第四节 电阻、电感和电容

交流电路中的负载，除耗能元件电阻之外，还有储能元件电感和电容。电感线圈通常可以忽略它的电阻，所以把电感线圈接入直流电路中相当于短路。电容器的两极板之间是绝缘的，所以，电容器接入直流电路中，仅在接通的瞬间有短暂的充电电流，而稳态时相当于断路。但是，把电感线圈或电容器接入交流电路中，情况就不一样了。因此，在交流电路中起作用的共有三种参数：电阻R、电感L和电容C。本节将对这三种基本元件在交流电路中的作用分别一一概述；并对电容器在直流电路中的充电和放电过程加以讨论。

一、电阻元件

如图2-4所示，假定交变电压u与交变电流i的正方向相同，根据欧姆定律得

即电阻元件上电压、电流的瞬时值之间存在线性关系。

将式（2-8）两边乘以i并对时间变量进行积分，得

式（2-9）表示电能全部消耗在电阻上，转换为热能，故电阻是耗能元件。

二、电感元件

1．电磁感应定律

奥斯特于1820年发现了电流的磁效应，即电流产生磁场；法拉第于1831年发现它的逆效应——电磁感应，即利用运动的磁场来获得电流。运动的磁场也就是变化的磁场，当导体回路所包围的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势和感应电流；或者，导体与磁场之间有相对运动致使导体切割磁力线，也能在导体中产生感应电动势。这两种情况，本质相同，统称为电磁感应。电磁感应定律是近代发电机的理论基础。

有普遍意义的麦克斯韦电磁感应定律具有下列简单的数学形式：

式中，N为密绕线圈的匝数；Φ为每匝线圈包围的磁通，单位为韦伯（Wb），简称韦，1Wb=1V·s；为Φ的时间变化率。

式（2-10）中负号的含义如下：

习惯上约定：感应电动势为正值时，表示回路中磁通方向与电动势方向符合右螺旋关系，如图2-5a所示，此时感应电动势是由于原磁通减少（即＜0）而产生的；感应电动势为负值时，表示回路中磁通方向与电动势方向不符合右螺旋关系，如图2-5b所示，此时感应电动势是因原磁通增加（＞0）而产生的。

设线圈回路是闭合的，e将引起感应电流i，i与e同向。在图2-5b所示原磁通增加的情况下，既然i与原磁通不符合右螺旋关系，那么i的磁通就与原磁通反向，对原磁通的增加起阻碍作用；反之，在图2-5a所示原磁通减少的情况下，感应电流i的磁通与原磁通方向相同，即阻碍原磁通的减少。综上所述，感应电动势引起的感应电流总是要阻碍回路包围的原磁通的任何变化，这就是式（2-10）中负号的含义。

麦克斯韦电磁感应定律可简述如下：回路中的感应电动势等于回路包围的磁通链（NΦ）变化率的负值（采用国际单位制）。

2．自感

如果通入线圈的电流发生变化，线圈包围的磁通也随之变化，变化的磁通将在线圈中引起感应电动势，这种由回路自身的电流变化引起的电磁感应现象称为自感应现象。

设通电线圈匝数为N，每匝线圈包围的磁通为Φ，若线圈是密绕的，则磁通链Ψ（Ψ=NΦ）与电流i的比值称为线圈的自感系数，简称自感，又称电感，记为

式中，磁通链Ψ的单位为Wb；电流i的单位为A；电感L的单位是=Ω·s，称为亨和（H），简称亨。

如果一个线圈通过1A电流，产生的磁通链为1Wb，那么这个线圈就具有1H的电感。电感较小的单位有

1mH=10^-3H,1μH=10^-6H

由式（2-11）得

应用麦克斯韦电磁感应定律，自感电动势为

式（2-13）是电工学的一个重要公式。应用此式时，规定自感电动势e_L的正方向与电流i的正方向一致。式（2-13）中负号表示：当电流增加时，即＞0,e_L＜0，此时自感电动势的实际方向与电流反向；当电流减小时，即＜0,e_L＞0，此时自感电动势的实际方向与电流同向。若电流是稳恒的，则=0,e_L=0，此时没有自感电动势。

3．交流电路中的电感元件

设图2-6a所示的电感线圈只具有电感L（其电阻忽略不计），图中各交变量的正方向一般按下述原则选定：电源电压u的正方向可以任意选定（在此图中，当u为正值时，上端的电位高、下端的电位低），电流i的正方向与电压u的正方向一致，电流i与它产生的磁通φ二者的正方向之间应符合右螺旋定则；规定自感电动势e_L的正方向与磁通φ的正方向之间也符合右螺旋定则。因此，e_L的正方向与i的正方向一致。

应用基尔霍夫电压定律（如按顺时针循行方向），得

e_L=-u或u+e_L=0

于是

式（2-14）就是电感元件上电压与电流的瞬时值之间的基本关系（导数关系式）。怎样理解这个关系式呢？一是理解为交变电流i流过电感L时，使电感两端出现交变的电感电压降：；另一是反过来理解，就是说为了驱使交变电流流过电感L，必须外加一个交变电压u，这个电压应与交变电流在线圈中引起的自感电动势e_L相平衡：u=-e_L。这两种理解实质上是一回事。

将式（2-14）两边乘以idt，并求积分，得

式中，为磁场能量。

当电感元件中的电流i增大时，磁场能量增大，此时电流能量转换为磁场能量，即电感元件从电源中吸取能量；当电流i减小时，磁场能量减小，此时磁能转换为电能，即电感元件向电源输送能量。综上，电感是储能元件。

三、电容

1．电容器和电容

电容器是储存电荷的容器，它在电路中也是一种储能元件。凡是用电介质隔开而又互相靠近的两块导体，即构成了一个电容器，这两块导体称为电容器的极板。将电容器的两块极板分别接到直流电源的正、负极上，如图2-7所示。在电源电压U的作用下，就会有电荷向电容器的极板移动，形成暂时的电流。由于极板间相互绝缘，电荷不能通过，故电荷会聚积在电容器的极板上，与电源正极连接的极板上聚积正电荷，与电源负极连接的极板上聚积等量的负电荷。这个电荷的聚积过程称为电容器的充电过程；反之，电容器极板上电荷的释放过程称为电容器放电过程。

电容器充电过程中，由于极板上聚积着等量的正、负电荷，使极板间建立了电场，产生了电压u_C，u_C的作用与外加电压U的作用相反，u_C对电荷的继续聚积起阻碍作用，随着极板上电荷的增多，u_C越来越大，电路中电荷向极板移动而形成的电流就越来越小。当u_C=U时，电路中电流减小为零，于是电容器的充电过程就结束了。这时电容器极板上聚积了一定的电荷Q（即正极板上电荷为+Q，负极板上电荷为-Q），也就是电容器储存的电荷。这时，电容器两极板间的电压就等于外加电压U，即使撤去电源，只要两极板不接通，也不去改变电容器的结构，那么，出于正负电荷±Q相互吸引而不消失，极板间的电压u_C仍保持不变。

实验证明，若增加充电电压U，则充电结束时电容器储存的电荷Q也随之正比例增多。即对一定的电容器来说，它储存的电量Q与其极板间的电压U的比值是一个常数，我们用它来表示电容器储存电荷的能力，称为电容器的电容，记作C，即

电容器的电容在数值上等于使电容器的电压每升高一个单位所需要的电量。若Q的单位为库（C），U的单位为伏（V），则电容C的单位是法拉（F），简称法，即

1F=1C/V

实际应用时，法拉（F）这个单位太大，通常用微法（μF）或皮法（pF）作单位：

1μF=10^-6F，1pF=10^-12F

【专业指导】 几千微法容量的电容（比如3300μF）在电工电子或电力电子上已是大容量电容了。在新能源汽车上采用一种高容量的电容，称为超级电容。在超级电容作为储能装置的电动汽车上，超级电容用法（F）作单位，这种电容器能做到1000~2000F/kg以上，法（F）这个单位就不再是大单位了。

电容器的电容C与电容器的结构有关。例如，平行板电容器的电容与极板相对着的面积成正比，与极板间的距离成反比，还与极板间的电介质材料有关；在上述各因素均确定之后，平行板电容器的电容C就确定了。为了获得较大的电容，就要求极板面积大，而极板间距离小。因此，纸介质电容器通常用绝缘性能较好的电容器纸将两张铝箔（或锡箔）分别隔开再卷制而成。

为了避免电容器使用时被击穿（击穿时电介质失去绝缘作用，电容器损坏），通常在电容器上标明额定工作电压，习称耐压，即电容器长期工作时所能承受的最大电压。实际使用时，电容器两端所加的电压一般应小于额定工作电压。

常用的电容器可分为固定电容器、可变电容器和微调电容器（即半可变电容器）三种。固定电容器的电容不能调节，由于采用的电介质不同，固定电容器又可分为云母电容器、纸介质电容器、陶瓷电容器、有机薄膜电容器、电解电容器等。电解电容器的电容较大，可达几千微法；但耐压较低，且本身具有正负极性，使用时不能接反。

图2-8所示为各种电容器的外形图，各种电容器的代表符号如图2-9所示。

【专业指导】 常见的有极性电容器有电解电容器和钽电容器，这两种电容器只能接在直流电路中，若接入在交流电路中不久就会损坏。早期的混合动力汽车和纯电动汽车的变频器内部正极和负极线之间采用电解电容器，但经使用后发现在低温环境中，容易出现电解液结晶刺穿绝缘纸的问题。

电容的形成是很容易的，只要在两导体之间隔有电介质就能形成。例如，两条输电线之间隔着空气，就构成了线间电容；输电线与大地之间形成对地电容；电子线路中，晶体管的电极之间存在着极间电容；分布在导线之间、线圈匝间、线圈与机壳之间某些元件之间的分布电容等。这些电容又常称为寄生电容，它们的数值虽然很小，但在工作频率较高的情况下，它们的影响往往不能忽略。例如，工业生产中常用的热工仪表——电子电位差计，其中的分布电容是引进干扰的一个重要原因，必须采取有效的抗干扰措施，才能保证仪表的正常工作和测量精确度。

2．交流电路中的电容元件

将电容元件的两端接上交变电压，在u的正方向如图2-10所示的情况下，当电压u为正值时，上极板聚积正电荷（+q），下极板聚积负电荷（-q）。根据式（2-16），极板上的电量q随交变电压u成正比例变化：q=Cu。电量q的变化，在电路中就要引起电流，即

式（2-17）就是电容元件上电压和电流的瞬时值之间的基本关系（导数关系式）。式（2-17）是在u和i的正方向相同的情况下得出的，若u和i的正方向相反，则应加一负号。

将式（2-17）两边乘以udt，并求积分，得

式中，为电容元件极板间的电场能量。

当电压u升高时，电场能量增大，此时电容元件从电源吸取电能（充电过程）；当电压u降低时，电场能量减小，此时电容元件向电源输送能量（放电过程）。

3．电容器的充电和放电

将电容器和电阻串联，组成RC串联电路，简称RC电路，接入直流电源，如图2-11所示。设充电前电容器上的电荷与电压为零，当开关S闭合于A点时，充电开始u_C与i都不断变化，但每一瞬时都应有

U=u_R+u_C=Ri+u_C

即

将式（2-17）与式（2-19）消去i，得一元微分方程，即

解之，并按初始条件（t=0时，u_C=0），可得

式中，τ=RC，称为RC电路的时间常数，单位为秒（s）。

式（2-20）表明，RC电路在充电过程中，电容器的端电压u_C随时间按指数规律由0增加到U（外加直流电压）。

由式（2-19）及式（2-20）可以导出

这表明充电电流i按指数规律由减小到零。

图2-12中的两条指数曲线分别表示u_C按指数规律增长和i按指数规律衰减的情况。由图可见，u_C开始上升得很快，后来逐渐变慢；i开始下降得很快，后来也变慢。

通常认为t=3 ~ 5τ时，充电过程就基本结束。实际上，当t=3τ时，=e^-3≈0.05，则u_C≈U,i≈0。综上可知，τ值越大，充电时间就越长。这是因为，R越大，初始电流U/R越小，充电就越慢；C越大，最终电量Q越大，充电过程就越长。作为极限情况，若R=0，则τ=0，这时电容器充、放电过程将随电压变化而即时完成。

在如图2-13所示的电路中，充电结束后，将开关S从A点合到B点，于是电容器通过电阻R放电，在闭合回路中形成放电电流，电流方向与充电时相反。随着电容器放电，极板上电荷减少，电容器的电压u_C及电路中的放电电流i也随之衰减。它们仍都按指数规律衰减：

i为负值表明放电电流的方向与充电电流相反。图2-13所示为放电时u_C与i的变化曲线。

综上所述，电容器的充电过程就是聚积电荷、建立电压、将电流能量转变为电场能量储存起来的过程；放电则是释放电荷、电压衰减、将储存的场能量转变为电流能量（这些电流能量最终在电阻上转变为热能）的过程。因此，充电时电容器起负载作用；放电时电容器起电源作用。

例2-3 电阻R=5.5kΩ与C=60μF串联后接到U=220V的直流电源上充电。试求（1）充电开始时的最大电流；（2）若认为t=3τ时充电即告结束，求充电过程约需多少时间？

解 （1）充电开始时的最大电流为

（2）因为时间常数为

τ=RC=5500×60×10^-6s=0.33s

故

t=3τ=3×0.33s≈1s

即充电过程约需1s。

【专业指导】 在电动汽车的高压蓄电池给高压用电器供电时，由于高压用电器（如汽车变频器、DC/DC转换器等在直流母线进线端间放置一个较大容量的电容器，电容器可以提高电源的性能，电容器离用电器越近越好，例如在汽车变频器上，通常将其设计在变频器内。由于此电容器的存在，蓄电池和变频器之间的上电继电器组在上电瞬间会在蓄电池、导线、上电继电器组上会产生很大的电流（电容器在直流充电过程认为没有电阻，即只有线路中的电阻进行限流，所以实际电流会很大）。这个很大的电流会烧毁蓄电池、上电继电器组或导线，所以在上电继电器组上要设计电容器预充电路，电容器预充电路包括预充继电器和预充电阻。工作过程是先让电容器预充电路形成回路，当电容器的电压被充至蓄电池电压的90%左右时，一个正式的继电器电路代替电容器预充继电器电路。