1.2 逻辑代数中的三种基本运算

1854年，英国数学家乔治·布尔在他的著作《思维规律的研究》中提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法，后来被称为布尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以把布尔代数叫做开关代数或者逻辑代数。本章所讲的逻辑代数就是布尔代数在二值逻辑电路中的应用。

在逻辑代数中也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每个变量只有0和1两种取值可能。在这里，0和1不再是数值的大小，而只表示两种不同的逻辑状态。

事物之间的因果关系称为逻辑关系，基本的逻辑关系有三种：与逻辑、或逻辑和非逻辑。任何一个复杂的逻辑关系都可以用这三个基本逻辑关系表示出来。为便于理解它们的含义，先来看三个简单的电路。

图1.2.1中给出了三个简单的由开关控制的灯光控制电路。图（a）中，只有当两个开关同时闭合时，灯泡才会被点亮；图（b）中，只要任何一个开关闭合，灯泡就会亮；在图（c）中，当开关闭合时，灯泡反而不亮。

如果把开关状态（断开或者闭合）作为条件（或称为导致事件结果的原因），把灯泡的状态（亮或者不亮）作为结果，那么图1.2.1中的三个电路代表了三种不同的逻辑关系：

图（a）表明，只有当开关A、B均闭合时，灯泡才会亮，这种开关状态与灯泡状态之间的逻辑关系称为与逻辑关系。其定义为：如果决定某事件结果的所有条件都具备，结果才发生；而只要其中一个条件不具备，结果就不能发生，这种逻辑关系称为与逻辑关系。

图（b）表明，只要当开关A、B均中有一个闭合，灯泡就会亮；只有当开关A、B均断开时，灯泡才不会亮，这种开关状态与灯泡状态之间的逻辑关系称为或逻辑关系。其定义为：在 A、B 等多个条件中，只要具备一个条件，事件就会发生；只有所有条件均不具备时，事件才不发生，这种因果关系为或逻辑关系。

图（c）表明，只要开关A闭合，灯泡就不会亮；只有当开关A断开时，灯泡才亮，这种开关状态与灯泡状态之间的逻辑关系称为非逻辑关系。其定义为：决定事件结果的条件只一个，条件成立时，事件就不发生；条件不成立时，事件就发生，这种因果关系为非逻辑关系。

若以A、B表示开关的状态，并以1表示开关闭合，0表示开关断开；Y表示灯泡的状态，并以1表示灯亮，0表示不亮，则可以列出用0和1表示的与、或、非逻辑关系的图表，如表1.2.1、表1.2.2、表1.2.3所示。这种用0和1表示输入、输出状态关系的表称为逻辑状态表，亦称真值表。

在逻辑代数中，把与、或、非看作是输出逻辑变量Y与输入逻辑变量A、B间的三种最基本的逻辑运算，并以“· ”表示与运算、“+”表示或运算、变量上的“—”表示非运算。因此，与逻辑运算逻辑表达式为

Y=A·B=AB

由此我们可将表1.2.1中的内涵转化为如下四个表达式

0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1。

或运算逻辑表达式为

Y=A+B

由此我们可将表1.2.2中的内涵转化为如下四个表达式

0+0=0,0+1=0,1+0=0,1+1=1。

非运算逻辑表达式为

由此我们可将表1.2.3中的内涵转化为如下两个表达式

同时，把实现与逻辑运算的单元电路称为与门，把实现或逻辑运算的单元电路称为或门，把实现非逻辑运算的单元电路称为非门（也叫作反相器）。三个门对应的符号如图1.2.2所示，其中上边一行是目前国家标准规定的符号，下边一行的符号常见于国外一些书刊和资料上。