3.5　关于二分点岁差和黄赤交角不均匀的证明

有人将上述运动称为“沿圆周宽度的运动”，即沿直径的运动。他们用圆周来处理该运动的周期和均匀性问题，用弦长来表示它的大小。因此，这种运动看起来是非均匀的，近圆心时快一些，在圆周附近则慢一些，下面我将展开证明（见图3.4）。

证明：先画出半圆ABC，令中心为D，直径为ADC。B是的中点，取相等弧、。并从F和E两点向ADC作垂线EG和FK。

两倍DK与两倍BF相对，两倍EG与两倍AE相对。

因此，DK＝EG。按照欧几里得《几何原本》，AG＜GE，且AG＜DK。

由于＝，因此，物体扫过GA与KD的时间是一样的。在靠近圆周A处的运动会比在圆心D附近时慢一些。

把地球中心放在L，线LD⊥ABC。通过A、C两点，以L为圆心，画。延长直线LDM。

此时，半圆ABC的极点在M，而线ADC是圆的交线。连接线LA和线LC，线LK和线LG，把它们作为直线延长，与相交于N与O。∠LDK为直角，∠LKD为锐角，线LK长于线LD。

在两个钝角三角形中，LG＞LK，LA＞LG。以L为中心，LK为半径的圆会超出LD，与线LG和线LA相交。

令：该圆周为PKRS。△LDK的面积小于扇形LPK，△LGA的面积大于扇形LRS。

因此，△LDK与扇形LPK的比小于△LGA与扇形LRS的比。

同理，△LDK与△LGA的比也小于扇形LPK与扇形LRS的比。按照欧几里得《几何原本》，底边DK∶底边AG＝△LKD∶△LGA，而扇形LPK与扇形LRS的比等于∠DLK与∠RLS之比，或与之比。

因此，DK∶GA＜MN∶OA。但我们已经证明DK＞GA，＞。物体在沿非均匀角的相等弧和移动时，以相同的时间扫过和。

事实上，黄赤交角的极大值与极小值之差非常小，低于。因此，曲线AMC与直线ADC之差难以察觉。如果我们结合直线ADC和半圆ABC进行运算，误差就会很小。地极另一运动的情形与此相似，黄赤交角的差值不足，接下来让我们继续证明（见图3.5）。

令：ABCD是通过黄道和平均赤道极点的圆，黄道的一半为DEB，平均赤道为AEC，二者相交于E点，此处应当是平均分点。

又令：赤道的极点为F，通过该点作大圆FET，该圆应当是均匀的二分圈。

为了方便证明，我们把二分点的天平运动与黄赤交角的天平运动分离开来。在二分圈EF上截出。这段弧可以视为是赤道的视极点G从平均极点F移动的距离。

以G为顶点，作视赤道的半圆ALKC，与黄道相交于L点。L将成为视分点，与平均分点的距离为，这是由与的相等关系决定的。

我们再作圆AGC。假定在天平运动FG出现时，赤道的极点并不是在真的极点G上；相反，在第二种天平运动的影响下，赤道极点会沿转向黄道倾角。

因此，尽管黄道BED固定不动，真正的视赤道仍会因极点O的移位而漂移。视赤道交点L的运动在平均分点E周围较快，在两端点处最慢，这与前面论证的极点天平运动相似。这一发现是有价值的。