2.7　明槽水流的非均匀沙挟沙力研究⁽⁹⁾

王士强，陈　骥，惠遇甲

摘要：本节从床沙、推移质及悬移质互相交换、衔接的物理图形出发，在力学、随机及紊动扩散分析基础上，提出了颗粒跃移及推移质、悬移质和全沙统一的新的非均匀沙挟沙力公式。文中公布了新近试验取得的57组非均匀沙挟沙力水槽资料，分析提出了反映混合沙中粗细颗粒互相影响的系数的关系，提出了悬移层与推移层交界面高度及浓度预报新的初步关系。应用本文提出的挟沙力系列公式计算验证了大量天然河流及水槽实测分组和总挟沙力资料，计算与实际符合较好。

水流挟沙力是泥沙研究中的核心问题，是解决水库、河渠等大量泥沙冲淤问题的关键。天然冲积河流中的泥沙一般都是非均匀沙，悬移质、跃移质及床沙通常都是互相交换、密切相关的，但迄今国内外大多数挟沙力公式从物理图形、原始推导上就与床沙组成无关，实际上是针对且只适用于均匀沙。一些公式经过各种经验性处理以后已用于非均匀沙计算，在生产上得到了广泛应用，但一般都未考虑混合沙中粗细颗粒间的相互影响，分组挟沙力计算精度难以提高，在河床连续冲刷计算中问题暴露往往比较明显。迄今，多数挟沙力公式将悬移质和推移质分割，生产上应用的多是并不匹配的二套公式，对于悬移质和推移质输沙并重的河流，如此作法存在不少问题。水流的非均匀沙挟沙力仍是一个远未解决的重大生产和学术问题。

H. A. Einstein早在20世纪50年代即提出了水流的非均匀沙挟沙力理论及公式，半个世纪以来的研究和实践表明，爱氏提出的总的物理图形比较合理。尤其是将床沙、跃移质和悬移质三者联系起来分析而不是将它们看成彼此孤立、分割的事物，这一点是意义深远的。这一物理图形中一个关键的环节是床面与悬移层之间过渡薄层（跃移层或准跃移层）内的水流泥沙运动规律，由于此近底层内规律非常复杂且试验困难，致使爱氏体系的理论发展比较滞缓，爱氏当初推导挟沙力关系时不得不作了很多假定，不少是有问题的。爱氏对颗粒跃移并未进行详细的力学分析和试验，诸多关键的跃移参数相对值均以常数代之，与实际相差甚远，使其挟沙力公式计算成果与实际往往相差很大。

R. A. Bagnold，M. S. Yalin及van Rijn等很多学者都先后进行了颗粒跃移的力学分析或试验，取得了很多宝贵成果。自1986年以来，王士强、张仁、付晓及胡春宏、惠遇甲等分别对明槽水中颗粒跃移进行了力学分析和试验，取得了很大进展^[4-6]，分别发现颗粒容重对跃移参数的影响规律，与以往所有认识均不相同。在颗粒跃移分析和试验基础上，王士强等提出了计算推移质输沙率的新公式^[4]，进而提出了推移质、悬移质和全沙统一的新的非均匀沙挟沙力公式，并得到了清华大学活动大钢槽内试验取得的27组实测资料的良好验证，文献[9]对此公式进行了进一步的分析和验证，并与国内外其他一些著名的挟沙力公式进行了验证计算精度比较。

近些年来，王光谦、倪晋仁，邵学军、夏震寰及胡春宏、惠遇甲等用不同方法探索研究了近底层内颗粒浓度分布规律，为挟沙力研究的进一步深入提供了宝贵的启示；王士强等考虑近壁层颗粒沉降阻力增大、沉速减小从而得出新的悬移层浓度垂线分布公式，并进一步总结、验证和应用了新公式。近二年内陈骥完成了新的57组非均匀沙挟沙力试验，在所有以上研究基础上，本节对更多的资料进行了分析，继续研究改进了王士强等新的挟沙力系列公式，进一步提高了该套公式的计算精度。

2.7.1　颗粒跃移及推移质、悬移质、全沙挟沙力方程

1. 颗粒跃移方程

床面附近的颗粒跃移是悬移质输沙和沙质床面之间过渡层内颗粒的主要运动形式，是研究沙质推移质和悬移质输沙率的基础。作用在床面附近跃移颗粒上的力很多很复杂，文献[4]主要考虑了占优势影响的颗粒重力（W）、水的浮力（W-W′，W′为水下重力）、水流上举力（F_L）及水流拖曳力（F_Dx）或阻力（F_Dy），其他作用力因较为次要或不很明确而未直接考虑。垂直床面（或水流）的y向及沿水流x向的颗粒跃移运动的微分方程分别为

式中，g为重力加速度；t为时间。通过适当简化对上列方程积分，得出了各跃移参数解析式，由跃移试验资料适线确定了这些解析式中的系数^[4]。下列简化公式是从较复杂的解析式概括得出的，二者基本等价，计算结果十分相近。式中D为颗粒粒径，a₀为颗粒平均跃移高度，L_m为平均跃移长度，u_b为平均跃移速度，u_∗为水流摩阻流速，γ_s、γ分别为颗粒和水的容重，J为能坡，R′为沙粒水力半径，按文献[14]给出公式求得，平整床面时即为水力半径或水深，

式中，m₁=0.25+0.1(γ_s/γ)^0.2Θ^-0.5，m₂=0.74+0.1(γ_s/γ)^0.37Θ^-0.57，a₁=12.7(γ_s/γ)^0.17, b₁=9.24(γ_s/γ)^0.3(Θ_c/Θ)^-0.15，Θ_c=0.04，b₂=3(γ_s/γ)^0.3，Θ=γ R′J/(γ_s-γ)/D。

上列颗粒跃移参数公式得到了验证，与其他著名公式相比，数值相近但有二点重要区别，上列公式中的相对跃移参数不仅取决于Θ，还另外随γ_s/γ而变，同时Θ的幂指数并非常数。对于泥沙，当Θ从0.06增至2.5时，a₀/D由1增至11，L_m/D由6增至800，u_b/u_∗由4增至12，尤以跃长变化范围最大，若如Einstein假设为常数100，则对于其他大部分水流强度情况必然产生很大误差。

2. 推移质输沙率公式

颗粒以跃移形式运动的单宽推移质输沙率q_b应等于单位时间、单位宽度内跳跃通过某断面的各种跃长的所有颗粒的总重量，可由下式^[4]确定：

式中，P为F_L/W′>1条件下床面颗粒的起跃概率，A_∗为待定系数。从物理模式及原始推导看，严格来说，式（6）本只适于跃移推移质，但因以滚动、滑动等形式运动的接触质受到的主要作用力与上述跃移颗粒大体相同，因此控制q_b的变量Θ及γ_s/γ二者应该相同，当式（6）中的待定系数由包括接触质在内的变化范围很大的大量推移质输沙率实测资料适线确定时，该式的适用范围就具有普遍性。式（6）中的变量可由一套解析公式分别求出，相当烦复。为便于应用，由式（6）及其他一系列求其变量的公式概括简化得出公式（7），两者基本等价，计算值十分相近。

式中，m₃=1.3+0.13（γ_s/γ）^0.42Θ^-0.68，Φ=q_b/（D^3/2g^1/2γ_s（（γ_s-γ）/γ）^1/2）

图1列出了大量实测点据及公式（7）中不同γ_s/γ的三条曲线，公式与各种γ_s/γ的实际资料均相当符合，在高强度输沙部分，与Wilson的二种容重颗粒资料均分别符合相当好。图1还列出了其他著名公式曲线以便互相比较，对于泥沙，公式（7）与Yalin公式十分接近，幂指数m₃随Θ增大而减小，高强度时接近1.5。公式（7）得到了其他资料的验证^[9]。

3. 悬移质及全沙挟沙力公式

水流的悬移质输沙一方面依赖于紊动扩散，同时取决于床沙扬起及跃移泥沙浓度。水流的悬移质单宽输沙率q_s由式（8）确定：

式中，S_y及u_y分别为离床面y高度的含沙浓度及水流速；H为水深；a为悬移层底层离床面高度。

式中流速垂线分布按Einstein总结的公式计算：

含沙浓度分布S_y由紊动扩散方程并考虑床面附近沉速减小的因素确定，可由作者提出的式（10）计算^[12]，该式与通常的公式形式相同，仅以修正悬浮指数z₁代替通常的悬浮指数z，z₁随z增加及粒径D的减小而比z小得越多。

式中：

式中，κ为卡门常数；ω₀为泥沙沉速；S_a为y=a处的含沙浓度。

将式（9）、式（10）代入式（8）积分可得式（11）

式中，

设S_a=K_sS_m，S_m=q_b/（a u_bγ_s），S_m为推移层内的平均含沙浓度，K_s为近壁层浓度分布特性系数，则式（11）可表达为

全沙输沙率q_T为

对于非均匀混合沙，每个粒径组的水流挟沙力与床沙中该粒径组所占比重i₀相对应，当不考虑粗细颗粒互相影响时，则

式中，i_bq_b=i₀ΦD_g，D_g=D^3/2g^1/2γ_s（（γ_s-γ）/γ）^1/2，i₀、i_T、i_b、i_s分别为该粒径组在床沙及水中全沙、推移质、悬移质输沙率中所占重量百分比。式（14）中的所有粒径D均为混合沙内各粒径组的平均粒径。

上列公式中的a值可由下述方法求得。因颗粒平均跃移高度a₀的计算公式（3）中的系数是根据水槽颗粒跃高试验资料适线确定的，因此在水槽输沙计算中取a=a₀，这是合理、自然的，如此计算出的悬移层底部浓度及挟沙力与大量水槽内的实测资料符合相当好。对于天然河流、水库，无任何实测跃移层高度a的资料，若仍取a=a₀，则计算出的悬移层底部浓度一般都远大于实测资料。因天然河流、水库内的水深远大于水槽情况作为水深方向的物理量a，可以推测和假定随相对水深H/D₅₀而增大，根据一些天然河流、水库实测底部含沙量资料分析反算，得出一般含沙量情况下天然河流内的a可按经验公式（15a）计算，a可称为准跃移层厚度：

对于长江及黄河大部分非高含沙水流情况，按式（15a）计算的悬移质挟沙力与大量实际资料符合较好，但对于黄河少数高浓度情况若按式（15a）计算又计及沉速修正后得出的悬移层底部含沙量仍明显小于实际情况。

从上述公式（3）可以看出，跃移层厚度随水流容重γ增大而减小，在高含沙水流情况下，γ随浓度增加而明显增大。另外，随着浓度增加，对数流速公式中的卡门常数κ将会减小，即由床面向水面方向的流速变大的梯度增大，床面附近水流垂向紊动强度向水面方向变大的梯度也理应增大，这就意味着相同平均水流强度时含沙浓度越高，颗粒由跃移转为悬移的高度a离床面越近。根据以上初步分析及实际资料反算，在公式（15a）中增加卡门常数κ的影响因子得出了包括高浓度水流情况的计算a的初步经验公式（15）。

式中，卡门常数κ据一些实测资料^[13]可按下式计算：

式中，S为重量计含沙量；ω_i为分组沉速；V为流速。

式（12）或式（13）中比值K_s反映了床面附近泥沙浓度分布规律，这是一个十分复杂尚待探索的重要问题。作者以往根据推移层内沿深度输沙率分布均匀假定，提出K_s=0.81，据此及上列公式计算验证了很多水槽试验资料，结果较满意，计算与实测挟沙力比值K_A在0.5～2.0之间的资料组次占74%～84.7%，比国内外一些著名的水流挟沙力公式计算结果更为接近实际^[9]，深入分析分组输沙率计算与实测值比值看出，粗细颗粒除了在床面上及水中互相影响以外，近壁层泥沙浓度分布规律不同，从文献[6]也可看出，K_s应随Θ增大而变大，并非常数。文献[10]和[11]从试验或分析表明，在上举力大于颗粒水下重量的近壁层范围内，含沙浓度分布会出现上大下小。参考文献[6]提出的跃移层内浓度分布公式，根据大量分组输沙率资料，作者提出了计算K_s的新的初步经验公式：

式（17）中Θ分界大体上与动床床面形态突变相应，Θ<0.04时q_s=0，K_s当然为0，Θ=0.2时大体上沙垄发育最高，相应K_s=0.81，即此前设定K_s为0.81常数大体上是一种平均情况；Θ>2时式中K_s>1，即近壁层内含沙浓度出现上大下小分布，此时冲积床面一般为高能态逆行沙波。应用公式（17）计算K_s使挟沙力计算精度进一步提高。从定性上看，式（17）是比较合理的，但定量上尚待今后继续研究。

2.7.2　非均匀沙挟沙力水槽试验成果

本次试验在长16m宽0.5m的循环可调坡水槽内进行，槽内预先铺沙15cm厚，当放水足够长时间水流输沙达平衡后测量数据。原始床沙分细沙（F）及混合沙（M）两大类，各类原始床沙级配及特征粒径列于表1，表中颗粒分散度σ=（D₈₄/D₅₀+D₅₀/D₁₆）/2，试验床沙分散度虽不很大，但与黄河、长江等中下游沙质河流床沙分散度相近。试验共得57组资料，流量Q为0.021～0.126m³/s，水深H为0.094～0.231m，能坡J为（1.7～12.9）×10^-3，含沙量C为13.7～229kg/m³。表2及表3分别为F及M类沙试验数据。所谓全沙指包括悬移质和推移质的水中全部输沙。

由于沙波高度及床沙交换层厚度随机变化，床沙级配随时空变化，因此测取与每一组试验水流输沙相对应的代表性床沙级配i₀是个难点。试验中对每一组输沙平衡后的床沙都进行了测量，取样厚度约为平均沙波高度。经过分析发现对于粉细沙（F类），因床沙大多全面起动，床沙级配变化较小，可取原始床沙级配作为各测次代表床沙。M类每测次床沙实测数据则列于表3。分析此次及以往所有试验资料发现，床面形态剪切力不仅对推移质输沙基本无效，而且对以悬移质为主的输沙率影响也不明显。

2.7.3　泥沙非均匀性对水流分组挟沙力的影响

床沙和水中泥沙粒径的非均匀性会显著影响各分组挟沙力。在床面上，粗颗粒对细颗粒会产生隐蔽作用，使细颗粒受到的实际水流上举力及拖曳力小于均匀沙情况，反之，粗颗粒相对于细颗粒比较突出暴露，其受到的水流作用力将大于均匀沙情况，当泥沙起动、起跳以后，水中推移层内不同粒径的颗粒因运动速度、轨迹不同而会互相碰撞，悬移泥沙也会因沉速不一而碰撞，在床面附近因含沙浓度大而碰撞越甚。因细泥沙比粗泥沙跳跃较快，沉降较慢，故互相碰撞、动量传递结果总体上使细颗粒跳跃变慢，沉降加快，而粗颗粒则反之。据上分析看出，水中泥沙与床面泥沙的非均匀性对分组挟沙力的影响总体上是一致的，均使同样水流强度下水流对细颗粒的挟沙能力比均匀沙情况减小而对粗颗粒则增大，由于此种改变作用迄今都只能根据水流分粒径组挟沙力资料反算，难以将起动阶段的隐蔽暴露影响及水中运动阶段的互相碰撞影响加以分开，因此我们在式（14）中统一加上泥沙非均匀性影响系数K_D，则式（14）变为式（18）：

在分析K_D变化规律时，将实测非均匀沙各粒径组输沙率i_Tq_T与据式（14）不考虑非均匀沙内相互影响计算求得的i_Tq_T之比作为K_D，将本次试验及文献[2]的资料求得的K_D和D_k关系点绘于图2。纵坐标D_k按下式计算

式中，D_i为混合沙中各粒径组平均粒径，D_p为粗细颗粒分界粒径当量，D_m则为床沙平均粒径。D_k可谓相对粗细度，D_k>1之粒径组为相对粗颗粒，D_k<1之粒径组为相对细颗粒。由图2可见，K_D与D_k形成变化趋势很明显的带群以残差平方和最小为标准求得拟合曲线绘于该图中，即得K_D与D_k的关系为

图2点群和式（19）、式（20）表明，以D_k=1即D_i=D_p为分界，D_k<1时K_d<1，而D_k>1时K_D>1。分界粒径当量D_p不仅取决于D_m，而且随水流强度Θ增大。随着水流增强，床面粗粒背水面旋涡会增大，在相同D_m时隐蔽的细粒越多或对细粒的隐蔽作用越强，同时水中颗粒运动速度增大、含沙浓度增大而碰撞机会增加，这二者都会导致细粒挟沙力减小，即K_D比1减小越多。但当水流相当强以后，水流继续增强不会使床面粗粒背水面旋涡进一步增大，水中颗粒跃移速度及轨迹变化也越来越小。这些反映在式（20）中D_k<0.4以后D_k继续减小（即D_i、D_m一定时Θ继续增强）但K_D却变化甚微，约为0.4。根据下面计算验证看出，上列K_D-D_k关系同样适用于天然河流。

分析钱宁和爱氏资料^[2]发现，凡是床面充分扰动情况，床面上粗细颗粒间的隐蔽暴露影响看来基本不再存在，任何D_k时K_D均取1合适。

应用上列公式计算得出的各试验组次总的及分组挟沙力与实测值对比列于表4，表中K_A为挟沙力计算值与实测值之比，P_k为K_A=0.5～2.0之间的组次占计算总组次的百分比。由表可见，对于总输沙率P_k均超过90%，平均达94%，对分粒径组P_k值平均也超过82%，高者达90%。

2.7.4　计算挟沙力公式验证

应用王士强等公式（3）～式（20）计算验证王士强等于1989年在清华大学60m长1.2m宽活动循环大钢槽内完成的27组非均匀沙挟沙力试验资料^[8]，验证结果列于表5，并将分粒径组验证结果绘于图3，该资料在上列公式、关系建立中均未利用过。

由表可见总输沙率及分组输沙率K_A=0.5～2.0之间的组次比例P_k分别高达92.6%及82.1%，计算精度很高。对于水槽总输沙率资料，国内外一些著名公式计算结果P_k值对几十组资料而言超过80%就不多见了。至于非均匀沙分粒径组的挟沙力计算验证在国内外还很少见。

表6为应用作者公式计算验证大量黄河下游及长江资料结果，由表可见，P_k对总输沙率平均约达75%，有些河段超过80%，对分组输沙率均超过60%，对于影响因素十分众多复杂的黄河来说这一验证结果是比较好的。

天然河流内某组输沙率资料是否为平衡挟沙力主要只能从总量上大概判断，而输沙总量即使平衡时粗颗粒尚可能处于淤积过饱和状态而细颗粒则可能反之，实难判别和选取各粒径组都处于平衡输沙的资料，这也是验证天然河流挟沙力特别是分组挟沙力的难点。

作者曾应用此套公式验证过美国的几条河流，结果也比较满意^[7]。将此套公式与国内外其他5个著名公式同时计算过639组不同容重颗粒的水槽挟沙力资料，结果此套公式与实测资料更为接近，特别是计算物理模型中常用的轻质沙挟沙力的精度更比其他公式要高^[9]。本公式应用于计算黄河一些水库及河道河床冲淤，也取得了比较满意的结果。

2.7.5　结语

（1）本节提出了同时计算推移质、悬移质及全沙非均匀沙挟沙力公式，该套公式的基本物理图形是床沙、跃移质和悬移质互相交换、衔接。

（2）无量纲颗粒跃移参数及推移质输沙率参数不仅随Θ增大，还发现另外随颗粒容重减小，这不仅是理论推导结果，也为试验资料所证实，这就使据此基础得出的全沙挟沙力公式不仅适合于河流泥沙，而且计算轻质沙挟沙力的精度比迄今国内外一些著名公式明显要高。

（3）沙床近底层含沙浓度分布是决定水流挟沙力的重要因素，根据新近的一些研究成果及实际挟沙力资料分析，本节提出了悬移层底层高度a及浓度S_a的初步新关系，跃移层内浓度分布随Θ增大而越趋均匀且会出现上大下小现象。

（4）非均匀混合沙内的粗细颗粒，在床面上存在相对隐蔽和暴露影响，在水中会互相碰撞，本文提出了非均匀性影响系数K_D的新关系。

（5）王士强等非均匀沙挟沙力公式已为大量水槽及天然河流资料所验证，计算结果比较符合实际。

（6）随着对近底层水沙运动规律研究的发展，作者将继续研究改进这套挟沙力公式。

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Study on graded sediment transport rate in stream

Wang Shiqiang, Chen ji, Hui Yujia

Abstract: A set of new equations are presented for predicting the saltation parameter, the sediment transport rate of bed load and the suspended load for each specific grain size group in a mixture. Fifty seven sets of test data on the transport capacity of graded sediment are published. The mutual effect of fine and coarse grains on transport rate is analyzed and the effect coefficient K_D of non uniformity of a mixture is introduced and its expression is proposed. The calculated results from the author's equations are in good agreement with the observed data.