差还与观测者当时的精神状态密切相关，这就是要求实验者全神贯注的理由。

（4）环境条件误差（又叫影响误差）。

实验时环境的温度、湿度、气压、电磁场、机械振动、声音、光照等因素中的一种或几种发生改变时测量值的大小改变而引起的测量误差叫环境误差。有时其中某些因素甚至会造成仪器的损坏。所以实验时一定要保证实验对环境所提出的条件得到满足，或根据环境条件的变化对测量值进行修正，如水的密度随其温度不同而变化，标准电池的标准电动势随温度不同而变化等，环境温度要随时查表修正它们的值，否则会对结果产生误差。

（5）理论方法误差。

由于实验中所采用的理论方法不完善，或测量所依据的理论不严密，或理论计算公式的近似性，或理论方法所提出的条件在实验中无法达到等原因使测定值产生的误差叫理论方法误差。

如用伏安法测电阻中，不管是电流表内接还是外接，由于电流表、电压表内阻的存在，无法在单独测出加在待测电阻两端电压U的同时，又单独测出流过待测电阻中的电流I，若由R=U/I去求R，则总存在理论方法误差，故必进行系统误差的修正。

又如用混合量热法测物体比热容的实验中，用一已知热容量的系统与一未知热容量的系统（二者温度不同）在同一绝热系统中混合，达热平衡后，高温系统所放出的热量全部被低温系统所吸收，故可建一等式来求出待测物的比热容。但在实际中绝对的绝热系统并不存在，不管绝热条件多好，只要系统与环境有温度差，系统与环境就不可避免地产生热交换，若不对等式进行散热或吸收修正，必然会使测量结果产生误差。

再如用拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量实验中，在推导光杠杆放大法测量长度的微小改变量时，假定光杠杆的摆角θ很小，即有tanθ≈θ，tan2θ≈2θ时才导出了计算公式，实际上不管θ怎么小，用θ代tanθ，2θ代tan2θ总是有误差的，故用它们代替计算出来的结果必有误差，这就是理论计算公式的近似性结果带来的理论方法误差。

还如用单摆法测重力加速度实验中，推导计算公式时，假定摆角θ→0，摆球半径r→0。但实验时，θ→0，单摆不摆动周期无法测定，即θ总要有一定的角度（≤5°）；当r→0时，即摆球没有摆动，故理论方法所规定的条，件实验中无法达到而带来理论方法误差。

3. 误差的表示

测量误差既可用绝对误差表示，也可用相对误差来表示。

设测量值为x，相应的真值为x0，测量值与真值之差Δx′为

Δx′=x-x0

称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。

绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用E表示为

由于真值无法知道，在实验的数据处理中，用按某种规定所求的值来代替真值x0（为代真值或近真值），故测量结果与近真值的差叫近真误差，用Δx表示为

习惯上叫近真误差Δx为测量误差。

相对误差用百分数表示，有时它更能表示测量的准确程度。例如测量两个物体的长度，一个是10.0mm，另一个是100.0mm，若绝对误差都是0.1mm，相对误差分别为1%和0.01%，显然后者的测量准确程度要大些。

三、误差的分类

根据误差的性质和产生的原因，误差可分为3类：系统误差、随机误差和粗大误差。

1. 系统误差

在同一条件（指方法、仪器、环境、人员）下多次测量同一物理量时，结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。系统误差的特征是测量结果与真值之间发生固定偏离，不服从统计规律，不能靠增加测量次数来减小误差。

系统误差的来源具有以下几个方面。

（1）仪器原因：它是由于量具、仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用而造成的误差，如螺旋测微器的零点不准，天平不等臂等。造成测量结果相对于真值的固定偏离，这种误差要通过修理仪器提高仪器准确度来消减。

（2）理论原因：它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法不当等所引起的误差。如实验中忽略了摩擦、散热、电表的内阻不可能无穷大、单摆的周期公式的成立条件（摆角小于5°）等。

（3）个人原因：它是由于测量者本人生理或心理特点造成的误差。如有人用秒表测时间时，总是使之过快，计时短；有的人总反应迟钝，计时长。有的人看仪表时头总偏向一方等。

（4）环境原因：外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁场等）的影响而产生的误差。如环境温度升高或降低，使测量值按固定规律变化。

产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原则上可以通过修正、改进加以排除或减小。分析、排除和修正系统误差要求测量者有丰富的实践经验。这方面的知识和技能在我们以后的实验中会逐步地学习，并要很好地掌握。

2. 随机误差（偶然误差）

在相同测量条件下，多次测量同一物理量时，大小与符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差，有时也叫偶然误差。

引起随机误差的原因也很多，主要是测量过程中一系列随机因素或不可预知的无规则变化因素引起的，也与仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰，电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素不可控制又无法预测和消除。单次测量随机误差不可知，当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。对于随机误差服从的规律，本书下节将详细讲述。

3. 粗大误差

由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加以剔除。剔除的准则一般为3σ准则或肖维勒准则。

四、测量的精密度、准确度和精确度

测量的精密度、准确度和精确度都是定性评价测量结果的术语，但目前使用时其涵义并不尽一致，以下介绍较为普遍采用的说法。

精密度表示的是在同样测量条件下，对同一物理量进行多次测量，所得结果彼此间相互接近的程度，即测量结果的重复性、测量数据的弥散程度，因而测量精密度是测量偶然误差的反映。测量精密度高，偶然误差小，但系统误差的大小不明确。

准确度表示的是测量结果与真值接近的程度，因而它是系统误差的反映。测量准确度高，则测量数据的算术平均值偏离真值较小，测量的系统误差小，但数据较分散，偶然误差的大小不确定。

精确度表示的则是对测量的偶然误差及系统误差的综合评定。精确度高，测量数据较集中在真值附近，测量的偶然误差及系统误差都比较小。

这3个术语可以用打靶弹着点的分布来形象地理解。图1-1-1中甲的弹着点明显偏离靶心，说明准确度低，系统误差大；但弹着点集中，说明精密度高，随机误差小。图1-1-1中乙则相反，弹着点分散，精密度低，随机误差大；但固定偏差小，准确度高，系统误差小。图1-1-1中丙弹着点既集中，又无固定偏差，两类误差均小，即精确度高（既精密又准确）。

通常把精确度简称为精度。但精度的含义比较粗糙笼统。本书中的精度对实验结果来说，主要是指其相对误差的数量级，若E=1.0%，则可笼统地说精度为10-2。对仪器来说，精度是指仪器的最小分度值和等级，如游标卡尺最小分度值为0.02mm，就说其精度为0.02mm。精度的含义有时还要看测量结果的具体情况，当测量结果的误差以随机误差为主时，它表示精密度；以系统误差为主时，又表示准确度；当两种误差同时存在且二者的大小相差不大时，它又表示精确度。