第4章
通过已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线的轨道

引理15

如果由椭圆或双曲线的两个焦点S、H，分别作直线SV和HV与任意第三点V相交，其中，HV是图形的主轴，即与焦点所在的轴。另一条直线SV被它的垂线TR分为两等份，交点为T，那么，垂线TR将与圆锥曲线相切。反之亦然，如果相切，那么HV为图形主轴。（如图4-1）

将垂线TR与直线HV相交于点R，连接SR。因为TS＝TV，所以，直线SR＝VR，角TRS＝角TRV，因此点R在圆锥曲线上，且垂线TR也将与该圆锥曲线相切。反之亦然。

证明完毕。

命题18　问题10

由给定的焦点和主轴，作出椭圆或双曲线轨道，使轨道穿过给定点，并与给定的直线相切。（如图4-2）

以S点为图形的公共焦点，AB为任意轨道的主轴长度，P为轨道应该穿过的点，TR为轨道应该和它相切的直线。围绕中心P，如果轨道是椭圆，以AB-SP为半径，或者如果轨道是双曲线，以AB＋SP为半径，画出圆周HG。在切线TR上作垂线ST并延长到V点，使TV＝ST，然后作出以V为中心，AB为半径的圆周FH。按相同方法，无论给定的是两个点P和p，或者两条切线TR和tr，还是一个点P和一条切线TR，均可作出两个圆周。设H为它们的公共交点，由焦点S、H和给定的轴可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为椭圆中的PH＋SP或双曲线中的PH-SP都与主轴相等，所以，该轨道穿过点P，且与直线TR相切。同理，曲线轨道或穿过两个点P和p，或与两直线TR和tr相切。

证明完毕。

命题19　问题11

根据一给定焦点作抛物线轨道，并使该轨道穿过给定点，且与给定直线相切。（如图4-3）

设S为焦点，P为已知点，TR为所求轨道的切线。以P为中心，PS为半径，作出圆周FG。过焦点作切线的垂线段ST，延伸到V点，使TV＝ST。若已知另一点p，则对于另一点p，按上述方法得到另一圆周fg；若已知另一切线tr，则对另一切线tr，按上述方法得到另一点v。若已知点P和切线TR，则作直线IF，使其过点V，并与圆周FG相切；若已知两点P和p，则作直线IF，使其与圆周FG和fg都相切；若已知二切线TR和tr，则作直线IF，使其过点V和v。

作FI的垂线段SI，K为SI中点，若以SK为轴、K为顶点作出抛物线，则问题得以解决。因为SK＝IK，SP＝FP，而抛物线将通过P点，根据引理14中的推论3，ST＝TV，STR是直角，因此，将与直线TR相切。

证明完毕。

命题20　问题12

根据一个焦点和轨道类型，作出轨道，使该轨道通过已知点，并与已知直线相切。

情形1　由焦点S求出穿过点B和C的曲线轨道ABC。（如图4-4）

由于轨道类型已给定，则主轴与焦点距离的比值也将给定，使和与该比值相等。以B、C为圆心，BK、CL为半径作两个圆周，使直线KL与圆相切于点K和L，再作直线KL上的垂线SG，在SG上确定点A和a，使得。因此，以Aa为轴、A和a为顶点作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，若H点为图形的另一焦点，又，所以，因此，图形主轴与焦点间距离的比是给定比值，即所画出的图形与之前所要求的图形类型一样。由于为给定比值，所以，由圆锥曲线性质可知，图形将通过点B和C。

情形2　由焦点S求出与直线TR和tr相切的曲线轨道。（如图4-5）

过焦点作切线的垂线ST和St，并将它们分别延伸到点V和v，使TV＝TS，tv＝tS。O为Vv中点，作OH垂直于Vv，并与无限延伸的直线VS相交。在直线VS上取点K和k，使和等于所求轨道主轴与焦点间距的比。以Kk为直径作一圆周，并与OH交于点H；再以S、H为焦点，VH为主轴，即可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，X点将Kk平分，连接HX、HS、HV和Hv，由于，因此，等于合比，等于分比，从而，因此，于是三角形VXH和HXS相似，因此，所作曲线主轴VH与焦距SH的比值，与所求的曲线的主轴与其焦距的比值相等，从而两曲线的类型完全相同。另外，由于VH和vH与主轴相等，且VS和vS分别被直线TR和tr垂直平分，所以根据引理15，这些直线与所作曲线相切。

证明完毕。

情形3　由焦点S求出与直线TR在给定点R相切的曲线轨道（如图4-6）。作直线TR上的垂线段ST，延伸到点V，使TV＝ST。连接VR，并与无限延长的直线VS相交，在直线VS上取点K和k，使和等于主轴与焦点间的距离的比。以Kk为直径作圆周，与直线VR相交于点H，然后，以S和H点为焦点，VH为主轴，作出曲线轨道，则问题得以解决。根据情形2中的证明，由于，即等于所求曲线主轴与其焦点间的距离之比。因此，所作的图形与之前所要求的图形类型完全相同。根据圆锥曲线的性质可知，等分角VRS的直线TR必定在点R与曲线相切。

证明完毕。

情形4　由焦点S求曲线轨道APB（如图4-7），使之与直线TR相切，穿过切线外任意一给定点P，并与以ab为主轴、s和h为焦点的图形apb相似。

作切线TR的垂线段ST，再延伸到点V，使TV＝ST，作角hsq和shq，使它们分别与角VSP和角SVP相等。再以q为中心，以与ab之比等于的值为半径作圆周，交图形apb于点p，连接sp，作出SH，使，再作角PSH与角psh相等，角VSH与psq相等。再以S、H为焦点，与距离VH相等的AB为主轴作出圆锥曲线，则问题得以解决。（如图4-8）

因为，若作sv并使、角vsp等于角hsq、角vsh等于角psq，则三角形svh与spq相似，那么，。由于三角形VSP和三角形hsq相似，因此，vh＝ab。因三角形VSH和vsh相似，那么，因此，所作圆锥曲线的主轴与焦点间距离之比等于主轴ab与焦点间距离sh的比，所作图形与图形apb相似。另外，由于三角形PSH与psh相似，因此图形将通过点P。因为VH与主轴相等，且VS被直线TR垂直平分，因此，所作图形与直线TR相切。

证明完毕。

引理16

由三个已知点向第四个点作三条直线，使它们的差要么为给定值，要么值为零。（如图4-9）

情形1　A、B、C是已知的三个点，Z是按要求所作的第四个点，由于直线AZ和BZ的差是给定值，因此，点Z的轨迹是一双曲线，A和B是双曲线的焦点，且主轴为给定差。若主轴为MN，作点P使，作PR垂直于AB，ZR垂直于PR，根据双曲线的性质，。同理，点Z位于另一条双曲线上，该双曲线焦点为A、C，主轴是AZ与CZ的差。作QS垂直于AC，若用这条双曲线上任意一点Z作QS的垂线段ZS，则＝。因此，可得到ZR和ZS与AZ的比值，并且可确定ZR与ZS的比值。若直线RP和SQ在T点相交，只要作出TZ和TA，则可知图形TRZS的类型，并能确定Z所在的直线TZ的位置。由于直线TA和角ATZ是给定值，且已得到AZ和TZ与ZS的比值，那么，它们相互间的比可以确定，因此，角ATZ也可确定，其一个顶点为Z。

证明完毕。

情形2　若三条直线中的任意两条（如AZ和BZ）是相等的，作直线TZ，使之平分直线AB，那么，用以上方法就可求出三角形ATZ。

证明完毕。

情形3　若三条直线都相等，则点Z位于过点A、B、C的圆的中心。

证明完毕。

另外，在维也特所修订的阿波罗尼奥斯的《切触》一书中，对该引理也作了证明。

命题21　问题13

通过一给定焦点，作出过给定点并与给定直线相切的曲线轨道。（如图4-10）

设焦点S、点P和切线TR为给定值，求出另一焦点H。在切线上作垂线段ST，延伸到点Y，使TY＝ST，那么，YH与主轴相等。连接SP、HP，且SP为HP与主轴的差。同样，如果更多的切线TR均已给定，或者已知更多的点P，那么，从点Y或P到焦点的直线YH或PH则可确定，要么直线与主轴相等，要么直线为主轴和给定长度SP的差，因此，它们要么是相等的，要么是有给定的差。根据前一引理，另一焦点H即可确定。如果已知焦点和主轴长度，它们或等于YH，或轨道为椭圆时等于PH＋SP，或为双曲线时等于PH-SP，曲线轨道则可确定。

证明完毕。

附注

当我所指的曲线轨道是双曲线时，并不包括双曲线的另一支，因为，当物体以连续运动前进时，必定不会脱离双曲线的一支而进入双曲线的另一支运动。（如图4-11）

如果三个点均已给定，其解答方法则更为简便。以B、C、D为给定点，连接BC和CD，并将它们延伸到点E和F，使得，。在直线EF上作垂线段SG、BH，并将GS无限延伸，在上面截取点A和a，使，那么，A将为轨道顶点，而Aa为曲线主轴。通过GA大于、等于或小于AS的不同情况，该曲线可为椭圆、抛物线或双曲线。在第一个情形中，点a与点A均位于直线GF同一侧；在第二个情形中，点a位于无限远处；在第三个情形中，点a位于GF的另一侧。因为，若作GF上的垂线段CI和DK，则。再整理排列有：，或等于；同理可证也等于该比值。因此，点B、C、D均位于由焦点S作出的圆锥曲线上，且由焦点作出的到曲线上各点的所有线段，与过该点垂直于GF的线段的比值均为给定值。

著名几何学家德拉希尔在他的著作《圆锥曲线》第八卷命题25中，也用类似方法对这个问题作了证明。