1.2 数制与编码
在计算机中，任何命令和信息都是以二进制数据的形式存储的。计算机所执行的全部操作都归结为对数据的处理和加工，为了便于理解计算机系统的基本工作原理，掌握数字、字母等字符在计算机系统中的表示方法及处理过程，本节主要介绍计算机中使用的数制和编码等方面的基础知识。
1.2.1 数制及其转换
数制就是计数方式。
日常生活中常用的是十进制计数方式，计算机内部使用的是二进制数据，在向计算机输入数据及输出数据时，人们惯于用十进制、十六进制数据等，因此，计算机在处理数据时，必须进行各种数制之间的相互转换。
1．二进制数
二进制数只有两个数字符号：0和1。计数时按“逢二进一”的原则进行计数，也称其基数为二。一般情况下，二进制数可表示为（110）2、（110.11）2、10110B等。
根据位权表示法，每一位二进制数在其不同位置表示不同的值。例如：
对于8位二进制数（低位～高位分别用D0～D7表示），则各位所对应的权值为
对于任何二进制数，可按位权求和展开为与之相应的十进制数。
（10）2=1×21+0×20=（2）10
（11）2=1×21+1×20=（3）10
（110）2=1×22+1×21+0×20=（6）10
（111）2=1×22+1×21+1×20=（7）10
（1111）2=1×23+1×22+1×21+1×20=（15）10
（10110）2=1×24+0×23+1×22+1×21+0×20=（22）10
例如，二进制数10110111，按位权展开求和计算可得：
（10110111）2=1×27+0×26+1×25+1×24+0×23+1×22+1×21+1×20
=128+0+32+16+0+4+2+1
=（183）10
对于含有小数的二进制数，小数点右边第一位小数开始向右各位的权值分别为
例如，二进制数10110.101，按位权展开求和计算可得：
（10110.101）2=1×24+1×22+1×21+1×2-1+0×2-2+1×2-3
=16+4+2+0.5+0.125
=（22.625）10
必须指出：在计算机中，一个二进制数（如8位、16位或32位）既可以表示数值，也可以表示一种符号的代码，还可以表示某种操作（即指令），计算机在程序运行时按程序的规则自动识别，这就是本节开始所提及的，即一切信息都是以二进制数据进行存储的。
2．十六进制数
十六进制数是学习和研究计算机中二进制数的一种比较方便的工具。计算机在信息输入/输出或书写相应程序或数据时，可采用简短的十六进制数表示相应的位数较长的二进制数。
十六进制数有16个数字符号，其中0～9与十进制相同，剩余6个为A～F，分别表示十进制数的10～15，见表1-1。十六进制数的计数原则是“逢十六进一”，也称其基数为十六，整数部分各位的权值由低位到高位分别为：160、161、162、163……
例如：（31）16=3×161+1×160=（49）10
（2AF）16=2×162+10×161+15×160=（687）10
为了便于区别不同进制的数据，一般情况下可在数据后面跟一个后缀。
● 二进制数用“B”表示（如00111010B）。
● 十六进制数用“H”表示（如3A5H）。
● 十进制数用“D”表示（如39D或39）。
3．不同数制之间的转换
前面已提及，计算机中的数只能用二进制表示，十六进制数适合读写方便的需要，日常生活中使用的是十进制数，计算机必须根据需要对各种进制数据进行转换。
（1）二进制数转换为十进制数
对任意二进制数均可按权值展开，将其转化为十进制数。
例如：10111B=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23D
10111.011B=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3
=23.375D
（2）十进制数转换为二进制数
1）方法1。十进制数转换为二进制数，可将整数部分和小数部分分别进行转换，然后合并。其中整数部分可采用“除2取余法”进行转换，小数部分可采用“乘2取整法”进行转换。
例如：采用“除2取余法”将37D转换为二进制数。
把所得余数由高到低排列起来可得：
37=100101B
例如：采用“乘2取整法”将0.625转换为二进制数小数。
把所得整数由高到低排列起来可得：
0.625=0.101B
同理，把37.625转换为二进制数，只需将以上转换合并起来可得：
37.625=100101.101B
2）方法2。可将十进制数与二进制位权从高位到低位进行比较，若十进制数大于或等于二进制某位，则该位取“1”，否则该位取“0”，采用按位分割法进行转换。
例如，将37.625转换为二进制数。
将整数部分37与二进制各位权值从高位到低位进行比较，37>32，则该位取1，剩余37-32=5，逐位比较，得00100101B。
将小数部分0.625按同样方法，得0.101B。
结果为37.625D=100101.101B。
（3）二进制数与十六进制数的相互转换
在计算机进行输入、输出时，常采用十六进制数。十六进制是二进制数的简化表示。
因为24=16，所以4位二进制数相当于1位十六进制数，二进制、十进制、十六进制对应的转换关系见表1-1。
表1-1 二进制、十进制、十六进制转换表
（续）
在将二进制数转换为十六进制数时，其整数部分可由小数点开始向左每4位为一组进行分组，直至高位。若高位不足4位，则补0使其成为4位二进制数，然后按表1-1对应关系进行转换。其小数部分由小数点向右每4位为一组进行分组，不足4位则末位补0使其成为4位二进制数，然后按表1-1所示的对应关系进行转换。
例如：1000101B=0100 0101B=45H
10001010B=1000 1010B=8AH
100101.101B=0010 0101.1010B=25.AH
需要将十六进制数转换为二进制数时，则为上述方法的逆过程。
例如：45.AH=0100 0101.1010B
例如：
即7ABFH=111101010111111B
（4）十进制数与十六进制数的相互转换
十进制数与十六进制数的相互转换可直接进行，也可先转换为二进制数，然后再把二进制数转换为十六进制数或十进制数。
例如，将十进制数37D转为十六进制数。
37D=100101B=00100101B=25H
例如，将十六进制数41H转换为十进制数。
41H=01000001B=65D
也可按位权展开求和方式将十六进制数直接转换为十进制数，这里不再详述。
1.2.2 编码
计算机通过输入设备（如键盘）输入信息和通过输出设备输出信息是多种形式的，既有数字（数值型数据），也有字符、字母、各种控制符号及汉字（非数值型数据）等。计算机内部所有数据均用二进制代码的形式表示，前面所提到的二进制数，没有涉及正、负符号问题，实际上是一种无符号数的表示，在实际问题中，有些数据确有正、负之分。为此，需要对常用的数据及符号等进行编码，以表示不同形式的信息。这种以编码形式所表示的信息既便于存储，也便于由输入设备输入信息、输出设备输出相应的信息。
1．二进制数的编码
（1）机器数与真值
一个数在计算机中的表示形式称为机器数，而这个数本身（含符号“+”或“-”）称为机器数的真值。
通常在机器数中，用最高位“1”表示负数，“0”表示正数（以下均以8位二进制数为例）。
例如，设两个数为N1、N2，其真值为
N1=105=+01101001B
N2=-105=-01101001B
则对应的机器数为
N1=0 1101001B（最高位“0”表示正数）
N2=1 1101001B（最高位“1”表示负数）
必须指出，对于一个有符号数，可因其编码不同而有不同的机器数表示法，如下面将要介绍的原码、反码和补码。
（2）原码、反码和补码
1）原码。按上所述，正数的符号位用“0”表示，负数的符号位用“1”表示，其数值部分随后表示，称为原码。
例如，仍以上面N1、N2为例，则
[N1]原=0 1101001B
[N2]原=1 1101001B
原码表示方法简单，便于与真值进行转换。但在进行减法时，为了把减法运算转换为加法运算（计算机结构决定了加法运算），必须引进反码和补码。
2）反码、补码。在计算机中，任何有符号数都是以补码形式存储的。对于正数，其反码、补码与原码相同。
例如，N1=+105则[N1]原=[N1]补=[N1]反=0 1101001B。
对于负数，其反码为：原码的符号位不变，其数值部分按位取反。
例如，N2=-105则[N2]原=1 1101001B，[N2]反=1 0010110B。
负数的补码为：原码的符号位不变，其数值部分按位取反后再加1（即负数的反码+1），称为求补。
例如，N2=-105，则
[N2]补=[N2]反+1
=1 0010110B+1=1 0010111B
如果已知一个负数的补码，可以对该补码再进行求补码（即一个数补码的补码），即可得到该数的原码，即[[X]补]补=[X]原，而求出真值。
例如，已知[N2]补=1 0010111B，则[N2]原=11101000B+1=11101001B。
可得真值：N2=-105。
对采用补码形式表示的数据进行运算时，可以将减法转换为加法。
例如，设X=10，Y=20，求X-Y。
X-Y可表示为X+（-Y），即10+（-20）。
[X]原=[X]反=[X]补=00001010B
[-Y]原=10010100B
[-Y]补=[-Y]反+1=11101011B+1=11101100B
则有[X+（-Y）]补=[X]补+[-Y]补
=00001010B+11101100B（按二进制相加）
=11110110B（和的补码）
再对[X+（-Y）]补求补码可得[X+（-Y）]原，即
[X+（-Y）]原=10001001B+1=10001010B
则X-Y的真值为-10D。
必须指出：所有负数在计算机中都是以补码形式存放的。对于8位二进制数，作为补码形式，它所表示的范围为-128～+127；而作为无符号数，它所表示的范围为0～255。对于16位二进制数，作为补码形式，它所表示的范围为-32 768～+32 767；而作为无符号数，它所表示的范围为0～65 536。因而，计算机中存储的任何一个数据，由于解释形式的不同，所代表的意义也不同，计算机在执行程序时自动进行识别。
例如，某计算机存储单元的数据为84H，其对应的二进制数表现形式为10000100B，该数若解释为无符号数编码，其真值为128+4=132；该数若解释为有符号数编码，最高位为1可确定为负数的补码表示，则该数的原码为11111011B+1B=11111100B，其真值为-124；该数若解释为BCD编码，其真值为84D（下面介绍）；若该数作为8051单片机指令时，则表示一条除法操作（见附录A）。
2．二-十进制编码
二-十进制编码又称BCD编码。BCD编码既具有二进制数的形式，以便于存储；又具有十进制数的特点，以便于进行运算和显示结果。在BCD码中，用4位二进制代码表示1位十进制数。常用的8421BCD码的对应编码见表1-2。
表1-2 二-十进制编码（8421BCD码）
例如，将27转换为8421BCD码，即
27D=（0010 0111）8421BCD码
将105转换为8421BCD码，则
105D=（0001 0000 0101）8421BCD码
因为8421BCD码中只能表示0000B～1001B（0～9）这10个代码，不允许出现代码1010B～1111B（因其值大于9），因而，计算机在进行BCD加法（即二进制加法）过程中，若和的低四位大于9（即1001B）或低四位向高四位有进位时，为保证运算结果的正确性，低四位必须进行加6修正。同理，若和的高四位大于9（即1001B）或高四位向更高四位有进位时，为保证运算结果的正确性，高四位必须进行加6修正。
例如，17=（0001 0111）8421BCD
24=（0010 0100）8421BCD
17+24=41在计算机中的操作为
3．ASCII码
以上介绍的是计算机中的数值型数据的编码，对于计算机中非数值型数据，包括以下几种。
● 十进制数字符号：“0”，“1”，…，“9”（不是指数值）。
● 26个大小写英文字母。
● 键盘专用符号：“#”“$”“&”“+”“=”。
● 键盘控制符号：“CR”（回车）“DEL”等。
上述这些符号在由键盘输入时不能直接装入计算机，必须将其转换为特定的二进制代码（即将其编码），以二进制代码所表示的字符数据的形式装入计算机。
ASCII（American Standard Code for Information Interchange）码是一种国际标准信息交换码，它利用7位二进制代码来表示字符，再加上1位校验位，故在计算机中用1个字节即8位二进制数来表示一个字符，这样有利于对这些数据进行处理及传输。常用字符的ASCII码表示见表1-3。
表1-3 常用字符的ASCII码
（续）
ASCII（美国标准信息交换码）码见附录B。