2.4 电多极子与电势的多极展开

电偶极子可以认为是这样形成的一种电荷分布：使点电荷（现在称为单极子）有一极小的位移d，在原处放一个等值异号的点电荷。若继续此过程，使电偶极子有一极小的位移，在原处放一个偶极矩量值相同而方向相反的电偶极子，得到的电荷分布称为四极子。同样地可定义2n极子。我们将n=0,1,2, …的所有电荷分布（它们具有某种对称性）总称为电多极子。如果将电荷团电势的积分表达式展开，就得到电势U(r)的多极展开式，即将实际带电体的电势表示成单极子、偶极子、四极子…的电势之和。

现求电势多极展开式

式中，r为电荷团中心点位置到场点位置的矢径；r′为电荷团电荷相对中心点的矢径。由于r′相对于r很小，有

其中r为r模（大小）; r′为r′模。将式中方括号内各项用直角坐标表示，并以x1、x2、x3及x1′、x2′、x3′分别表示x、y、z及x′、y′、z′，从而有

，其中。

于是有

我们可以看到，式中各项依次按r−1、r−2、r−3…而变化，进一步分析可见，它们和单极子、偶极子、四极子……的电势与r的关系相同，所以分别称为单极子、偶极子、四极子项。显然，场点离电荷分布区域越远，高次项的贡献就越小。现逐项说明展开式中的前三项。

2.4.1 单极子项

将式（2−4−4）中的第一项记为U0(r)，则

其中Q=∫dq′, Q为V中的净电荷，称为电荷分布的单极矩。若Q≠ 0，在离电荷分布区域足够远的场点，U0是展开式中最主要的项，可以认为U≈U0。即把整个电荷分布看成位于中心点的点电荷。

2.4.2 偶极子项

将式（2−4−4）中的第二项记为U1，即

其中p r′dq′。=∫

p称为电荷分布对中心点的偶极矩。若Q=0，在远离场源的观察点，U1成为U中起主要作用的项，即此时的电荷分布有如中心点的一个电偶极子。若用电偶极子的一般定义，可得p=qd。如果电荷分布关于中心点对称，则其电偶极矩等于零。

2.4.3 四极子项

将式（2−4−4）中第三项记为U2，则

其中Qij为电荷分布的四极矩张量的分量：

四极矩是二阶张量，9个分量间满足：

所以四极矩是只有5个独立分量的对称张量。另外，若电荷分布是柱对称的（以z轴为对称轴），则从Qij的表示式可见

而球对称分布的电荷，四极矩所有分量均为零。实际上，这种电荷分布只有单极矩不是零，所以对球外的点，其特性就像中心点的点电荷而不包含任何近似。

从上面的讨论可见，任意电荷分布的电势可以用适当选取项数的电多极子电势来近似。或者说，用点电荷、电偶极子、电四极子……来近似实际的电荷分布。而且这样的近似，其应用已超出只是求电荷分布的电势的范畴。

用上面引入的符号，电势可以写成

以上是连续电荷团的电势分析，对于离散电荷团来说，可以用求和的形式进行分析，并得出同样的规律。

离散电荷团的电势可描述为下述求和的形式：

其中为格林函数；x为场量的矢径；x′为电荷团中心的矢径；di为电荷qi相对中心x′的位置向量。

当di很小时，可将U(x)在x′处进行泰勒展开得

其中，为总电荷量；为总偶极矩为哈密尔顿算子。

由式（2−4−11）可以看出电荷团的电场有电荷作用成分，有电偶极矩的作用成分，也有多极矩的作用成分。离散电荷团的规律和连续电荷团规律一致。