3.2 安培力

3.2.1 安培力的定义

外磁场对载流导线有力的作用，这个力通常被称为安培力，以纪念安培（Ampere, 1775—1836）在这方面的重要发现及突出贡献。安培是最早对载流导线间相互作用力进行系统定量研究的科学家，他于1820年在大量实验的基础上提出了关于磁场对载流导线作用力的基本定律——安培定律：放在磁场中某点处的电流元I d l所受到的磁场力dF的大小与电流元I dl、电流元所在处磁场的磁感应强度B以及dl与B之间的夹角θ的正弦成正比；dF的方向垂直于Idl和B所决定的平面，指向遵从右手螺旋法则。用公式可表达为

其中k是比例系数，其值取决于式中各量所采用的单位。在国际单位中k＝1。于是式（3−2−1）可写为

根据安培定律和力的叠加原理，原则上可求得任意形状载流导线所受的安培力，对于任意形状的载流导线在外磁场中受到的安培力，应等于它的各个电流元所受的安培力的矢量和，通常可用积分式表示，即

式（3−2−3）是一个矢量积分，应注意判断dF的方向。它是电流元在外磁场中所受的作用力。

3.2.2 安培力的微观解释

安培力的微观机制，可由洛伦兹力来解释。导线中的电流，从本质上看是自由电子的定向运动。自由电子在外磁场中受洛伦兹力的作用，向导线侧向漂移，与晶格上的正离子碰撞。于是，自由电子从外磁场获得的动量便传递给导线。因此，从宏观上看，导线受外磁场作用力而运动。

设单位体积的导线中有 n个载流子，在导线上设想一段电流元I dl，截面积为S，则该电流元内有dN=nS d l个载流子。若每个载流子电量为q，速度为v，则在外磁场B作用下，每个载流子受洛伦兹力为qv×B，整个电流元所受安培力便是dN个载流子所受洛伦兹力的总和，即

式中，qnSv为单位时间内通过导线截面S的电量，即电流强度I。若以电流I流动的方向定为电流元Idl的方向，则有

于是，电流元所受的安培力便可写为式（3−2−1）。

3.2.3 载流导线在磁场中所受到的磁力

由安培定律，我们知道，通有电流的导线在磁场中会受到安培力的作用。如图3−2−1所示。显然，当通电导线是长为L的直导线，并处于匀强磁场中时，此时，长为L的直导线所受的安培力的大小为

式中，θ为导线中电流指向与B方向的夹角，当θ=0或θ=π时，F=0；当时，F为最大，即F=IBL。安培力的指向按照右手螺旋法则，其方向为垂直纸面向里。

应该指出，式（3−2−3）为矢量积分，对任意形状的载流导线或载流导线处于不均匀磁场中，每一电流元所受的安培力dF的大小和方向均有所不同。求它们的合力时较复杂。原则上要化矢量积分为标量积分。即把dF分解为d Fx、d Fy、d Fz三个分量，然后通过积分求得分量d Fx、d Fy、d Fz，最后再合成为F。

3.2.4 载流线圈在磁场中所受到的磁力矩

1．载流线圈在匀强磁场中所受到的磁力矩

为了讨论平面载流线圈在磁场中所受的作用，我们先规定平面载流线圈的法线方向，如图3−2−2所示，使右手四指弯曲的方向代表线圈中电流的环绕方向，则伸直的拇指代表该线圈的法线方向，用单位法向矢量en表示。

如图3−2−3和图3−2−4所示，ABCD为一矩形线圈，边长为两l1和两l2，其中电流为I，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，线圈法线en与B的夹角为θ，线圈的一组对边 DA、CB与B垂直。先分析线圈各边的受力情况，AB和CD受到的磁场力量值相等，方向相反，且在同一直线上，因而对线圈的作用相互抵消，可不作具体计算。另一组对边 DA和BC 所受磁场力也是量值相等、方向相反，但不在同一条直线上，因此，它们对线圈形成一个力偶矩的作用。这两边受磁场力的量值为

因此，线圈所受磁力矩的量值为

式中，S=l1l2为矩形线圈的面积；若线圈有N匝，则线圈所受磁力矩为

式中，m=NIS为描述平面载流线圈性质的量，由于平面载流线圈可看作是有方向的，其方向为线圈法线方向，用矢量表示，则可写为

m称为线圈的磁矩，其大小为NIS，而en即线圈法线方向的单位矢量。这样，磁力矩 M 的方向就是m×B的方向，所以写成矢量式为

式（3−2−12）对匀强磁场中任意形状的平面线圈均成立，实验证明，凡带电粒子或带电体在运动中均具有磁矩，则其在均匀磁场中所受磁力矩，也可由此式描述。

由此可见，若平面线圈在均匀磁场中受到力矩作用，则该力矩总是迫使线圈转动，使磁矩m趋向B的方向。由于平面载流线圈在匀强磁场中所受到的磁场力为零，所以不发生线圈的平动，只可能有转动。这对任意形状的平面载流线圈都一样。由式（3−2−12）可知，磁力矩的大小为M=mB sin θ，可见θ=0时，线圈法线方向与磁场方向平行；M=0时，线圈不受磁力矩作用。我们称线圈此时处于稳定平衡状态。而当θ=π时，此时线圈法线方向与磁场方向反向平行，也存在M=0，但由于此时若稍有外力干扰使线圈磁矩方向偏离磁场方向，撤去外力后，线圈不会自动回复到θ=π的状态，所以，称θ=π时的状态为不稳定平衡状态。当时，线圈所受的磁力矩最大，M=mB。

2．载流线圈在非匀强磁场中所受到的磁力矩

在非匀强磁场中，线圈所受的合力和合力矩一般都不会等于零，所以线圈既有转动又有平动。为便于说明，举一个特殊的例子。设有一辐射型磁场如图3−2−5所示，一半径为R 的圆形线圈，其圆心在磁场的对称轴上，其磁矩m与线圈中心处B的方向相同，在线圈上任取一电流元I dl，该处B与线圈平面法线en方向的夹角为φ，把B分解为垂直于线圈平面的分量B⊥和平行于线圈平面的分量B//，它们的量值分别为

分量作用在Idl上的安培力为2dF，其量值为

其方向沿电流元Idl所在处的半径指向外。由对称性可知，对整个线圈来说，作用在各电流元上的力的总效果只能使线圈发生形变，不能使线圈发生平动或转动；另一磁场分量B//作用在电流元Idl上的安培力dF1，其方向垂直于线圈平面向左，量值为

作用在整个线圈各电流元上的这些力方向相同，量值相等。所以合力使线圈整体由磁场较弱处向磁场较强处移动。合力为

3.2.5 平行载流导线间的相互作用力

运动的电荷在导体中会形成电流（Electric Current），按照毕奥−萨伐尔定律（Biot-Savart Law），在真空中电流强度为I′的回路L’将在附近产生磁场，磁感应强度为

其中μ0=4π×10−7 H/m为真空中的磁导率（Permeability in Vacuum）; I′为电流强度（Electric current Intensity）; r为位置向量；r=r为r的模。

按照安培定律，由于电路中电荷流动的作用及回路电流磁感应的作用，两电流回路L和L′间将产生作用力，根据洛伦兹力和磁感应强度关系，回路L所受的作用力可描述为

回路L′所受的作用力与回路L所受的作用力大小相等、方向相反，即F(L′)=−F(L)。总体上可以看出，当两回路的电流方向相同时为吸引力，而当两回路的电流方向相反时为排斥力。

当相邻两条通电导线为两条无限长平行直导线时，在距离导线为a点的磁感应强度大小为。再利用安培定律，就可以计算两条无限长载流平行直导线之间的相互作用力。设有两条无限长载流平行直导线相距为a，如图3−2−6所示，分别通有电流I1和I2。在导线 CD 上任选一电流元I 2dl 2，根据毕奥−萨伐尔定律，无限长直导线AB中电流I1在I2dl2处产生的磁感应强度大小为1B。根据安培定律，电流元I2dl 2受力大小为

df 21=I2B1dl2

将B1代入上式，得

df21的方向在两平行直导线电流所决定的平面内，而指向导线AB。由于导线CD上任一电流元所受力的大小、方向均相同，得导线CD上单位长度受力为

同样可推出导线AB上单位长度受力大小为

导线AB受力方向指向导线CD。

通过上面的推导，再结合安培定律，将两个无限长的平行载流导线间的相互作用力归结如下：当两根平行导线电流方向相同时，通过磁场作用，互相吸引，两根平行导线电流方向相反时互相排斥；力的大小与两根平行导线电流强度成正比，与两根平行导线间的距离成反比。