第二十一章　一元二次方程

第一节　一元二次方程的概念及解法

学习目标

1. 理解一元二次方程根的意义.

2. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解系数为数字的一元二次方程.

知识精讲

1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫作一元二次方程．

2. 一元二次方程的一般形式：关于x的方程经过整理后，都能化成ax2+bx+c=0（a≠0）.

注：① ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

② ax2+bx+c=0

3. 方程根的概念：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫作方程的根.

注：① 检验方法：代入x的值后，

② 若题目中给出方程的根，通常考虑把方程的根代入原方程讨论问题.

4. 一元二次方程的解法.

（1）配方法解一元二次方程：包含直接开平方法，配方法（本质是转化为直接开平方法）.

① 方程化为x2=p（p≥0），解得：x=.

② 方程化为（mx+n）2=p（p≥0），解得：mx+n=.

注：① 当p<0时，方程无实数解；要化为最简二次根式.

② 配方法中要能熟练地把方程的左边化成

③ 配方法是“万能方法”，任何一元二次方程都可以使用.

（2）求根公式法解一元二次方程：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.

当b2－4ac≥0时，.

注：① 先要把方程化为“一般形式”.

② 正确识别a，b，c的值，特别是它们的符号.

③ 当b2－4ac=0时，；当b2－4ac<0时，方程“无实数解（或无实数根）”.

④ 求根公式法是“万能方法”，任何一元二次方程均可使用.

（3）因式分解法解一元二次方程：

① 方程经过整理后，使方程右边为0，左边分解为两个一次因式的积；结果化为几个因式的积等于0的形式.

② 几个因式都有可能得0.

③ 分别解出未知数的值.

注：① 注意依次使用因式分解的各种方法.

② 有些特殊因式可能不为0.

③ 常数项为0，直接用提公因式法进行因式分解.

方法提炼

1. 注意哪个字母是未知数（如x，y，t，m等），以及该方程是否为一元二次方程（不确定的要分类讨论）.

2. 计算过程中注意各项系数的符号.

3. 借助方程现有形式，优选解方程的方法，根据方程结构，一般依次为：

① 直接开平方法；② 因式分解法；③ 求根公式法；④ 配方法.

注：① 直接开平方法和因式分解法简捷迅速，但只对个别方程适用，不是万能的方法；求根公式法、配方法对所有方程均适用.

② 若b2-4ac是完全平方数（或式），用十字相乘法解方程比较简单.

③ 求根公式法要根据判别式Δ=b2－4ac结果的不同符号写出相应的结果，注意书写的格式，直接开平方法、配方法左边化成平方形式后，也要根据右侧数值的符号写出相应的结果.

典例精析

例题1. 已知：关于x的方程

（1）当m为何值时，是一元一次方程？

（2）当m为何值时，是一元二次方程？

① 二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项各是什么？

② 解这个方程，哪种方法更适合本题？

【思路点拨】　本题是关于x的方程——以x为未知数的方程，字母m是已知数.

（1）只含有一次项，且一次项系数不为0时，为一元一次方程.

（2）方程含x的项中只有，可以是2次，此时未知数次数m2+1=2且m-1≠0即可.

【解】　（1）依题意，得或解得：m=1或m=0.

∴当m=1或m=0时，原方程是一元一次方程.

（2）依题意，得解得：m=-1.

∴当m=-1时，原方程是一元二次方程.

① 当m=-1时，原方程为-2x2-4x+6=0.

两边同时除以-2得x2+2x-3=0.

∴在①的情况下：二次项为x2、二次项系数为1；一次项为2x、一次项系数为2；常数项为-3.

注：如果没有化简系数，那么二次项为-2x2、二次项系数为-2；一次项为-4x、一次项系数为-4；常数项为6.可以看到这样会使②的计算烦琐.

② 在①的情况下：配方法、求根公式法、因式分解法都适合本题，因式分解法更简捷.

例题2. 解方程：2x2-3=5x.

【解】

解法1：配方法.

【思路点拨】　配方法是初三期末考试中必有的题目，且是“万能方法”，所有的方程都可用配方法求解.

2x2-5x=3　（把常数项移到等号右侧）

　（二次项的系数化为1，为等号左侧配成完全平方式做好准备）

　（两边同加：一次项系数的平方）

　（用完全平方公式写成平方的形式，此处为考试的“给分点”）

　（理解是的平方根，的平方根有两个）

　（移项并化简）

∴x1=3，x2=.　（写出答案）

解法2：求根公式法.

【思路点拨】　求根公式法也是“万能方法”，所有的方程都可用它来求解，将来的用途十分广泛，要熟练掌握，我们也可以在本题中使用求根公式法.

注：求根公式法要先把方程整理为一般式：ax2+bx+c=0.

根据Δ=b2-4ac的符号确定能否使用求根公式，要特别注意这里的讨论.

整理得，2x2-5x-3=0.　（化为一般式，若二次项系数为负数，则要转换为正数）

∵a=2，b=-5，c=-3，　（识别出各项系数，特别注意系数的符号）

Δ=b2-4ac=（-5）2-4×2×（-3）=49>0　（计算判别式，并判断是否能够使用公式）

注：Δ=b2-4ac≥0时才可以用公式！

∴　（使用求根公式，注意符号和计算问题）

注：如果Δ=b2-4ac=0，下一步要写成：x1=x2=…的形式.

∴x1=3，x2=.　（写出答案）

解法3：因式分解法.

【思路点拨】　一元二次方程化成一般形式为2x2-5x-3=0，Δ=b2-4ac=49是完全平方数，所以可以用十字相乘法进行因式分解，进而解方程.

原方程可变形为（2x+1）（x-3）=0　（用十字相乘法进行因式分解）

∴x1=3,x2=.　（写出答案）

例题3. 用因式分解法解下列方程（x+2）2-6=3x.

【思路点拨】　发现x+2可以看成整体，提公因式x+2可解决本题，也可化为一般式解决）

【解】

（x+2）2-3x-6=0　（移项，方程右边为0，将左边进行因式分解）

（x+2）2-3（x+2）=0

（x+2）（x-1）=0　（左侧两个因式的积等于右边的0，两个因式都有可能为0）

x+2=0　或x-1=0

∴x1=-2，x2=1.　（写出答案）

典题精练

1. 关于x的方程kx2+x=2x2-3是一元二次方程，则k的值是（　）.

A. k≠0

B. k≠2

C. k≠-2

D. k为任意实数

2. 一元二次方程-2x2+1=5x把二次项系数变为正数，并且方程的根不变，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（　）.

A. -2，1，5

B. 2，-1，-5

C. -2，-5，1

D. 2，5，-1

3. 关于x的一元二次方程（m-）x2+2x+m2-2=0有一个根是0，则m的值是______，另一个根是______.

4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______.

5. 解方程：（1-2x）2-4=0

6. 解方程：x2+3x+1=0（用配方法）

7. 解方程：3x2+8=6x

8. 解方程：x2-2（x-1.5）=0

9. 解方程：（x-1）2+1=2x-1

10. 当正数n满足n2+2n-3=0时，解关于y的方程ny2-（1+2y）n+2=0.

中考真题

真题1.（湖北黄冈）已知一元二次方程x2-6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（　）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

真题2.（1）（甘肃兰州）用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（　）.

A. （x+1）2=0

B. （x-1）2=0

C. （x+1）2=2

D. （x-1）2=2

（2）（甘肃白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，例如，3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是______.