三枚没那么可疑的骰子

答案是肯定的！在加博尔·塞凯伊1986年出版的一本书里（见参考文献），就出现了这样的三枚非传递性骰子的一个例子：A' =[5, 7, 8, 9, 10, 18]，B' =[2, 3, 4, 15, 16, 17]，C' =[1, 6, 11, 12, 13, 14]。从1到18的每个数字都被用到且只用了一次。每枚骰子的数字总和都是57，于是平均值就是9.5。计算表明，骰子A'在36种情况的21种（也就是所有情况的7/12）之中能打败骰子B'。骰子B'对阵骰子C'，还有骰子C'对阵骰子A'的结果也一样。尽管三枚骰子各不相同，但它们之间似乎有着完美的对称性：一来，每枚骰子的所有可能投掷结果平均都是9.5；二来，每枚骰子打败下一枚的概率都是7/12，输给上一枚的概率也是这样。这些骰子组成了一条长度为3的非传递性链条，就像“石头、剪刀、布”那样：

然而新的矛盾又出现了，如果同时投掷三枚骰子的话，骰子B'显然更好。实际上，一共有216种可能的结果，对这些结果的分析表明，骰子B'在90种情况下大获全胜，而骰子A'胜利的情况只有63种，骰子C'也一样。这三枚骰子在独自投掷或者两枚对战时的平衡性，在一起投掷的时候就消失了！

颠倒的世界

这座像从天上掉下来的房子，是艺术家让–弗朗索瓦·富尔图在法国里尔展出的作品（Fantastic，为“里尔3000”项目设计，2012）。

为了列出所有这样的三枚骰子的组合，加丁·布莱克在2010年进行了一项彻底的计算，发现对于寻找各自拥有相同平均值、以相同概率战胜彼此，并且从1到18的每个数字恰好用到一次的三枚非传递性骰子的组合这个问题，它的解答一共有8种。每种组合的胜利概率都不超过7/12，而每个组合的三枚骰子一起投掷时胜率也不均衡。框3给出了这8种解答，还有它们三枚一起投掷时各自的胜率（胜利的情况数）。

3．8组平衡的三枚套骰子