附录：
逻辑学初步
要比较好地理解悖论和本书的内容，需要掌握一些最初步的逻辑知识。
一、命题逻辑和谓词逻辑
逻辑学是关于推理和论证的科学，其主要任务是提供识别有效的推理和论证与无效的推理和论证的标准，并教会人们正确地进行推理和论证，识别、揭露和反驳错误的推理和论证。逻辑包括演绎逻辑和归纳逻辑，前者研究演绎推理，后者研究归纳推理。
推理是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式，其中已知的命题是前提，得出的新命题是结论。下面两段话都表达推理：
如果你热爱生命，那么你别浪费时间；你确实热爱生命，所以，你别浪费时间。
有的学生尊敬所有的老师，所以，所有的老师都被有的学生尊敬。
推理是由命题组成的，推理的前提和结论单独看起来都是一个个命题。对命题的不同分析会导致对推理结构的不同分析，并最终导致不同的逻辑类型。
对命题的第一种分析方法是：把单个命题看作不再分析的整体，称为“简单命题”或“原子命题”，通过一些连接词可以把它们组合成为更复杂的命题。在日常语言中，这类连接词有：
（1）并且，然后，不但……而且……，虽然……但是……，既不……也不……，等等；
（2）或者……或者……，也许……也许……，要么……要么……，等等；
（3）如果……那么……，只要……就……，一旦……就……，只有……才……，不……就不……，……除非……，等等；
（4）当且仅当，如果……那么……，并且，只有……才……，等等；
（5）并非，并不是，等等。
因为它们连接的是命题，故称其为“命题联结词”。为简单起见，我们用“并且”作为第一类联结词的代表，用“或者”作为第二类联结词的代表，用“如果，则”作为第三类联结词的代表，用“当且仅当”作为第四类联结词的代表，用“并非”作为第五类联结词的代表。通过这些联结词，我们可以由一个个命题，如“李冰能力很强”“李冰品德高尚”“樱桃红了”“芭蕉绿了”等等，组合成为更复杂的命题。例如：
（6）樱桃红了并且芭蕉绿了。
（7）李冰能力很强或者李冰品德高尚。
（8）如果王强身高1.8米，则王强是高个子。
（9）只有姚刚不畏劳苦，他才能获得成功。
（10）x+5=0,当且仅当，x=-5。
（11）并非所有的花都是有香味的。
这里，第一类联结词叫做“合取联结词”，由它们形成的命题叫做“合取命题”；第二类联结词叫做“析取联结词”，由它们形成的命题叫做“析取命题”；第三类和第四类联结词叫做“条件联结词”，由它们形成的命题叫做“条件命题”或“蕴涵命题”，其中表示条件的命题叫做“前件”，表示结果的命题叫做“后件”；第五类联结词叫做“否定词”，由它们形成的命题叫做“负命题”。这些命题统称为“复合命题”，其中的原子命题或简单命题称为“支命题”。
上面所用作例子的一些命题，实际上可以换成任一命题。为了表示这种一般性，我们引入命题变项即小写字母p,q,r,s,t等来表示任一命题，用符号“∧”“∨”“→”“↔”“
”来依次表示“并且”“或者”“如果，则”“当且仅当”“并非”这五个联结词，于是得到下述公式：
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
p
它们分别是“合取命题”“析取命题”“蕴涵命题”“等值命题”和“负命题”的一般形式。
任何一个推理都可表示为一个“如果前提（成立），那么结论（成立）”的条件命题，只需用“并且”把它的前提（如果有多个前提的话）连接成一个合取命题，作为该条件命题的前件；把它的结论作为该条件命题的后件。一类推理以复合命题作前提或结论，叫做“复合命题推理”。
健全的法制或者执政者强有力的社会控制能力，是维持一个国家社会稳定的必不可少的条件。Y国社会稳定但法制尚不健全。因此，Y国的执政者具有强有力的社会控制能力。
这个推理的形式结构是：（r→（p∨q））∧（r∧p）→q。
以复合命题为对象，研究它们各自的逻辑性质以及相互之间的逻辑关系，所得到的逻辑理论叫做“命题逻辑”。
对命题的另一种分析方法是：把一个简单命题分析为个体词、谓词、量词和联结词等成分。
个体词包括个体常项和个体变项，它们究竟指称什么样的对象取决于论域，即由具有某种性质的对象所组成的类。个体常项仅限于专名，在逻辑中用小写字母a,b,c等表示，经过解释之后，它们分别指称论域中某个特定的对象，随论域的不同，这些对象可以是0、1、长江、长城、毛泽东等。个体变项x,y,z等表示论域中不确定的个体，随论域的不同它们的值也有所不同。如果论域是全域，个体变项x就表示全域中的某个东西；如果论域是“人的集合”，个体变项x就表示某个人；如果论域是“自然数的集合”，个体变项x就表示某个自然数。
谓词符号包括大写字母F,G,R,S等，经过解释之后，它们表示论域中个体的性质和个体之间的关系。一个谓词符号后面跟有写在一对括号内的适当数目的个体词，就形成最基本的公式，叫做“原子公式”，例如F（x），G（a），R（x,y），S（x,a,y）。如果一个谓词符号后面跟有一个个体常项或个体变项，则它是一个一元谓词符号。一元谓词符号经过解释之后，表示论域中个体的性质。如果一个谓词符号后面跟有两个个体词，则它是一个二元谓词符号。依此类推，后面跟有n个个体词的谓词符号，就是n元谓词符号。二元以上的谓词符号，经过解释之后，表示论域中个体之间的关系。例如，若以自然数为论域，令a为自然数1,R表示“大于”，则R（x,y）是说“x大于y”；令S表示“…+…=…”，则S（x,a,y）是说“x+1=y”。
量词包括全称量词“∀”和存在量词“∃”，它们可以加在原子公式前面。“∀xF（x）”读作“对于所有的x而言，x是F”，“∃xR（x,y）”读作“存在x使得x与y有R关系”。前面带量词的公式叫做“量化公式”，例如∀xF（x），∃xR（x,y）。原子公式和量化公式都可以用命题联结词连接起来，形成更为复杂的公式，例如：
∀xF（x）∧G（a）
∃x（F（x）∨R（x,y））
S（x,a,y）→∀x（F（x）↔S（x,a,y））
对命题进行上述这种分析后，不仅可以表示性质命题（直言命题）及其推理，而且可以表示关系命题及其推理。例如，直言命题“所有S都是P”可表示为：
∀x（S（x）→P（x））
若用“T（x）”表示“x是投票人”，用“H（y）”表示“y是候选人”，用“R（x,y）”表示“x赞成y”，则“有的投票人赞成所有候选人，所以，所有候选人都有人赞成”这个推理可表示为：
∃x（T（x）∧∀y（H（y）→R（x,y）））→∀y（H（y）→∃x（T（x）∧R（x,y）））
把一个简单命题分析为个体词、谓词、量词和联结词等成分，研究如此分析后的命题形式及其相互之间的推理关系，所得到的逻辑理论叫做“谓词逻辑”。
二、逻辑学基本规律
通常认可的“逻辑基本规律”有三条：同一律、矛盾律和排中律，它们构成理性思维最基本的前提与预设，是理性的对话、交谈能够进行下去的最起码前提，分别确保理性思维的确定性、一致性和明确性。
1.同一律
同一律的内容是：在同一思维过程中，一切思想（包括概念和命题）都必须与自身保持同一。可用公式表示如下：
A是A
这里，“A”指在思维过程中所使用的任一概念或命题。
所谓概念保持同一，是指概念的内涵和外延必须保持同一：一个概念具有什么意思就具有什么意思，指称什么对象就指称什么对象。例如，“人”这个概念可以表示一个动物种类，也可以表示属于这个种类的每一个体。如果在同一思维过程（同一思考、同一表述、同一交谈、同一论辩）中，你在第一种意义上使用“人”这个语词，你就必须始终在这个意义上使用该语词；如果你也需要在第二种意义上使用“人”这个语词，你必须特别声明，并指出它们之间的区别，强调这两个“人”字表达两个不同的概念，两者之间不能任意转换和过渡。例如，从“人是由猿猴进化而来的，张三是人”，不能推出“张三是由猿猴进化而来的”，因为前提中的两个“人”字表达不同概念。
所谓命题保持同一，是指命题自身的意思和真假值保持同一。在同一个思维过程中，如果在什么意义上使用一个命题，就必须始终在该意义上使用该命题。从命题的真假角度说，一个命题是真的就是真的，是假的就是假的。从论辩的角度说，在一个论辩过程中，讨论什么论题就讨论什么论题，不能偏题、离题、跑题。例如，如果你断定了“E=MC2”，在同一个思维过程中就必须坚持这一断定，不能随便改成“E≥MC2”，也不能随便改成“E≤MC2”。如果你发现你先前的断定错了，你要明确指明这一点，并且最好给出证据和证明。
如果无意识地违反同一律在概念方面的要求，会犯“混淆概念”的逻辑错误；如果有意识地违反同一律在概念方面的要求，则会犯“偷换概念”的逻辑错误。如果无意识地违反同一律在命题和论辩方面的要求，会犯“转移论题”的逻辑错误；如果有意识地违反同一律在命题和论辩方面的要求，则会犯“偷换论题”的错误。
同一律的作用在于保证思维的确定性，以便人们之间的思想交流能够顺利进行。
中国人是勤劳勇敢的，懒汉朱八戒是中国人，所以，懒汉朱八戒是勤劳勇敢的。
解析：在这个推理中，“中国人”在两个前提中有不同意义：在大前提中是指作为一个民族的中国人，而在小前提中是指单个中国人。所以，它在两个前提中表达了两个不同的概念，不能起到架通小项与大项的桥梁或媒介作用，不能必然推导出结论。
在一家大众旅馆里，一位旅客在半夜被一群打牌人的哄笑声惊醒，他善意地对那群打牌人说：“都夜里12点多钟了，你们休息吧。”“你睡你的，管我们不着。”其中一位打牌人说。“你们这样大声吵闹，影响别人休息。”“影响别人，又不影响你，关你什么事？！”
解析：当那位旅客对那群打牌人说“你们这样大声吵闹，影响别人休息”时，其中的“别人”是相对于打牌人说的，指打牌人之外的其他人，当然包括那位旅客；但当打牌人说“影响别人，又不影响你，关你什么事”时，其中的“别人”是相对于那位旅客说的，指该位旅客之外的其他人，不包括该旅客本人，而包括那群打牌人。打牌人犯了“混淆或偷换概念”错误。
2.矛盾律
矛盾律应该叫做（禁止）矛盾律，或（不）矛盾律。其内容是：两个互相矛盾的命题不能同真，必有一假。可用公式表示如下：
并非（A并且非A）
这里，“A”代表一个命题，“非A”代表A的否定命题。由于两个互相反对的命题蕴涵各自的否定，故两个互相反对的命题也不能同真，必有一假。在这种派生的意义上，矛盾律中的“非A”既包括与A互相矛盾的命题，也包括与A互相反对的命题。
两个命题互相矛盾，是指它们不能同真，也不能同假。例如：
“所有S是P”与“有些S不是P”
“所有S不是P”与“有些S是P”
“a是P”与“a不是P”
“p并且q”与“非p或者非q”
“p或者q”与“非p且非q”
“如果p则q”与“p且非q”
“只有p才q”与“非p且q”
“必然p”与“可能非p”
“必然非p”与“可能p”
都是相互矛盾的命题。
两个命题互相反对，是指它们不能同真，但可以同假。例如：
“所有S是P”与“所有S不是P”
“所有S是P”与“（这个或那个）S不是P”
“所有S不是P”与“（这个或那个）S是P”
“必然p”与“不可能（必然非）p”
都是互相反对的命题。
矛盾律要求：在两个互相矛盾或互相反对的命题中，必须否定其中一个，不能两个都肯定。否则，会犯《韩非子》里的“自相矛盾”的逻辑错误。
矛盾律的作用在于保证思维的一致性，即无矛盾性。
以下哪些议论犯了“自相矛盾”的错误，除了
A.电站外高挂一块告示牌：“严禁触摸电线！500伏高压一触即死。违者法办！”
B.一个小伙子在给他女朋友的信中写道：“我爱你爱得如此之深，以至愿为你赴汤蹈火。星期六若不下雨，我一定来。”
C.他的意见基本正确，一点错误也没有。
D.今年研究生考试，我有信心考上，但却没有把握。
E.读万卷书不如行万里路，行万里路不如阅人无数，阅人无数不如名师指路，名师指路不如自己领悟。
解析：或许有人不同意选项E中的那些说法及其推论，但其中并无“自相矛盾”的错误，而其他各项都犯有“自相矛盾”的错误。故正确答案是E。
找出话语之间表面上的矛盾尽管也是必要的，但更重要的是要挖掘一个理论内部隐藏着的矛盾，而这需要洞察力、逻辑训练和相关知识。例如，亚里士多德的理论“物体的下落速度与物体的重量成正比”统治物理学近两千年。伽利略通过一个思想实验对它提出了质疑。他假设亚氏理论成立，并设想有这样两个物体：A重B轻，按照亚氏理论，下落时A快B慢。再设想把A、B两个物体绑在一起形成A+B,A+B显然比A重，按照亚氏理论，A+B下落比A快；A+B中原来A快B慢，在下落时慢的B拖住了快的A（即两物的合成速度小于等于其中最快的那个物体的速度），因此，A+B下落比A慢。而两个结论相互矛盾，因此，亚氏理论不成立。伽利略由此提出了他自己的理论：（在真空条件下）物体的下落速度与物体的重量没有关系，据说还进行了一次著名的实验（即比萨斜塔实验）来验证他的理论。
我想说的都是真话，但真话我未必都说。
如果上述断定为真，则以下各项都可能为真，除了
A.我有时也说假话。
B.我不是想啥说啥。
C.有时说某些善意的假话并不违背我的意愿。
D.我说的都是我想说的话。
E.我说的都是真话。
解析：答案是C。题干断定：我想说的都是真话。由此可推出：假话都不是我想说的。这和“有时说某些善意的假话并不违背我的意愿”矛盾。因此，如果题干为真，则C项不可能为真。由题干推不出我一定不说假话，因而A项可能为真。由题干也推不出我可能会说假话，因而D项和E项可能为真。
3.排中律
排中律的内容是：两个互相矛盾的命题不能同假，必有一真。可用公式表示如下：
A或者非A
这里，“A”代表一个命题，“非A”代表A的否定命题。若就词项逻辑而言，“A”和“非A”中一个是特称肯定命题，另一个是全称否定命题，或者相反。若两个特称命题“有些S是P”和“有些S不是P”都为假，我们会得到两个互相反对的命题“所有S不是P”和“所有S是P”，由此可推导出一对矛盾；由于逻辑不允许矛盾，故两个具有下反对关系的命题也不能都假，其中必有一个为真，例如“有些花是红色的”与“有些花不是红色的”。在这种派生的意义上，排中律也适用于两个具有下反对关系的命题。
排中律的逻辑要求是：对两个互相矛盾的命题不能都否定，必须肯定其中一个，否则会犯“两不可”的错误。
排中律的作用在于保证思维的明确性。
于是，根据矛盾律，对两个互相矛盾的命题，不能同时都肯定，否则犯“自相矛盾”的错误；根据排中律，也不能同时都否定，否则犯“两不可”的错误。因此，在一对相互矛盾的命题中间，必定是肯定一个否定另一个；或者说，任一命题必定或者为真或者为假，非真即假，非假即真。这就是所谓的“二值原则”。一般使用的逻辑都是建立在这个原则之上的，因此叫“二值逻辑”。
学校在为失学儿童义捐活动中收到两笔没有署真名的捐款，经过多方查找，可以断定是周、吴、郑、王中的某两位捐的。经询问，周说：“不是我捐的”；吴说：“是王捐的”；郑说：“是吴捐的”；王说：“我肯定没有捐”。最后经过详细调查证实四个人中只有两个人说的是真话。
根据已知条件，请你判断下列哪项可能为真？
A.是吴和王捐的。
B.是周和王捐的。
C.是郑和王捐的。
D.是郑和吴捐的。
E.是郑和周捐的。
解析：答案是C。吴和王的话是矛盾的，根据排中律，其中必有一真且只有一真。又由题干，四个人中只有两人说真话，因此，周和郑两人中有且只有一个人说真话。假设郑说真话，周说假话，则可得出：是吴和周捐的款；假设周说真话，郑说假话，则可得出：是周和吴都没捐，而是郑和王捐的。这两种假设都没导致矛盾。因此，根据题干的条件，有关四人中哪两人捐款，有两种情况可能为真：（1）吴和周捐的款；（2）郑和王捐的款。其余的情况一定为假。因此，选项A、B、D和E不可能为真；C项可能为真。