第3节　关于同余的基本定理

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建立起这些概念以后，我们来整理一下关于同余的一些比较明显的性质。

对合数模同余的两个数，一定对这个模的每个除数也同余。

如果若干个数对于同一个模都有相同的剩余，那么，它们彼此都同余（对于同一个模）。

在下面这些定理中，我们也假定模都是相同的。

同余的数有相同的最小剩余；不同余的数有不同的最小剩余。

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给定数A，B，C，…，以及数a，b，c，…，如果数a，b，c，…对于同样的模与数A，B，C，…同余，即A≡a，B≡b，C≡c，等等，那么，A＋B＋C＋…≡a＋b＋c＋…。

如果A≡a，B≡b，那么A-B≡a-b。

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如果A≡a，那么kA≡ka。

如果k是正数，那么条目7只是条目6的特殊情况，使A＝B＝C＝…，a＝b＝c＝…。如果k为负，则-k为正。因此，-kA≡-ka，因而kA≡ka。

如果A≡a，B≡b，则AB≡ab，因为AB≡Ab≡ba。

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给定任意数A，B，C，…，以及数a，b，c，…，若数a，b，c，…与数A，B，C，…对于同样的模同余，即A≡a，B≡b，…则这两组数的乘积也同余，即ABC…≡abc…。

从条目7知AB≡ab，同理ABC≡abc，并可以推广到任意多个因数。

若所有数A，B，C，…都相等，且所有数a，b，c，…都相等，可得定理：若A≡a且k是正整数，则Ak≡ak。

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设X是不确定数x的形如Axa＋Bxb＋Cxc＋…的代数函数，其中A，B，C，…都是任意整数；a，b，c，…都是非负整数。那么，如果x的取值关于某个模同余，则对应的X的值也对于这个模同余。

令x取值f，g且f≡g，从定理7知fa≡ga且Afa≡Aga，同理Bfb≡Bgb，…。因此：Afa＋Bfb＋Cfc＋…≡Aga＋Bgb＋Cgc＋…，证讫。

本定理可以推广到含多个不确定数的函数，这很好理解。

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因此，如果用连续的全部整数替换x，函数X的对应值就成为最小剩余，并构成一组序列。其中，间隔m（m是模）个项后，重复的项会出现，即此序列是以m个项为周期并无限重复。例如，令X＝x3-8x＋6且m＝5，那么，对于x＝0，1，2，3，4，…，X的值关于模5有这些最小正剩余：1，4，3，4，3，1，4，…，其中前5个数1，4，3，4，3是无限重复的。反过来，如果给x依次赋予负值，序列的周期相同，但项的顺序相反。可知，整个序列不会出现这个周期之外的其他项。

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在上例中，X不能与0或者2关于模5同余，X更不能等于0或者2。因此等式x3-8x＋6＝0和x3-8x＋4＝0都没有整数解，也没有有理数解。更普遍地，如果X是不确定数x的函数，形式为：xn＋Axn-1＋Bxn-2＋…＋N，其中A，B，C，…是整数，n为正整数（众所周知，所有代数方程都可以简化为这个形式）。显然，如果对于某个模同余关系X≡0不能成立，则方程X＝0没有有理根。第8部分^[3]将对此判别法进行充分探讨。但从这个例子可以看到这些研究的实用性。