前言

美国数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。”这一数学名言言简意赅地点明了数学问题对数学的重要性。

1900 年 8 月，在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特做了题为《数学问题》的著名演讲。这一演讲，成为世界数学史的重要里程碑，为 20 世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这次演讲中，希尔伯特提出了 23 个当时未解决的难题——后来以“希尔伯特问题”著称，而对这些难题的研究激励、推动了 20 世纪整个数学的发展。

1985 年，美籍华裔数学大师陈省身在南开大学数学研究所成立时指出，“一定要做好的数学”“有好的数学和不好的数学之分”“要从年轻时就懂得欣赏好的数学”。

从这两个事例中，我们可体会到好的数学问题对数学的重要性。那么，什么是好的数学问题呢？在陈省身看来，只有那些不断深入、有发展前途、可以影响许多学科的数学问题才是“好的数学”，如解方程。而另一些数学问题虽然可能也蛮有意思，但难以有进一步发展，它们就是“不好的数学”，如“拿破仑定理”。在希尔伯特看来，好的数学问题在于它有用且增进知识，数学史上的重要问题就在于其能创造新方法、建立新理论、开辟新领域。简单说，好的数学问题就是能为数学“下金蛋”的数学问题。

纵观数学发展史，这类重要的、有价值的数学问题可谓不胜枚举。本书所要介绍的正是从代数、几何、图论、数论中采撷出的 6 个经典数学问题。

• 在第一章中，我们介绍多项式方程根式解问题。这一问题涉及的是代数的中心问题：解方程。通过对这一问题的介绍，我们将看到代数学是如何随着这一问题的研究一步一步发展起来的。我们还将看到，正是问题最终的解决，将代数学引向了新的方向。
• 在第二章中，我们介绍几何三大问题，即用尺规三等分角、倍立方，以及化圆为方。这一类问题属于平面几何，而问题的解决要以解析几何作为工具。因此，我们在这一章中也会简单介绍一下解析几何。
• 在第三章中，我们介绍欧几里得第五公设问题。这一问题来自欧氏平面几何，但对它 2000 多年的探讨却促使了非欧几何的创立。我们还将看到，非欧几何的产生对数学的重要意义及其在相对论中的应用。
• 在第四章中，我们介绍四色问题。这一问题属于拓扑学，或更确切地说，属于图论。我们将看到，诞生于数学游戏的拓扑学与图论是如何随着四色问题的研究得到进一步发展的。最终四色问题的计算机证明，又引发了人们对数学证明等问题的深入探讨。
• 在第五章中，我们介绍费马问题。这一问题属于数论。我们的介绍亦将从数论的起源开始，并简单介绍在数论早期发展中做出重要贡献的几位数学家及其工作。最后，我们将以英国数学家怀尔斯的圆梦之旅作为这出精彩数学戏剧的尾声。我们还将从中看到，早期的数论伴随着这一问题的研究而得以扩展形成新的数学分支——代数数论。
• 在第六章中，我们介绍素数问题。这一同样属于数论的问题曾被列入希尔伯特 23 个问题中，也称为希尔伯特第 8 问题。这是一个涵盖面非常广的问题。我们将主要介绍数学之圣杯：黎曼猜想。这一问题与本书前 5 章介绍的问题有一个重要差别：前者都是已经获解的问题，而只有黎曼猜想，这一被许多数学家认为是最重要的数学问题至今仍是尚未有人登顶的数学高峰。

通过这几个问题的清晰介绍，读者可对这些问题的来龙去脉获得清楚认识。而伴随着这一过程，读者的数学旅程亦将成为反复体验“从惊讶到思考”的快乐之旅。

首先，读者会为这几个著名难题拥有的“困难性和简单性的某种巧妙组合”特征而惊讶。简单性，是指问题本身清楚、易于理解。正是这一特点吸引、诱惑着无数人走上寻找问题解决钥匙的道路。同时，无数尝试者的失败也揭示出这些看似简单的问题实质上极度困难。这种问题表述“非常简单”和问题求解“极度困难”的鲜明对立，是这些问题的特别迷人之处，也是令人惊叹之处。

其次，当看到这些问题的最终解答时，读者可能有更大的惊讶感。一方面，有些问题的答案本身出人意料，如高于四次的一般多项式方程没有根式解。另一方面，更出人意料的是问题的解决途径。比如，为了证明看上去很简单的四色问题，我们不得不借助于电子计算机。再如，为了证明费马大定理，数学家们不得不兜上一个大圈子证明谷山 - 志村猜想，而为了证明谷山 - 志村猜想，怀尔斯不得不综合利用现代数学许多分支的成就。

最后，读者可能惊讶于这些数学问题孵出的金蛋之多。通过书中例证，我们会清楚认识到，数学中的重要问题，往往会成为新思想发展的酵母。为了解决问题，数学家们往往要提出新概念、新思想，创立新方法，得到新发现，而这些真知灼见，甚至可能打开一扇新分支的大门。比如，正是在研究多项式方程的根式解问题中，天才数学家伽罗瓦提出了群论。再如，在费马大定理的研究中，德国著名数学家库默尔提出了理想数思想，其新思想虽然没有彻底解决费马猜想，但极大推动了代数数论的发展。

从不断的惊讶中，读者不仅会对这些重要的数学问题有所认识，从中领略它们的魅力，而且可深切体会“重大而关键的问题是活的血液，是推动数学发展的重要动力源泉”。更重要的是，读者在惊讶之余，还可做多角度、多层次的深入思考。

• 数学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系。我们从本书的介绍中会反复体会到：在一个领域中发展的成果，将成为解决另一个似乎无关领域中突出问题的关键因素。而这种稳固出现的联系证实了数学本质上的一致性。
• 一般来说，如果继续沿着前人的老路去解决著名数学问题，小改小革难以奏效，对于有几百年历史的老问题尤其如此。一个历史的经验是，要解决问题，必须找到新方法和新途径，特别是发现与其他领域的新关系。自然，想依靠初等方法解决这类著名难题的努力注定会是徒劳的。
• 我们还会体会到，抽象的与高深的数学是必要的。现代数学抽象化的趋势，不免引起人们对数学的误解，认为数学只是少数怪杰才能问津且远离现实的象牙塔。实际上，数学的抽象绝不是无源之水、无本之木。书中提到的群论的诞生即是很好的例证。

真正想从事数学研究，并有志解决世界数学难题的人，应该明白自己努力的方向：打下良好的基础，具备相当的数学知识与修养，掌握所研究领域和课题已有的成果、方法和最新文献，在此基础上，再做进一步的探讨。也就是说，任何世界难题的解决，都建立在对前人成功与失败的深入了解的基础之上。如果认为自己可以完全独立另造一片天空，以解决前人未能解决的问题，这只能是白费力气。

从惊讶到思考，我们将加深对“数学是什么”的理解，而且还可体会到数学之美，感受到数学的无穷魅力。

另外，书中还穿插了数学家的逸事及相关的数学思想。通过这种介绍，读者可从更多侧面了解“数学家是什么样的人”，同时可对许多重要数学思想有更透彻的认识。

本书是一本数学科普读物，可供广大师生及所有数学爱好者阅读。

本书在写作过程中参考了大量的数学书籍（书后附有主要的参考文献），谨向这些书的作者和译者表示真诚的谢意。另外，本书在写作过程中还参考了部分网上相关资料，书中部分图片也是通过搜索引擎在网上找到的，在此谨向这些网文与图片作者或所有者表示感谢。本书无法一一注明参考网文与图片的来源，还请见谅。

最后需要说明的是，书中不足或错误在所难免，我真诚地期望能得到读者朋友的指正。如果你有什么意见或建议，可以通过电子邮箱 zhhxt@163.com 与我联系。